现代信号处理--清华胡广书讲义-第6章滤波器组基础

150
第6章 滤波器组基础
6.1 滤波器组的基本概念
一个滤波器组是指一组滤波器，它们有着共同的输入，或有着共同的输出，如图6.1.1所示。

图6.1.1 滤波器组示意图，（a ）分析滤波器组，（b ）综合滤波器组。

假定滤波器)(0z H ，)(1z H ，…，)(1z H M -的频率特性如图6.1.2（a ）所示，)(n x 通过这些滤波器后，得到的)(0n x ，)(1n x ，…，)(1n x M -将是)(n x 的一个个子带信号，它们的频谱相互之间没有交叠。

若)(0z H ，)(1z H ，…，)(1z H M -的频率特性如图6.1.2（b ）所示，那么，)(0n x ，)(1n x ，…，)(1n x M -的频谱相互之间将有少许的混迭。

由于)(0z H ，
)(1z H ，…，)(1z H M -的作用是将)(n x 作子带分解，因此我们称它们为分析滤波器组。

将一个信号分解成许多子信号是信号处理中常用的方法。

例如，若图6.1.1中的2=M ，那么，在图6.1.2中，)(0z H 的频率特性将分别占据2
~
0π
和
ππ
~2
两个频段，前者对应
低频段，后者对应高频段。

这样得到的)(0n x 将是)(n x 的低频成份，而)(1n x 将是其高频
)(0n x )
(1n x )
(1n x M -)
(n x
(ˆ0x (ˆ1x
)(ˆ1n x
M -)(ˆn x
151
成份。

我们可依据实际工作的需要对)(0n x 和)(1n x 作出不同的处理。

例如，若我们希望对)(n x 编码，设)(n x 的抽样频率为20KHz ，若每个数据点用16bit ，那么每秒钟需要的码
图6.1.2 分析滤波器组的频率响应，（a ）无混迭，（b ）稍有混迭
流为320Kbit 。

若)(n x 是一低频信号，也即)(n x 的有效成份（或有用成份）大都集中在
)(0n x 内，)(1n x 内含有很少的信号能量。

这样，我们可对)(0n x 仍用16bit ，对)(1n x 则
用8bit ，甚至是4bit ，由于)(0n x 和)(1n x 的带宽分别比)(n x 减少了一倍，所以，)(0n x 和
)(1n x 的抽样频率可降低一倍。

这样，对)(0n x 编码的数据量是160s Kbit ，对)(1n x ，若
用4bit ，则数据量为40s Kbit 。

总的数据量为200s Kbit ，这比320s Kbit 减少了约37%。

在图 6.1.1（b ）中，M 个信号)(0n x ∧
，)(1n x ∧
，…，)(1n x M -∧
分别通过滤波器)(0z G ，
)(1z G ，…，)(1z G M -，所产生的输出分别是)(0n y ，)(1n y ，…，)(1n y M -。

这M 个信
号相加后得到的是信号)(n x ∧。

显然，)(0z G ，)(1z G ，…，)(1z G M -是综合滤波器组，其任务是将M 个子信号)(0n x ∧
，)(1n x ∧
，…，)(1n x M -∧
综合为单一的信号)(n x ∧。

前已述及，将)(n x 分成M 个子带信号后，这M 个子带信号的带宽将是原来的M 1。

因
M
M
152
此，它们的抽样率可降低M 倍。

这样，在分析滤波器组)(0z H ，)(1z H ，…，)(1z H M -后还应分别加上一个M 倍的抽取器，如图6.1.3所示。

图中)(0z H ，)(1z H ，…，)(1z H M -等工作在抽样频率s f 状态下，而)(0n υ，…，)(1n M -υ是处在低抽样频率状态（M f s ）下。

我们希望重建后的信号)(n x ∧
等于原信号)(n x ，或是其一个好的近似，那么，首先应保证)(n x ∧
和)(n x 的抽样频率一致。

因此，在综合滤波器组)(0z G ，)(1z G ，…，)(1z G M -之前还应加上一个M 倍的插值器，如图6.1.3所示。

图中中间部分的信号重新作了定义。

该图即是一个完整的M 通道滤波器组。

图中)(0z H ，)(1z H ，…，)(1z H M -的作用一方面是将原)(n x 分成M 个子带信号，另一方面是作为抽取前的抗混迭滤波器。

同理，)(0z G ，)(1z G ，…，)(1z G M -一方面起到信号重建的作用，但实质上是插值后去除映像的滤波器。

图6.1.3 M 通道滤波器组
也许读者会问，图中M 倍抽取后又紧跟M 倍的插值，二者的作用不是抵消了吗？实际上不是如此。

前已述及，对)(n x 分解成)(0n x ，)(1n x ，…，)(1n x M -后再抽取，得到
)(0n υ，…，)(1n M -υ，其目的是在低抽样频率状态下针对它们能量分布的特点给出不同
的处理（例如编码）。

这些处理或编码后的信号在送到插值器之前可能要经过很长的传输距
离，因此图中的抽取和插值环节都是必要的。

将信号)(n x 通过分解、处理和综合后得到)(n x ∧
，我们希望)(n x ∧
=)(n x ，例如，在通
153
信中，我们总希望接收到的信号和发送的信号完全一样。

当然，要求)(n x ∧
=)(n x 是非常困难的，也几乎是不可能的。

如果)()(0n n cx n x -=∧
，式中c 和0n 是常数，即)(n x ∧
是)(n x 纯延迟后的信号，我们称)(n x ∧
是)(n x 的准确重建（Perfect Reconstruction ，PR ）。

实现PR 的滤波器组就称为PR 系统。

在图6.1.3的系统中，)(n x ∧对)(n x 的失真主要来自如下三个方面：
1. 混迭失真：这是由于分析滤波器组和综合滤波器组的频带不能完全分开及)(n x 的抽样频率s f 不能大于其最高频率成份的M 倍所致；
2 .幅度及相位失真：这两项失真来源于分析及综合滤波器组的频带在通带内不是全通函数，而其相频特性不具有线性相位所致；
3. 对)(0n x ，)(1n x ，…，)(1n x M -作M 倍抽取后再作处理（如编码）所产生的误差（如量化误差）。

上述误差来源中，第三种来源于信号编码或处理算法，它和滤波器组无关，因此，我们在本书中不作讨论。

在滤波器组中，研究最多的是如何消除第一和第二两类失真，或是着重消除其中的一种。

在本章，我们则集中讨论和滤波器组有关的一些基本概念，给出相关的定义与公式。

至于滤波器组本身的讨论，则留待第七、第八两章。

除了上面谈到的几种失真外，读者肯定还会问起一个问题：即图6.1.3中的M 2个滤波器是否要一一设计？每一路的滤波是否要逐一计算？如果是这样，其设计任务和计算量岂不是非常大？
为了回答上述问题，我们用DFT 滤波器组（这是一种其基本概念为大家所熟知，且又是均匀的滤波器组）为例来给出相关的内容。

6.2 DFT 滤波器组
均匀DFT 滤波器组是一种典型的滤波器组，它的基本思路可推广到其它类型的滤波器组。

DFT 滤波器组有着不同的导出方法[15, 23]，现分别讨论之。

6.2.1 直接导出
在图6.1.3的M 通道滤波器组中，我们先给定一低通滤波器)(0z H ，其单位抽样响应为)(0n h ，其频带为M
M
π
π
~
-
，即带宽为
M
π
2。

设第k 条支路上的分析滤波器为)(z H k ，
154
并假定它和)(0z H 有如下关系：
kn M j
k e
n h n h π20)()(= (6.2.1) 则 )()()(k
M 0k M
2j
0k zW H ze
H z H ==-π
(6.2.2)
这样，对图6.1.3中的第k 条支路，)(n x 通过该支路后就变成一个窄带信号，其频谱在
2~2(1)k M k M ππ+之间。

如若将)(n h k 的输出)(n x k 再乘以kn M
j
e
π
2-，这就等于将
)(n x k 的频谱的中心移到0=ω的位置，
因为其带宽仍是2M π，所以对)(n x k 可作M 倍的抽取。

图6.1.3中的第k 条支路如图6.2.1所示。

图6.2.1 M 通道滤波器组中的第k 条支路
由上一章的讨论，有
)
(*)()()
()(n h n x n x Mn x n k k k k ==υ
∑∞
-∞
=-=m km M
j
e
m h m n x π20
)()(
所以
∑∞
-∞
=-=
m km M
j
k e
m h m Mn x n πυ20
)()()( (6.2.4)
现将)(n x 分成M 个子序列，令
l Mr m +=，+∞-∞=~r ，1,,1,0-=M l
则
∑∑-=∞
-∞
=+--=1020)()()(M l r kl M
j k e
l Mr h l Mr Mn x n πυ
记 )()(l Mr Mn x r n x l --=-
(6.2.5a)
)
155
)()(0l Mr h r p l +=
(6.2.5b)
则 ∑∑-=∞-∞=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=1
02)()()(M l kl
M j r l l k e r p r n x n π
υ
再记 ∑∞
-∞
=-=
r l
l
l r n p r x n t )()()(
(6.2.5c)
则
∑-==10
2)()(M l kl M
j
l k e
n t n π
υ，1,,1,0-=M k
(6.2.6)
这是一个M 点的逆DFT ，“时域”与“频域”序号分别是l 和k ，它们都在下标上。

如果我们把M 倍抽取器移到滤波器的前面则可得到如图6.2.2的分析滤波器组。

图6.2.2 均匀DFT 滤波器组
图中)()(l Mn x n x l -=，)()(0l n h n p l +=（注：因为图中将抽取环节移到滤波器的前面，所以（6.2.2b ）式中的M 可以去掉），)(*)()(n p n x n t l l l =。

现在来分析一下完成图6.2.2的运算所需的计算量。

由于)()(0k
M k zW H z H =，即每一个分析滤波器都是由)(0z H 依次移位得到的，因此，设计时只需设计一个原型低通滤波器)(0z H 即可。

假定8=M ，)(0n h 的长度为48，则)(1n h ，…，)(7n h 的长度也是48，按图6.2.1，假定将M 倍抽取器已移至滤波器之前，如图6.2.2的一条支路。

那么，计算出一个)(n u k 需要48次乘法，将n 时刻的)(0n υ，…，)(7n υ全部求出需48*8=384次乘法。

按图6.2.2的
)(0n )
(1n )
(1n M -
156
结构，由于)(0n p ，…，)(7n p 的长度都等于648=，所以将n 时刻的)(0n t ，…，)(7n t 全部求出所需的乘法是6*8=48次。

将)(0n t ，…，)(7n t 再作一个8点的DFT ，所需乘法是
1282
8
2=log 次。

这样，完成图6.2.2的运算所需的乘法总共是48+12=60次，这比384次大大减少。

图 6.2.2的特点是，在求出n 时刻的)(0n t ，…，)(7n t 后，通过DFT 可依次求出
)(0n υ，…，)(7n υ，不需要一条一条支路的分别计算，从而节约了计算时间。

至此，我们已初步了解了均匀DFT 滤波器组的基本概念，并看到用多相结构可以大大减少乘法次数。

下面，我们从DFT 概念自身来导出DFT 滤波器组，并进一步了解该滤波器组的特点。

6.2.2 从DFT 来导出均匀DFT 滤波器组
给定信号)(n x ，1,,1,0-=N n ，其DFT 定义为
∑-==1
0)()(N n nk N
W n x k X )0(X ，)1(X ，…，)1(-N X 是)(n x 的DFT 系数，它代表着)(n x 中直流分量，基波，
二次谐波以及直至1-N 次谐波分量的大小，它犹如用一个个中心频率在k N
j k e πω2=处的
极窄带的滤波器对)(n x 滤波后的输出。

令)()(i n x n s i -=，1,,1,0-=M i ，将)(n s i 输入到一个DFT 矩阵（M*M ），设其输出为)(0n u ，…，)(1n u M -，如图6.2.3所示，这是DFT 滤波器组最简单的形式。

图6.2.3 DFT 滤波器组最简单的形式
)
(n x )(0n )(1n )(2n )
(1n M -
157
由该图及)(n s i 和)(n x 的关系，有
∑∑-=-=---=
=
1
1
0)()()(M i M i ki M
ki M
i k W
i n x W
n s n u (6.2.7)
及 ∑∑-=-=-==
1
1
)()()()(M i M i i k M
i
k z X zW
z S z U
(6.2.8)
令 ∑-=-----==1
1
011)(M i m
i
z z z z H (6.2.9)
则 )()()(00z H z X z U =
(6.2.10) 并有 )()(0k
M k zW H z H =
(6.2.11)
及 )()()(z H z X z U k k =
(6.2.12)
这样，在图6.2.3中由)(n x 至)(n u i 之间有一滤波器组（图中未画出）)(0z H ，…，)(1z H M -。

该滤波器组和（6.2.2）式有着相同的形式，都是由)(0z H 作均匀移位的结果，因此，（6.2.11）式的)(z H k 也是均匀DFT 滤波器组，其原型低通滤波器)(0z H 由（6.2.9）式给出。

该原型滤波器的频率响应是：
)
sin()
sin(
)()(2
2
M e
e H 1M j j 0ω
ωωω--=
(6.2.13)
其幅频响应为一周期的sinc 函数，第一个傍瓣的衰减约为13dB ，如图6.2.4（a ）所示，而
)()()(M k 2j 0j k e H e H πωω-=
(6.2.14)
的幅频特性如图6.2.4（b ）所示，图中1=k
现在来分析一下，)(n u k 和)(n x 的DFT 系数)(k X 之间的关系。

由（6.2.7）式，
∑-=--+=
-+1
M 0
i ki M
i k W
1M n s 1M n u )()(
∑-=---+=1
)1(M i ki
M
W i M n x
158
图6.2.4 DFT 滤波器组的频率特性， （a ）|)(|0ωj e H ，（b ）|)(|1ωj e H
令l i M =--1，则上式变为
∑-==+=-+10
)()()()1(M l n k M kl M k
M
k k X W W
l n x W M n u (6.2.15)
式中)()(k X n 表示由n 为起点的M 个数据)(n x ，)1(+n x ，…，)1(-+M n x 的DFT 的第k 个系数，所以，)(1M n u k -+和这M 个点的DFT 的第k 个系数仅差一个k
W 因子，二者的幅度完全一样。

这样，图6.2.3的滤波器组恰是一个谱分析器，)(0n u ，…，)(1n u M -是n 时刻时就近的)(n x 的M 个数据的DFT 的系数。

这样，我们即把DFT 滤波器组和DFT 联系起来。

由（6.2.15）式，)(l n x +，1M 10l -=,,, 的DFT 恰是一个短时傅立叶变换的表达式，只不过式中的窗函数1),(≡l n g 。

可以设想，如果在（6.2.15）式中增加一非矩形的窗函数，那么将会减少)(ω
j k e H 中的边瓣影响。

另外，上述讨论告诉我们，短时傅立叶变换
也可用滤波器组来实现。

6.2.3 从多相结构来导出DFT 滤波器组
在图6.2.4中，)(ω
j k e
H 的主瓣宽度为M 4π，若M 过小，则)(z H k 之间将有着严
159
重的混迭。

为减少混迭，需要增加M ，M 增大，则计算量随之增大，且由于M 是滤波器的通道数，因此，也不能过于增大。

这是由于（6.2.9）式中)(0z H 的长度也是M 所造成的。

假定)(0z H 的长度为N ，M N >，我们将)(0z H 分成多相结构，则
∑-=-=
1
1
0)()(M l M l z E z
z H
(6.2.13)
式中)(z E l 是)()(0l Mn h n e l +=，10-≤≤M l 的z 变换。

由（6.2.11）式，有
∑-=-=
=1M 0
l M
l 1k M k M
0k z E zW zW H z H )()()()(
(6.2.14)
再由（6.2.8）式，有
[]
∑-=--=
1
)()()(M l kl
M
M l l
k W z X z E z
z U (6.2.15)
（6.2.13）~（6.2.15）式的含意如图6.2.5所示。

图6.2.5 DFT 滤波器组的多相表示
由（6.2.9）式，由于{
}1,,1,1)(0 =n h ，所以 1)(=n e l 1,,1,0-=M l (6.2.16a) 1)(=z E l
1,,1,0-=M l
(6.2.16b)
这样，图6.2.3是图6.2.5的特殊情况，即图6.2.3中的1)(=z E l 没有画出。

但按图6.2.5，
)(0n )
(1n )
(1n M -(x
160
每一个)(n e l 的长度若为M ，则)(0n h 的长度将远大于M ，从而减少了)(ωj k e H 之间的混迭。

若选1)(0≠z E ，则)(0ωj e H 可不必是简单的sinc 函数。

有关DFT 滤波器组的讨论见文献[15]及[23]。

6.3 常用名词及术语解释
6.3.1 最大抽取均匀滤波器组
设某一滤波器组有K 个分析滤波器)(0z H ，…，)(z H 1K -，这K 个滤波器若有关系
)()(0k
K k zW H z H =
(6.3.1a)
即 [])
()(K 2j 0j k e H e H π
ωω-=，1,,1,0-=K k
(6.3.1b)
则称该滤波器组为均匀滤波器组。

)(n x 经)(z H k 滤波后应作M 倍的抽取，若K M =，则又称该滤波器组为最大抽取均匀滤波器组（maximally decimated uniform filter bank ）。

一个最大抽取均匀滤波器组的幅频响应如图6.3.1所示。

图6.3.1 最大抽取均匀滤波器组的幅频响应
我们在上一节讨论的DFT 滤波器组，即是最大抽取均匀滤波器组，只不过其幅频响应是周期的sinc 函数。

6.3.2 正交镜像滤波器组
一个两通道的滤波器组如图6.3.2（a ）所示。

如果有
)
ωj
161
)()()(01πωω-=j j e H e H
(6.3.2)
则)(0ωj e H 和)(1ωj e H 是以2π为镜像对称的，如图6.3.2（b ）所示。

图6.3.2 两通道滤波器组，（a ）系统框图，（b ）镜像对称的幅频响应
若)(0ωj e H 和)(1ωj e H 二者没有重合，即当≤
||ω2π时0|)(|0≡ωj e H ，那么，
)(0ωj e H 和)(1ωj e H 是正交的。

因此，这一类滤波器组又称为正交镜像滤波器组
（Quadrature Mirror filter bank ，QMFB ）。

实际上，若)(0ωj e H 和)(1ωj e H 有少量的重迭，如图6.3.2（b ）所示，我们亦称它们为QMFB 。

将这种情况推广到最大抽取均匀滤波器组，若它们的幅频响应仅有少许重迭，
如图6.3.1所示，我们也称它们为QMFB 。

6.3.3 第M 带滤波器
将分析滤波器组写成多相形式，如果其第0相，也即)(0M
z E 恒为一常数c ，即
∑-=-+=1
1
)()(M l M l l z E z c z H
(6.3.3)
那么，其单位抽样响应必有
⎩⎨⎧==0
)()(0c
n e Mn h
其它
=n （6.3.4） (x )(ˆn x
162
)(n h 满足（6.3.4）式的滤波器称为“第M 带滤波器（M th filter ）
” 。

（6.3.4）式的含意是，除了在0=n 这一点外，)(n h 在M 的整数倍处恒为零，如图6.3.3所示。

如果将这样一个滤波器接在一个L 倍插值器后，且M L =，如图6.3.4所示，那么
)()()()()(11M M l M l l M
z X z E z c z X z H z Y ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+==∑-=-
(6.3.5)
图6.3.3 某一M th 滤波器的单位抽样响应（3=
M ）
图6.3.4 )(z H 为M th 滤波器时对插值后的滤波
该式意味着)()(n cx Mn y =，这就是说，将)(n x 作M L =倍的插值后，再经一个M th 滤波器，)(n x 中所有的值乘以c 后变为y 在Mn 处的值。

若1=c ，则)()(n x Mn y =，在
n 的非M 整数倍处，即是插值的结果。

这一点请读者自行验证。

现在我们来证明有关M th 滤波器的一个定理。

定理6.1 若)(z H 是一M th 滤波器，则
∑-==10
1)(M k k
zW
H
(6.3.6)
证明：将)(z H 写成（5.5.3）的多相形式，由（5.5.4）式，有
)()()()(l Mi n n h l Mn h n e l --=+=δ，
1,,1,0-=M i ，1,,1,0-=M l ，+∞-∞=~n
n
c
)
(n h
163
因为 ∑∞
-∞
=-=
n n
l
l z
n e z E )()(
所以 ∑∞
-∞
=---=
n n
l z
l Mi n n h z E )()()(δ
∑∑∞
∞=--=--⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=0n n 1M 0
k M
n l k 2j z e
M 1
n h )
()(π ∑∑∑-=-=∞
∞
=-==1M 0
k kl M
K M 1M 0k 0n kl
M
n k M W zW
H M
1W zW
n h M 1)())((
当0=l 时，c z E =)(0，假定M 1c =，则有
∑-==10
1)(M k k M
zW
H
于是定理得证。

若令)()(0z H z H =，)()(k
M k zW H z H =，1,,1,0-=M k ，
则0H ，1H ，…，1-M H 的幅频响应之和等于1，效果为一全通滤波器。

M th 滤波器的这一特性被用于设计M 通道滤波器组。

M th 滤波器又称Nyquist （M ）滤波器。

上述结论也可推广到更一般的情况。

假定)(z H 的第k 个多相分量k
n k cz
z E -=)(，则
)()()()(1)1(110M M M Mn k M M z E z z cz z E z z E z H k ------+++++= (6.3.7)
这时，)(n h 应有如下特点：
⎩⎨⎧=+0
)(c
k Mn h
其它
k
n n = (6.3.8)
对应图6.3.4，输出)(n y 和输出)(n x 有如下关系：
∑-≠=---+=1
0)()()()(M k
l l M M l l M
Mn k
z X z E z z X z
cz z Y k
(6.3.9)
164
及 )()(n cx k Mn Mn y k =++
(6.3.10)
如果0=k ，0=k n ，则（6.3.8）~（6.3.10）式就简化成（6.3.3）式所对应的情况。

6.3.4 半带滤波器
在上一小节的M th 滤波器中，若令2=M ，则所得的滤波器称为“半带滤波器（half bank filter ）”。

这时，（6.3.3）及（6.3.4）式变为：
)()(211z E z c z H -+=
(6.3.11a)
而
)12()(1+=n h n e
(6.3.12a)
⎩⎨⎧==0
)2()(0c
n h n e
其它
=n (6.3.12b)
也就是说，该滤波器的)(n h 除了在0=n 处以外，所有偶序号处的值皆为零，如图6.3.5所示。

图6.3.5 某一半带滤波器的)(n h
由定理6.1，有
1)()(=-+z H z H
(6.3.13a)
及 1)()()(=+-πωω
j j e H e
H
(6.3.13b)
若)(z H 的幅频特性(实际上取的是其“增益”，图b 和图c 亦是如此)如图6.3.6（a ）所示，那么)(z H -的幅频特性如图6.3.6（b ）所示，它是)(ω
j e H 移位后的结果。

二者相加后的
图形如图6.3.6（c ）所示。

n
c
)
(n h。