海南省海口市第一中学2020届高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析

海口市第一中学2019—2020学年度第一学期高三年级10月
月考数学 第Ⅰ卷 选择题
一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.已知全集U =R ，集合{}|0A x x =<，{}2,1,0,1,2B =--，那么()
U A B ⋂ð等于( ) A. {}0,1,2 B. {}1,2 C. {}2,1-- D. {}2,1,0--
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出U A ð,再求交集得解.
【详解】由题得[
)=0,U A +∞ð，所以()
U A B ⋂ð={}0,1,2. 故选：A
【点睛】本题主要考查补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2.关于命题“当[]
1,2m ∈时，方程220x x m -+=没有实数解”，下列说法正确的是 （ )
A. 是全称量词命题，假命题
B. 是全称量词命题，真命题
C. 是存在量词命题，假命题
D. 是存在量词命题，真命题 【答案】A 【解析】 【分析】
对[]
1,2m ∈的理解是m 取遍区间[]1,2的所有实数，当1m =时方程有解，从而判断原命题为假命题.
【详解】原命题的含义是“对于任意[]
1,2m ∈，方程2x 2x m 0-+=都没有实数解”，但当
1m =时，方程有实数解1x =，故命题是含有全称量词的假命题，所以正确选项为A.
【点睛】判断命题是特称命题还是全称命题，要注意补上省略词，同时注意判断命题为假命题时，只要能举出反例即可.
3.设,a b r r 为非零向量，则“//a b r r
”是“,a b r r 方向相同”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量的共线的充要条件，即可作出判定，得到答案．
【详解】因为,a b r r 为非零向量，所以//a b r r 时，,a b r r
方向相同或相反，
因此“//a b r r
”是“,a b r r 方向相同”的必要而不充分条件.
故选B ．
【点睛】本题主要考查了充要条件和必要条件的判断，以及向量共线的充要条件，属基础题.其中解答中熟记利用向量共线的充要条件是解答的关键，着重考查了推理与判断能力．
4.为了得到函数3sin 21y x =+的图象，只需将3sin y x =的图象上的所有点（ ） A. 横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 B. 横坐标缩短
1
2
倍，再向上平移1个单位长度 C. 横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度 D. 横坐标缩短1
2
倍，再向下平移1个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】
由题意利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，得出结论．
【详解】将3sin y x =的图象上的所有点的横坐标缩短1
2
倍（纵坐标不变），可得y ＝3sin2x 的图象；
再向上平行移动1个单位长度，可得函数3sin 21y x =+的图象， 故选：B ．
【点睛】本题主要考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，熟记变换规律是关键，属于基础题．
5.已知(2,3)a =r ，(,1)b m m =-r ，(,3)c m =r ，若//a b r r ，则b c ⋅=r r
（ ）
A. -5
B. 5
C. 1
D. -1
【答案】A 【解析】 【分析】
通过平行可得m 得值，再通过数量积运算可得结果.
【详解】由于//a b r r
，故()
21=3m m -，解得2m =-，于是(2,3)b =--r ，(2,3)c =-r ， 所以495b c ⋅=-=-r r
.故选A.
【点睛】本题主要考查共线与数量积的坐标运算，考查计算能力.
6.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()2,1，则cos2θ=（ ） A. 4
5
-
B. 35
-
C.
35
D.
45
【答案】C 【解析】 【分析】
利用三角函数定义即可求得：cos
θ=
，sin θ=，再利用余弦的二倍角公式得解. 【详解】因为角θ的终边过点()2,1，所以1
tan 2
y x θ==
点()2,1到原点的距离r ==
所以cos
x r θ=
=，sin y r θ== 所以2
2413
cos2cos sin 555
θθθ=-=
-= 故选：C
【点睛】本题主要考查了三角函数定义及余弦的二倍角公式，考查计算能力，属于较易题。

7.已知3
1
()3
a =，1
33b =，
13log 3c =，则( )
A. a b c <<
B. c b a <<
C. c a b <<
D. b c a <<
【答案】C 【解析】 【分析】
分析每个数的正负以及与中间值1的大小关系.
【详解】因为3011()()133
a <<=，103331>=，
1133log 3log 10<=， 所以01,1,0a b c <<><，∴c a b <<， 故选：C.
【点睛】指数、对数、幂的式子的大小比较，首先确定数的正负，其次确定数的大小（很多情况下都会和1作比较），在比较的过程中注意各函数单调性的使用.
8.复数z 满足(1)|1|z i i -=+，则复数z 的实部与虚部之和为（ ）
B.
C. 1
D. 0
【答案】D 【解析】
由()11z i i -=+得：1)1i z i i
+==+-，所以z =，故选D ．
9.已知函数21
()44f x x x
=
-，则 ()f x 的大致图象是( )
A. B.
C. D.
【答案】B 【解析】 【分析】 利用特殊值1
2x =
、14
x =、1x =-，排除错误选项. 【详解】当12
x =时，211()1
1124()4()22
f ==--，排除A ， 当14
x =时，21141
()()
114324()4()44f f ==-<-，排除D ， 当1x =-时，11
(1)0448
f -=
=>+，排除C ， 故选B.
【点睛】从函数解析式结合选项，发现零点、单调性、奇偶性、过特殊点等性质，是求解函数图象问题的常见方法.
10.在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin 3cos 0b A a B =,且2b ac =，则
a c
b
+的值为( ) A. 2
2
2 D. 4
【答案】A 【解析】 【分析】
由正弦定理，化简求得sin 0B B =，解得3
B π
=，再由余弦定理，求得()2
24b a c =+，
即可求解，得到答案．
【详解】在ABC ∆中，因为sin cos 0b A B =,且2b ac =，
由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，
所以sin 0B B =，即tan B =3
B π
=
，
由余弦定理得2
2
2
2
2
2
2
2
2cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()2
24b a c =+，解得
2a c
b
+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解. 11.设
'()f x 是函数()f x 的导函数，若'()0f x >，且1212,()x x R x x ∀∈≠，
1212()()22x x f x f x f +⎛⎫
+< ⎪⎝⎭
，则下列选项中不一定正确的一项是（ ）
A. (2)()()f f e f π<<
B. '()'()'(2)f f e f π<<
C. (2)'(2)'(3)(3)f f f f <-<
D. '(3)(3)(2)'(2)f f f f <-<
【答案】C 【解析】 【分析】 原式等价于
()()
12122
2f x f x x x f ++⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，可画出大致图像，得到A 正确；由图像变化趋
势以及导函数的几何意义得到B 正确；由割线的斜率的定义得到D 正确，进而得到答案. 【详解】因为()'0f x >，所以()f x 在R 上单调递增.()1212,x x R x x ∀∈≠，恒有
()()121222x x f x f x f +⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭
，
所以()y f x =的图象是向上凸起的，如图所示.
所以()()()2f f e f π<<，故A 项正确；
因为()'f x 反映了函数()f x 图象上各点处的切线的斜率，
由图象可知，随着x 的增大，()f x 的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小， 所以()()()'''2f f e f π<<，故B 项正确； 因为()()()()323232
f f f f --=
-，
表示点()()
2,2A f 与()()
3,3B f 连线的斜率，
由图可知()()'3'2AB f k f <<，故D 正确；C 项无法推出， 故答案
：C.
【点睛】这个题目考查了函数的凹凸性，以及导函数的几何意义，导函数的单调性能体现原函数的变化快慢，以及图像的凹凸性.
12.已知函数()()()
3x x x
e ax e
f x a
g x x e
，-=-=，若方程()()f x g x =有4个不同的实数解，则实数a 的取值范围是 A. (),e -∞
B. ()(),33,e ⋃+∞
C. ()(),0,e -∞⋃+∞
D. (),e +∞
【答案】B 【解析】 【分析】
由()()f x g x =得到3(1)x x e ax a x e -=-，令x
e t x
=可得3(1)a t a t -=-，整理得
()()30t t a --=．然后根据导数可得0x e t x =<或x
e t e x
=≥，故所求问题转化为方程
()()
30t t a --=有两个大于e 的不等实根，画出函数e
x
y x
=的图象后可得结果．
【详解】由()()f x g x =得到3(1)x x e ax
a x e -=-，
令x
e t x
=，则得3(1)a t a t -=-，整理得()()30t t a --=．
由()x
e t x x
=得，当0x <时，()0t x <；
当0x >时，2
(1)
()x e x t x x
'-=，()t x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以当0x >时()(1)t x t e ≥=．
所以函数()t x 的值域为(,0)[,)e -∞⋃+∞．
画出函数()x
e t x x
=的图象如下图所示．
由题意可得“方程()()f x g x =有4个不同的实数解”等价于“方程()()30t t a --=有两
个大于e 的不等实根”，
由于3x
e t x
==有两个不等实根，
所以只需方程x
e t a x
==有两个不同于上述方程的实根，
结合图象可得a e >且3a ≠，
所以实数a 的取值范围是()(),33,e ⋃+∞． 故选B ．
【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题：
13.已知i 是虚数单位，复数21
i
z i =-，则在复平面上复数z 对应的点坐标______. 【答案】(1,1). 【解析】 【分析】
先化复数代数形式，再根据共轭复数定义以及复数几何意义求结果. 【详解】因为22(1)1112
i i i z i z i i --=
==-∴=+-，对应点坐标为(1,1). 点睛】本题考查复数除法运算，共轭复数定义以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.
14.如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地，去本三尺,问折者高几何?意思是:有一根竹子原高一丈(1丈10=尺)，现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为__________尺．
【答案】4.55 【解析】 【分析】
根据题意画出图形，列出等式关系，联立即可求解.
【详解】如图，已知100AB AC +=（尺），3BC =（尺），2229AB AC BC -== ， ∴()()9AB AC AB AC +-=，解得0.9AB AC -=，
因此100.9AB AC AB AC +=⎧⎨
-=⎩，解得5,45
455
AB AC =⎧⎨=⎩ ，
故折断后的竹干高为4,55尺.故答案为4,55.
【点睛】本题属于解三角形中的简单题型，主要考察解三角形的实际应用问题，关键在于读懂题意，根据题设做出图形.
15.曲线y ＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________． 【答案】530x y +-=. 【解析】 【分析】
先利用导数求切线的斜率，再写出切线方程.
【详解】因为y ′＝－5e －5x ，所以切线的斜率k ＝－5e 0＝－5，所以切线方程是：y －3＝－5(x －0)，即y ＝－5x ＋3.
故答案为：y ＝－5x ＋3.
【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义和函数的求导，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '是曲线()y f x =在
00(,())P x f x 处的切线的斜率，相应的切线方程是000()()y y f x x x '-=-
16.己知函数()sin cos f x x x =，3,22x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦有以下结论： ①()
f x 的
图象关于直线y 轴对称 ②()f x 在区间35,44ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦上单调递减 ③()f x 的一个对称中心是,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
④()f x 的最大值为12
则上述说法正确的序号为__________（请填上所有正确序号）. 【答案】②④ 【解析】 【分析】
根据三角函数性质，逐一判断选项得到答案.
【详解】3,22x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，1sin 2,,222()sin cos 13sin 2,,2
22x x f x x x x x ππππ⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦==⎨⎡⎤
⎪-∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩
根据图像知：
①()f x 的图象关于直线y 轴对称，错误 ②()f x 在区间35,44ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦上单调递减，正确
③()f x 的一个对称中心是,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
，错误 ④()f x 的最大值为1
2
，正确 故答案为②④
【点睛】本题考查了三角函数的化简，三角函数的图像，三角函数性质，意在考查学生对于三角函数的综合理解和应用.
三、解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos 0a C c A b B ++=. （Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若ABC ∆，求ABC ∆的周长.
【答案】（Ⅰ）23
B π
=；（Ⅱ）5 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由由正弦定理得()sin 2sin cos 0A C B B ++=，进而得到sin 2sin cos 0B B B +=，求得1
cos 2
B =-
，即可求解； （Ⅱ）由（Ⅰ）和正弦定理，求得5b =，再由余弦定理得2225a c ac =++，利用三角形的面积公式，求得3ac =，进而求得a c +的值，得出三角形的周长. 【详解】（Ⅰ）由题意，因为cos cos 2cos 0a C c A b B ++=， 由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos 0A C C A B B ++=， 即()sin 2sin cos 0A C B B ++=，
由A C B π+=-，得sin 2sin cos 0B B B +=， 又由(0,)B π∈，则sin 0B >， 所以12cos 0B +=，解得1
cos 2
B =-， 又因为(0,)B π∈，所以23
B π=
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
2
3
B
π
=
，
2
3
2
=⨯
，解得5
b=，
由余弦定理得2222cos
b a
c ac B
=+-，可得22
25a c ac
=++，
因为ABC
∆
的面积为
1
sin
424
ac B ac
==，解得3
ac=，
所以()()
22
22
253
a c ac a c ac a c
=++=+-=+-
，解得：a c
+=
所以ABC
∆
的周长5
L a c b
=++=.
【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
18.在正项等比数列{}n a中，11
a=且
3
2a，
5
a，
4
3a成等差数列
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列{}n b满足n
n
n
b
a
=，求数列{}
n
b的前n项和
n
S.
【答案】（1）1
2n
n
a-
=（2）
1
2
4
2
n n
n
S
-
+
=-
【解析】
【分析】
（1）根据3
2a，
5
a，
4
3a成等差数列建立方程式求解公比，得出通项公式。

（2）根据错位相减求解数列{}n b的前n项和n S。

【详解】（1）534
1
223
1
a a a
a
=+
⎧
⎨
=
⎩
Q
423
111
1
223
1
a q a q a q
a
⎧=+
∴⎨
=
⎩
2
q
∴=，
1
2
q=-
n
a>
Q，2
q
∴=
1112n n n a a q --==
（2）12
n n n n n b a -=
=Q 01
21
1232222n n n S -∴=
++++L 121112122222
n n n n n S --=++++L ①-②得211111122222n n n n
S -=++++-L
1221222
2n n n n n +⎛
⎫=--=- ⎪⎝⎭
1
2
42n n n S -+∴=-
【点睛】本题属于基础题，利用方程求解数列的基本量，进而得出通项公式。

等比数列乘等差数列型利用错位相减法求解。

19.函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2
A π
ωϕ>><
）的部分图象如图所示，把函数()
f x 的图像向右平移
4
π
个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图像.
（1）当17,424x ππ⎡⎤∈⎢
⎥⎣⎦
时，求()g x 的值域 （2）令()=()3F x f x -，若对任意x 都有2
()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立，求m 最
大值
【答案】（1）21,02⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
（2）265-
【解析】
【分析】
（1）根据图象的最低点求得A 的值，根据四分之一周期求得ω的值，根据点7,112π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
求得ϕ的值，由此求得函数()f x 的解析式，进而根据图象平移变换求得()g x 的解析式，并由此求得17,424x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
时()g x 的值域.（2）先求得()f x 的值域，由此求得()F x 的值域.令()[4,2]t F x =∈--对题目所给不等式换元，根据二次函数的性质列不等式组，解不等式组求
得m 的取值范围，由此求得m 的最大值. 【详解】（1）根据图象可知1
71,4123
A T ππ==
- 2,2,()sin(2)T f x x T
π
πωϕ∴=∴=
==+ 代入7,112π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
得，7sin 1,2,63k k Z ππϕϕπ⎛⎫+=-=+∈
⎪⎝⎭， ||,0,2
3
k π
π
ϕϕ<
∴==
Q
()sin 23f x x π⎛
⎫∴=+ ⎪⎝
⎭
把函数()f x 的图像向右平移
4
π
个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x ()sin 21sin 21436g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫∴=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭，
设26
t x π
=-
，则5,34t ππ⎡⎤∈⎢
⎥⎣
⎦，
此时sin t 2⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦，
所以值域为1,0⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
. （2）由（1）可知()sin 2[1,1]3f x x π⎛
⎫
=+
∈- ⎪⎝
⎭
()()3[4,2]F x f x =-∈--
对任意x 都有2
()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立
令()[4,2]t F x =∈--，
2()(2)2h t t m t m =-+++，是关于t 的二次函数，开口向上
则max ()0h t ≤恒成立
而()h t 的最大值，在4t =-或2t =-时取到最大值
则(2)0(4)0h h -≤⎧⎨
-≤⎩，4(2)(2)20
16(2)(4)20m m m m -+-++≤⎧⎨-+-++≤⎩
，
解得10326
5m m ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤-
⎪⎩
所以26
5m ≤-
，则m 的最大值为265
-. 【点睛】本小题主要考查由三角函数图像求三角函数的解析式，考查三角函数图像变换，考查不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
20.如图所示，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60ADC ︒∠=，AC 与BD 交于点O ，EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 的中点，AB CE =.
（1）求证：//DE 平面ACF ；
（2）求异面直线EO 与AF 所成角的余弦值； （3）求AF 与平面EBD 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见详解；（2）5；（3）5
【解析】 【分析】
（1）连接OF ，可得OF 为BDE V 的中位线，OF∥DE，可得证明；
（2）连接C 点与AD 中点为x 轴，CB 为y 轴，CE 为z 轴建立空间直角坐标系，可得EO uuu r ，AF
u u u r
的值，可得异面直线EO 与AF 所成角的余弦值；
（3）可得平面EBD 的一个法向量为n r
，可得AF 与平面EBD 所成角的正弦值.
【详解】解：（1）
如图，连接OF ，因为底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ， 可得O 点为BD 的中点，又F 为BE 的中点，所以OF 为BDE V 的中位线， 可得OF∥DE,又OF ACF ∈,DE 不在平面ACF 内， 可得//DE 平面ACF ；
（2）如图连接C 点与AD 中点位x 轴，CB 为y 轴，CE 为z 轴建立空间直角坐标系， 设菱形ABCD 的边长为2，可得CE=2， 可得E(0，0，2)，31
2
3可得：31
(,2)2
EO =-u u u r ,(3,0,1)AF =-u u u r ,设异面直线EO 与AF 所成角为θ，
可得
222222311(3)0(2)(1)
5222cos =202531
()()(2)(3)(0)(1)22
EO AF
EO AF
θ-+⨯+-⨯-⋅==++-⨯-++-u u u r u u u r u u u r u u u r ， （3）可得3,-1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),
可得n 0(3,3,0)DB ⋅=u u u u r r ,(0,2,2)BE =u u u r
,设平面EBD 的一个法向量为n r
，
可得n 0DB ⋅=u u u r u r ，n 0BE ⋅=u u u r r ,可得n r
的值可为(-3,-1,1)
，由(3,0,1)AF =--u u u r
可得AF 与平面EBD 所成角的正弦值为
n n AF AF ⋅r u u u r r u u u r =222222(3)(3)(1)(0)(1)(1)554(3)(1)(1)(3)(0)(1)
-⨯-+-⨯+⨯-==-+-+-++-. 【点睛】本题主要考查直线与平面平行，及向量法求异面直线所成的角及向量法求直线与平面所成的角，综合性大，难度较大.
21.为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市
100名农民工（其中技术工、非技术工各50名）的月工资，得到这100名农民工月工资的中
位数为39百元（假设这100名农民工的月工资均在[]25,55（百元）内）且月工资收入在
[)45,50（百元）内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：
（Ⅰ）求m ，n 的值；
（Ⅱ）已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名，则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系？
参考公式及数据：()()()()()2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
()20P K k ≥ 0.05 0.01 0.005 0.001 0k
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】（Ⅰ）0.02m =，0.025n =；（Ⅱ）不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认
为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关 【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据频数计算出月工资收入在[
)45,50（百元）内的频率，利用频率总和为1和频率分布直方图估计中位数的方法可构造出关于,m n 的方程组，解方程组求得结果；（Ⅱ）根据题意得到列联表，从而计算出2 5.7610.828K =<，从而得到结论. 【详解】（Ⅰ）Q 月工资收入在[
)45,50（百元）内的人数为15
∴月工资收入在[)45,50（百元）内的频率为：
15
0.15100
=； 由频率分布直方图得：()0.02240.0150.151m n +++⨯+= 化简得：20.07m n +=……①
由中位数可得：()0.025********.5m n ⨯+⨯+⨯-= 化简得：540.2m n +=……② 由①②解得：0.02m =，0.025n = （Ⅱ）根据题意得到列联表：
()2
210019193131 5.7610.82850505050
K ⨯⨯-⨯∴=
=<⨯⨯⨯
∴不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有
关
【点睛】本题考查频率分布直方图中的频率和中位数的计算、独立性检验解决实际问题，考查基础运算能力，属于常规题型.
22.已知函数2
()(1)ln f x x ax a x =-+- （I ）若2a ≥-讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）若0a >，且对于函数()f x 的图象上两点()()()
()()1112221
2,,P x f x P x f x x
x <，存在
()012,x x x ∈，使得函数()f x 的图象在0x x =处的切线12//l PP .求证：12
02
x x x +<
. 【答案】(1)见解析(2)见证明 【解析】 【分析】
(1)对函数()f x 求导，分别讨论0a ≥，20a -<<以及2a =-，即可得出结果； (2)根据题意，由导数几何意义得到
()()()()11
2
2110122122
ln
2R P x a f x f x x f x k x x a x x x x -===+-+++'-，将证明1202
x x
x +<转化为证明()2121122ln x x x x x x ->+即可，再令21
x t x =，设()()21ln 1t g t t t -=-+ (1)t >，用导数方法判断
出()g t 的单调性，进而可得出结论成立.
【详解】（1）解：易得，函数()f x 的定义域为()0,+∞，
()()()()1221x x a a f x x a x x
-+=-+=
'-
， 令()0f x '=，得1x =或2
a
x =-
. ①当0a ≥时，01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；
1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增.
此时，()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞. ②当20a -<<时，12
a
x -
<<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 02
a
x <<-
或1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增. 此时，()f x 的减区间为,12
a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
，增区间为0,2a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
，()1,+∞.
③当2a =-时，0x >时，()()2
210x f x x
-'=>，函数()f x 单调递增；
此时，()f x 的减区间为()0,+∞.
综上，当0a ≥时，()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞：
当20a -<<时，()f x 的减区间为,12
a
⎛⎫- ⎪⎝⎭，增区间为0,2a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
.()1,+∞；
当2a =-时，()f x 增区间为()0,+∞.
（2）证明：由题意及导数的几何意义，得()()()1121021
R P f x f x f x k x x ==
'--
()()2222211121
1ln 1ln x ax a x x ax a x x x ⎡⎤⎡⎤
-+---+-⎣
⎦⎣⎦=-
()211222
ln
2x a x x x a x x =+-++
+
由（1）中()f x '得()121212
222x x a f x x a x x +⎛⎫
=+-+-
⎪+⎭'⎝. 易知，导函数()()21a
f x x a x
=-+-
' (0)a >在()0,+∞上为增函数， 所以，要证1202x x x +<，只要证()1202x x f x f +⎛⎫
< ⎪⎝'⎭
'，
即2
12112
ln
2x a x a x x x x <--+，即证()212112
2ln x x x
x x x ->+. 因为210x x >>，不妨令21x t x =
，则()()
21ln 1
t g t t t -=-+ (1)t >. 所以()()()()2
22
114011t g t t t t t -=-=+'>+ (1)t >，
所以()g t 在()1,t ∈+∞上为增函数， 所以()()10g t g >=，即()21ln 01
t t t --
>+，
所以()21ln 1
t t t ->
+，即
ln 2
11
t t t >-+， 即()212112
2ln
x x x x x x ->+. 故有12
02
x x x +<
（得证）. 【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性以及函数极值等即可，属于常考题型.。