《我佩服的同学》参考教案

奇妙的换元法
一、引入
所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，把整个式子的一部分看作一个量，然后用一个字母去代替它，从而简化复杂式子的结构，使问题易于解决。

今天这一讲我们着重学习换元法的应用。

二、例题选讲
例1． 把1)1(2)(2-++-+n m n m 分解因式
分析：在原式中，重复出现了m+n ，不妨把m+n 看成u
解：设m+n = u
1)1(2)(2-++-+n m n m
= 1)1(22-+-u u 换元
= 322--u u
= )1)(3(+-u u 回代
= )1)(3(++-+n m n m
*此例通过换元使原多项式的形式简洁了，分解容易了。

因而，在因式分解中，换元法有较为普遍的应用。

例2．分解因式 8)43)(33(22-++-+x x x x
分析：此式展开后是n 的四次多项式，若将其展开，一定复杂。

根据本题特征，可设 y x x =+32。

通过换元，将x 的四次多项式转化为y 的二次多项式，化繁为简，变难为易。

解：设y x x =+32，则
原式 = 8)4)(3(-+-y y 换元
= 202-+y y
= )5)(4(+-y y = )53)(43(22++-+x x x x 回代
= )53)(4)(1(2+++-x x x x
*本题除了可设y x x =+32换元以外，还有其它的换元方法（可设y x x =-+332或
y x x =++432均可）
例3． 分解因式
2)1()2)(2-+-+-+xy y x xy y x （ 分析：直接分解因式较困难，观察所给式子，发现式子中只有x+ y 和xy ，若将x+ y 和xy 换元成a 和b ，则原式可以化为
2)1()2)(2-+--b a b a （的形式，分解因式后再将a 、b 用x+ y 与xy 代入即可。

解：设x+ y = a ，xy = b 则
原式 = 2)1()2)(2-+--b a b a （
= 1242222--++--b b b ab a a
= 1)22()2(22++-++-b a b ab a
= 1)(2)(2+---b a b a
= 2)1(--b a = 2)1(--+xy y x
= 2)]1()1([y y x --- = 2)]1)(1[(y x --
= 22)1()1(--y x
*从本题特征看，把x+ y 、xy 各看作一个整体换元可使问题简化，事实上本题解法较多，同 学们可以自己在课后加以研究。

例4． 已知432c b a ==，0≠abc ，求2
222232c bc a b bc a --+-的值。

分析：当题中含有比例式时，就可以设这个比例式为辅助元。

解：设4
32c b a == = k ，（0≠k ） 则a = 2k ，b = 3k ，c = 4k 所以2222232c bc a b bc a --+- = 2222221624416368k k k k k k --+- = 2
23612k k -- = 31
例5． 已知
4
22x z z y y x +=+=+，且x + 2y + z = 12，求：z y x +-2的值。

解，设422x z z y y x +=+=+ = k
则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+k x z k z y k y x 432 解出 ⎪⎩⎪⎨⎧===k
z k y k x 252123
因为x + 2y + z = 12
所以122
52123=++k k k ，所以k = 4
所以 x = 6，y = 2，z = 10
所以z y x +-2 = 6－4 + 10 = 12
例6．若67890123455678901234=A ，67890123475678901235=B ，比较A 、B 的大小。

分析：A 、B 的分子、分母间有着密切的联系，不妨用一个字母代替一长串数字，肯定比直接 处理容易。

解：令5978901234 = x ，6789012345 = y ，
则 y x A =， 2
1++=y x B A －B =
21++-y x y x = )2()1()2(++-+y y y x y x = )2(2+-y y y x 而y x -2与)2(+y y 都是明显大于0，
所以 A > B
*若应用比差法或比商法，直接通过数值计算来比较大小，其繁杂是不言而喻的，若进行适当 的代换，则解法就简便了。

例7． 试比较12912919971996++与1
2912919981997++的大小。

分析：若利用比差法或比商法或直接通过数值计算来比较大小，显然都不可取，若进行适当的 代换，则解法就简便了。

解：设a =199629，则a 29291997=，a 219982929= 于是两个正数的大小比较就可转化为两个代数式
1291++a a 与1
291292++a a 的大小比较了。

1291++a a －1291292++a a = )
129)(129()5729(22++-a a a 显然 057292>-，所以)129)(129()5729(22++-a a a > 0 所以1291++a a > 1
291292++a a 即12912919971996++>1
2912919981997++
例8．计算)4
13121)(514131211()51413121)(4131211(++++++-++++++ 分析：本题如把多个括号都通分起来肯定很复杂，注意观察，各括号内都有一些重复的部分， 这是运用换元法的绝好机会。

解设4
13121
++ = a 则原式 = a a a a •++-++)511()51
)(1(
= a a a a a a 51515122---+++
=
51 *本题解法通过换元免去了通分及重复部分计算的过程，使解答过程简洁明快。

例9．求证12000199919981997+⨯⨯⨯是一个完全平方数。

分析：要证结论成立，只要证原式计算的结果是某个整数的平方即可，若要直接算出结果， 那简直是“体力劳动”，若作适当的换元，如设1997 = n ，则原式变为1)3)(2)(1(++++n n n n ， 这时，只要通过因式分解证明上式是一个完全平方就行了，这不是太困难的。

证明：令1997 = n ，则
原式 = 1)3)(2)(1(++++n n n n
= 1)23)(3(22+++++n n n n = 1]1)13][(1)13[22++++-++n n n n （ = 22)13(++n n
将n = 1997代入上式，则原式 = 22)1199731997(+⨯+，故结论成立。

*从此例即可看出，换元法真是非常奇妙，在数学解题时，当你处于“山穷水尽”的困境时， 不妨作适当的换元，或许可展现“柳暗花明”的光明前景。

例10． 计算
)18910+++++x x x x （)18910+--+-x x x x （展开式中奇数次各项的系数之和 分析：直接逐项相乘展开显然很麻烦，注意观察式子的特征。

A = 1246810+++++x x x x x
B = 13579+++++x x x x x
则原式可化为（A + B ）（A －B ）的形式，那么就可运用乘法公式。

解：设A = 1246810+++++x x x x x ， B = 13579+++++x x x x x
原式 = （A + B ）（A －B ） = 22B A -
整式A 中只含x 的偶数次数，所以A 2中也只含偶式次数项，又因为
B 2 = 23579)1(+++++x x x x x = 22468)]1([++++x x x x x
= 224682)1(++++x x x x x
所以B 2 也只含x 的偶数次项，从而22B A -只含偶数次项，由此得展开式中奇数次项系数之和为0。

*既然逐项相乘展开很麻烦，就应考虑能否运用乘法公式，换元之后运用平方差公式，使问题转化为只需考虑A 2与B 2中x 的奇数次项，从而找到解决问题的突破口。

例11．有一个六位数abcde 1，若将它乘以3，就得出1abcde ，求原来的六位数。

解：设五位数abcde = x ，按题意得
110)100000(3+=+x x ，解得 x = 42857
所以原来的六位数位142857。

*位数是字母表示的情况下，绝不可直接计算，利用换元法是对付这类问题的行之有效的方法。

它可以用代数式的变形去代替数据之间的直接运算。

例12．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件共需315元。

若购甲4件，乙10 件，丙1件共需420元，问现在购甲、乙、丙各一件共需多少元？
分析：本题要求的是甲、乙、丙三种货物单价之和，并不一定把每一种货物的单价求出来。

解：设甲、乙、丙1件各需y 、x 、z 元
由题意，得⎩
⎨⎧=++=++42010431573z y x z y x 整理得⎩
⎨⎧=++++=++++420)()3(3315)()3(2z y x y x z y x y x 设M y x =+3，N z y x =++
即原方程组为⎩
⎨⎧=+=+42033152N M N M 解之，得N = 105 即x +y+z = 105
答：购甲、乙、丙各1件共需105元。

例13． 已知x = y = 11，求
)2)(2()12xy y x y x xy -+-++-（的值。

分析：本题是可以直接代入求值的，下面采用换元法，先将式子改写得较简洁，然后在求值。

解：设x+ y = m ，xy = n ，
原式 = )2)(2()12n m m n --+-（
= n mn m m n n 4221222+--++-
= 222212m mn m n n +--++
= 22)1(2)1(m n m n ++-+
= 2)1(m n -+
= 2)221121(-+
= 100 2 = 10000
*换元法是处理较复杂的代数式的常用手段，通过换元，可以使代数式的特征更加突出，从而简化了题目的表达形式。

例14．化简)3221()311(111)1()122222
2+--+⋅+--+÷⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+-+x x x x x x x x x x x x x x （ 分析：观察本题特征，形式上x x 1+出现最多，由乘法公式221x x +可用2)1(2-+x x 表示，因此 用换元法将本题形式变为简单，
解：设x x a 1+
=，则221x
x + = 2)1(2-+x x = 22-a ， 则 原式 = )322()32()1(2222+--⋅+--÷--a a a a a
a a = )12)(1()11(22222+-+-÷-+--a a a a a a a a = 22222
)1(11)11(-⋅+-⋅-+--a a a a a a a = )1(22+--a a a
= 1-a = x
x 1+－1
*本题启发我们，只要仔细观察题目特点，恰当换元，就可化繁为简。

例15．化简)
)(()())(()())(()2
22y z x z y x z y x y x z z x y x z y ---+---+---（ 分析：此分式较为复杂，可根据每个公式的特点，采用换元法简化计算。

解：设x －y = a ，y －z = b ，z －x = c
则 a + b + c = 0
原式 = bc
a a
b
c ac b -+-+-222 = abc
c b a 333++- = abc
c b a ab b a 3
3)](3)[(++++- = abc
c abc c 333++-- = －3
例16．计算)2)(2())(z y x y z x x z x y -+-+--（+)2)(2())((x z y z y x y x y z -+-+--+)
2)(2())((y z x x z y z y z x -+-+-- 分析：通过观察发现 )()(2z y y x y z x ---=-+，)()(2x z z y z y x ---=-+，
)()(2y x x z x z y ---=-+。

显然，在特定计算的式子中，均以y x -，z y -，x z -
的形式出现，故可用换元法来计算。

解：设y x -= a ，z y - = b ，x z -= c
原式 = )
)(())(())((b a a c bc a c c b ab c b b a ac --------- = ))()(()()()(a c c b b a c b bc b a ab a c ac ----+-+--
= )
)()(())()((a c c b b a a c c b b a ------ = 1
*本题式子较复杂，但仔细分析式子的结构特征，不难发现采用换元法可简化运算。

例17． 已知a z y x 3=++，求2
22)()()())(())(())((a z a y a x a x a z a z a y a y a x -+-+---+--+--的值。

解：设m a x =-，n a y =-， =-a z ，则0=++ n m
所以0)(2=++ n m ，即)(2222m n mn n m ++-=++
所以原式 =
222
++++n m m n mn = )(2m n mn m n mn ++-++ = 21- 例18． 计算：)11()(1333q p q p +++)11()(3224q p q p +++)11()(65q
p q p ++ 分析：本题直接计算较麻烦，题中可化为p + q 、q p ⋅的形式，所以考虑换元，从而使运算简 便。

解：设p + q = a ，q p ⋅ = b ，则
原式 = 33223))(()(1q p q pq p q p q p +-+⋅++22224)(3q p q p q p +⋅++pq q p q p +⋅+5)
(6 = 3323]3))[(()(1q p pq q p q p q p -++⋅++22242)()(3q p pq q p q p -+⋅++pq q p q p +⋅+5
)(6 = 323)3(1b b a a a -⋅+22423b b a a -⋅+b
a a ⋅56 =
b a b a b a b a b a 42423226633+-+- = 342
22246633b
a b b b a b a a +-+- = 344b a a = 31b
= 331q p
例19．若x 、y 、z 都是实数，
222)()()y x x z z y -+-+-（ =222)2()2()2(z y x y x z x z y -++-++-+ 求：)
1)(1()1)(1(22-+-+y zx x yz 分析：已知与待求式子均较复杂，不易看出其间的联系，但观察已知式的结构特点，用换元 法可简化，从而可找出x 、y 、z 之间的数值关系。

解：设a z y =-，b x z =-，c y x =-
代入条件式得222222)()()(b a a c c b c b a -+-+-=++
∴0222222=---++ca bc ab c b a （1）
因为0=++c b a 两边平方得
0222222=+++++ca bc ab c b a （2）
（1） + （2），并化简，得
0222=++c b a
∵x 、y 、z 都是实数
∴a 、b 、c 也是实数，
∴a = b = c = 0
即0=-y x ，0=-z y ，0=-x z
∴x = y = z
则)
1)(1()1)(1(22-+-+y zx x yz = 1 *从此例可以看出，解这类题的关键在于分析，根据已知条件与待求式子的不同结构特点，采 用相应的变形方式和不同的解题方法。

小结：换元法的要点简而言之就是：字母代式。

也就是用新的“元”代替原式中的式。

这个式可以是数，也可以是代数式。

换元恰当就能简化式中包含的数学关系，使原本较难解决的问题变得易于处理。

所以说很多数学问题的解决“难”就难在换元，“巧”也巧在换元。

练习：
1．计算：1987`19871987200020002000⨯-⨯
2．计算)1996
13121)(1997131211()1996131211)(199713121(+++++++-+++++
++
3．分解因式：2)3(3)3(22++++x x x x
4．已知012=-+x x ，求代数式 122234-+++x x x x 的值。

5．分解因式：262234+---x x x x
练习答案
1．0
2．19971 3．
)1)(2)(132++++x x x x （ 4．1
5．)2)(12()1(2--+x x x。