【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习(回扣主干知识+提升学科素养)第二章 第一节 函数及其表示教

第一节函数及其表示
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1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析式法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
1．函数的概念
一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
函数由定义域、值域、对应关系三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中
(1)定义域：自变量x的取值范围．
(2)值域：函数值的集合{f(x)|x∈A}．
3．函数的表示方法
表示函数的常用方法有：解析式法、图象法、列表法．
4．分段函数
若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．5．映射的概念
设A、B是两个非空的集合，如果按照确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y和x对应，那么就称对应f：A→B叫做从集合A 到集合B的一个映射．
1．函数概念中的“集合A、B”与映射概念中的“集合A、B”有什么区别？
提示：函数概念中的A、B是两个非空数集，而映射中的集合A、B是两个非空的集合即可．
2．函数是一种特殊的映射，映射一定是函数吗？
提示：不一定．
3．已知函数f(x)与g(x)．
(1)若它们的定义域和值域分别相同，则f(x)＝g(x)成立吗？
(2)若它们的定义域和对应关系分别相同，则f(x)＝g(x)成立吗？
提示：(1)不成立；(2)成立．
1．下列各图形中是函数图象的是( )
解析：选D 由函数的定义可知选项D 正确．
2．下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A ．f(x)＝|x|，g (x)＝x 2
B ．f(x)＝x 2，g (x)＝(x )2
C ．f (x)＝x 2－1x －1
，g(x)＝x ＋1 D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1
解析：选A 对于A ，g (x )＝x 2＝|x |，且定义域相同，所以A 项表示同一函数；对于
B 、
C 、
D ，函数定义域都不相同．
3．(2013·江西高考)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( )
A ．(0,1)
B ．[0,1)
C ．(0,1]
D ．[0,1]
解析：选B 要使函数y ＝x ·ln(1－x )有意义，需⎩
⎪⎨⎪⎧ x≥0，1－x>0，即0≤x<1. 4．(2014·青岛模拟)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2，x≤1，x 2＋x －2，x>1，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1f 2的值为________． 解析：由题易知，f(2)＝4，
1f 2＝14，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫142＝1516. 答案：1516 5．(教材习题改编)A ＝{x|x 是锐角}，B ＝(0,1)，从A 到B 的映射是“求余弦”，与A 中元素60°相对应的B 中的元素是________；与B 中元素
32
相对应的A 中的元素是________．
解析：当x ＝60°时，y ＝cos 60°＝12；当x ∈(0°，90°)，cos x ＝32
时，x ＝30°. 答案：12
30°
数学思想(一)
分类讨论在分段函数中的应用
由于分段函数在不同定义区间上具有不同的解析式，在处理分段函数问题时应对不同的区间进行分类求解，然后整合，这恰好是分类讨论的一种体现．
[典例] (2014·西城模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋bx ＋c x ≤0，2x >0，若f (－2)＝f (0)，
f (－1)＝－3，则方程f (x )＝x 的解集为________．
[解题指导] 本题可由条件f (－2)＝f (0)及f (－1)＝－3求出f (x )的解析式，但在解方程f (x )＝x 时应分x ≤0和x >0两种情况讨论．
[解析] 当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ，因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则⎩⎪⎨⎪⎧ －22－2b ＋c ＝c ，－12－b ＋c ＝－3，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝－2， 故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －2x ≤0，2x >0.
当x ≤0时，由f (x )＝x ，得x 2＋2x －2＝x ，
解得x ＝－2或x ＝1(1>0，舍去)．
当x >0时，由f (x )＝x ，得x ＝2.
所以方程f (x )＝x 的解集为{－2,2}．
[答案] {－2,2}
[题后悟道] 解决分段函数问题的关键是“对号入座”，即根据自变量取值的范围，准确确定相应的对应法则，代入相应的函数解析式，转化为一般的函数在指定区间上的问题，解完之后应注意检验自变量取值范围的应用．总之，解决分段函数的策略就是“分段函数，分段解决”，亦即应用分类讨论思想解决．
设函数f (x )＝⎩⎨⎧ x ，x ≥0，
－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝ ( )
A ．－3
B ．±3
C．－1 D．±1
解析：选D 因为f(－1)＝－－1＝1，所以f(a)＝1，当a≥0时，a＝1，所以a＝1；当a<0时，－a＝1，所以a＝－1.
故a＝±1.。