第1章 第4节 数列在日常经济生活中的应用

§4 数列在日常经济生活中的应用 学习目标 1.能够利用等差数列、等比数列解决一些实际问题.2.了解“零存整取”，“定期自动转存”及“分期付款”等日常经济行为的含义．
知识点一 单利、复利
思考1 第一月月初存入1 000元，月利率0.3%，按单利计息，则每个月所得利息是否相同？ 答案 按单利计息，上一个月的利息在下一个月不再计算利息，故每个月所得利息是一样的． 思考2 第一月月初存入1 000元，月利率0.3%，按复利计息，则每个月所得利息是否相同？ 答案 不同．因为按复利计息，上一个月的本金和利息就成为下一个月的本金，所以每个月的利息是递增的．
梳理 一般地，(1)单利是指：仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息． 利息按单利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和为a (1＋rx )．
(2)复利是指把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期的本金是不同的． 利息按复利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和a (1＋r )x . 知识点二 数列应用问题的常见模型
1．整存整取定期储蓄
一次存入本金金额为A ，存期为n ，每期利率为p ，到期本息合计为a n ，则a n ＝A (1＋np )．其本质是等差数列已知首项和公差求第n 项问题．
2．定期存入零存整取储蓄
每期初存入金额A ，连存n 次，每期利率为p ，则到第n 期末时，应得到本息合计为：nA ＋n (n ＋1)2
Ap .其本质为已知首项和公差，求前n 项和问题．
3．分期付款问题 贷款a 元，分m 个月将款全部付清，月利率为r ，各月所付款额和贷款均以相同利率以复利计算到贷款全部还清为止．其本质是贷款按复利整存整取，还款按复利零存整取，到贷款全部还清时，贷款本利合计＝还款本利合计．
1．复利在第二次计息时，将上一次的本利和当作本金．(√)
2．增长率＝增长量增长前的量
.(√) 3．同一笔钱，相同的利率，用单利计息和用复利计息收益是一样的．(×)
类型一 等差数列模型
例1 第一年年初存入银行1 000元，年利率为0.72%，那么按照单利，第5年末的本利和为________元．
考点 等差数列的应用题
题点 等差数列的应用题
答案 1 036
解析 设各年末的本利和为{a n }，
由a n ＝a (1＋nr )，其中a ＝1 000，r ＝0.72%，
∴a 5＝1 000×(1＋5×0.72%)＝1 036(元)．
即第5年末的本利和为1 036元．
反思与感悟 把实际问题转化为数列模型时，一定要定义好数列，并确认该数列的基本量包括首项，公比(差)，项数等．
跟踪训练1 李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”．从8月1号开始，每个月的1号都存入100元，存期三年，已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.问到期时，李先生一次可支取本息多少元？
考点 等差数列的前n 项和应用题
题点 等差数列前n 项和应用题
解 设第n 个月存入的100元到期利息为a n ，
则a 1＝100×2.7‰×36，
{a n }是公差为100×2.7‰的等差数列．
∴数列{a n }的前36项和S 36＝36a 1＋36×352
d ＝36×100×2.7‰×36＋18×35×100×2.7‰＝179.82，
3年共存入本金100×36＝3 600(元)．
∴到期一次可支取3 600＋179.82＝3 779.82(元)．
类型二 等比数列模型
例2 现存入银行8万元，年利率为2.50%，若采用1年期自动转存业务，则5年末的本利和是________万元．
考点 等比数列的应用题
题点 等比数列的应用题
答案 8×1.0255
解析 定期自动转存属于复利问题，设第n 年末本利和为a n ，则
a 1＝8＋8×0.025＝8×(1＋0.025)，
a 2＝a 1＋a 1×0.025＝8×(1＋0.025)2，
a 3＝a 2＋a 2×0.025＝8×(1＋0.025)3，
∴a 5＝8×(1＋0.025)5，
即5年末的本利和是8×1.0255.
反思与感悟 在建立模型时，如果一时搞不清数列的递推模式，可以先依次计算前几项，从中寻找规律．
跟踪训练2 银行一年定期储蓄存款年息为r ，按复利计算利息；三年定期储蓄存款年息为q ，按单利计算利息．银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q 的值应大于________．
考点 等比数列的应用题
题点 等比数列的应用题
答案 13
[(1＋r )3－1] 解析 设储户开始存入的款数为a ，由题意得，a (1＋3q )>a (1＋r )3，∴q >13
[(1＋r )3－1]． 类型三 分期付款
例3 用分期付款的方式购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止，商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？ 考点 等差数列的前n 项和应用题
题点 等差数列前n 项和应用题
解 购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列{a n }，
则a 1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)；
a 2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)；
a 3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)，…，
a n ＝2＋[25－5－(n －1)·2]·10%＝⎝
⎛⎭⎪⎫4－n －15(万元)(n ＝1,2，…，10)． 因而数列{a n }是首项为4，公差为－15
的等差数列． a 5＝4－5－15
＝3.2(万元)． S 10＝10×4＋10×(10－1)×⎝⎛⎭⎫－152
＝31(万元)． 因此第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元．
反思与感悟 建立模型离不开准确理解实际问题的运行规则．不易理解时就先试行规则，从中观察归纳找到规律．
跟踪训练3 某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计5年还清，则每年应偿还( )
A.a (1＋γ)(1＋γ)5－1
万元 B.aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1万元 C.aγ(1＋γ)5
(1＋γ)4－1
万元 D.aγ(1＋γ)5
万元 考点 等比数列的前n 项和应用题
题点 等比数列的前n 项和应用题
答案 B
解析 根据已知条件知本题属于分期付款问题，设每年应偿还x 万元，则
x [(1＋γ)4＋(1＋γ)3＋…＋1]＝a (1＋γ)5，
∴x ·1－(1＋γ)5
1－(1＋γ)
＝a (1＋γ)5 故x ＝aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1
(万元).
1．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天它飞出去找回了5个小伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，…，如果这个找伙伴的过程断续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂()
A．65只B．66只C．216只D．36只
考点等比数列的应用题
题点等比数列的应用题
答案 B
解析设第n天蜜蜂飞出蜂巢中共有a n只蜜蜂，则a1＝1，a2＝5a1＋a1＝6a1，a3＝5a2＋a2＝6a2，…，
∴{a n}是首项为1，公比为6的等比数列．
∴a7＝a1·q7－1＝66.
2．某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，……，按照这种规律进行下去，6小时后细胞的存活数是()
A．32 B．31 C．64 D．65
考点等比数列的应用题
题点等比数列的应用题
答案 D
解析可递推下去，4小时后分裂成18个并死去一个，5小时后分裂成34个并死去一个；6小时后分裂成66个并死去一个，65个存活．
3．一群羊中，每只羊的重量数均为整千克数，其总重量为65千克，已知最轻的一只羊重7千克，除去一只10千克的羊外，其余各只羊的千克数恰构成一等差数列，则这群羊共有() A．6只B．5只C．8只D．7只
考点等差数列的前n项和应用题
题点等差数列前n项和应用题
答案 A
解析依题意除去一只羊外，其余n－1只羊的重量从小到大依次排列构成等差数列．
设a1＝7，d>0，S n－1＝65－10＝55，
∴(n －1)a 1＋(n －1)(n －2)2
d ＝55， 即7(n －1)＋(n －1)(n －2)d 2
＝55， ∴(n －1)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤7＋(n －2)d 2＝55. ∵55＝11×5且(n －1)为正整数，
⎣
⎢⎡⎦⎥⎤7＋(n －2)d 2为正整数． ∴⎩⎨⎧ n －1＝5，
7＋n －22d ＝11.解得n ＝6.
1．数列应用问题的常见模型
(1)一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，那么该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差，其一般形式是：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)．
(2)如果增加(或减少)的百分比是一个固定的数时，那么该模型是等比模型．
(3)如果容易找到该数列任意一项a n ＋1与它的前一项a n (或前几项)间的递推关系式，那么我们可以用递推数列的知识求解问题.
2．数列综合应用题的解题步骤
(1)审题——弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各是什么问题.
(2)分解——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等．
(3)求解——分别求解这些小题或这些小“步骤”，从而得到整个问题的解答．
(4)还原——将所求结果还原到实际问题中．
一、选择题
1．夏季高山上的气温从山脚起每升高100米降低0.7度，已知山脚气温为26度，山顶气温为14.1度，那么此山相对山脚的高度为( )
A ．1 600米
B ．1 700米
C ．1 800米
D ．1 900米
考点 等差数列的应用题
题点 等差数列的应用题
答案 B
解析 从山脚到山顶气温的变化成等差数列，首项为26，末项为14.1，公差为－0.7，设数列的项数为n ，则14.1＝26＋(n －1)×(－0.7)，解得n ＝18，所以山的高度为h ＝(18－1)×100＝1 700(米)．
2．通过测量知道，温度每降低6℃，某电子元件的电子数目就减少一半．已知在零下34℃时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温27℃时，该元件的电子数目接近( )
A ．860个
B ．1 730个
C ．3 072个
D ．3 900个 考点 等比数列的应用题
题点 等比数列的应用题
答案 C
解析 由题设知，该元件的电子数目变化为等比数列，且a 1＝3，q ＝2，由27－(－34)＝61，616＝1016
， 可得，a 11＝3·210＝3 072，故选C.
3．一个卷筒纸，其内圆直径为4 cm ，外圆直径为12 cm ，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，π＝3.14，则这个卷筒纸的长度为(精确到个位)( )
A ．14 m
B ．15 m
C ．16 m
D ．17 m 考点 等差数列的前n 项和应用题
题点 等差数列前n 项和应用题
答案 B
解析 纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列，则l ＝πd 1＋πd 2＋…＋πd 60＝60π·4＋122
＝480×3.14＝1 507.2(cm)≈15 m ，故选B.
4．某放射性物质的质量每天衰减3%，若此物质衰减到其质量的一半以下，则至少需要的天
数是(参考数据lg 0.97＝－0.013 2，lg 0.5＝－0.301 0)( )
A ．22
B ．23
C ．24
D ．25
考点 等比数列的应用题
题点 等比数列的应用题
答案 B
解析 依题意有(1－3%)n <0.5，
所以n >lg 0.5lg 0.97
≈22.8，故选B. 5．某人从2009年1月1日起，且以后每年1月1日到银行存入a 元(一年定期)，若年利率r 保持不变，且每年到期后存款均自动转为新一年定期，至2015年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数(单位为元)为( )
A ．a (1＋r )7
B.a r
[(1＋r )7－(1＋r )] C ．a (1＋r )8
D.a r
[(1＋r )8－(1＋r )] 考点 等比数列的前n 项和应用题
题点 等比数列的前n 项和应用题
答案 B
解析 2009年存入钱为a 元，2010年本息和为a ＋a (1＋r )，
2011年本息和为a ＋a (1＋r )＋a (1＋r )2，
2012年本息和为a ＋a (1＋r )＋a (1＋r )2＋a (1＋r )3，
2013年本息和为a ＋a (1＋r )＋a (1＋r )2＋a (1＋r )3＋a (1＋r )4，
2014年本息和为a ＋a (1＋r )＋a (1＋r )2＋a (1＋r )3＋a (1＋r )4＋a (1＋r )5，
2015年本息和为a (1＋r )＋a (1＋r )2＋a (1＋r )3＋a (1＋r )4＋a (1＋r )5＋a (1＋r )6，
故选B.
6．某厂在2010年年底制定生产计划，要使2020年年底的总产量在原有基础上翻两番(变为原来的四倍)，则年平均增长率为( )
A ．1104－1
B ．1102－1
C ．1114－1
D ．1112－1
考点 等比数列的应用题
题点等比数列的应用题
答案 A
解析设年增长率为x,2010年总产量为1，到2020年年底翻两番后的总产量为4，故1·(1＋
x)10＝4，∴x＝
1
10
4－1.
二、填空题
7．小王每月除去所有日常开支，大约结余a元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本息和．假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为________元．
考点等差数列的前n项和应用题
题点等差数列前n项和应用题
答案78ar
解析依题意得，小王存款到期利息为12ar＋11ar＋10ar＋…＋3ar＋2ar＋ar＝78ar.
8．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2009年产生的垃圾量为a吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为________吨，2016年的垃圾量为________吨．
考点等比数列的应用题
题点等比数列的应用题
答案a(1＋b)a(1＋b)7
解析2009年产生的垃圾量为a吨，下一年的垃圾量在2009年的垃圾量的基础之上增长了ab吨，所以下一年的垃圾量为a(1＋b)吨；2016年是从2009年起再过7年，所以2016年的垃圾量是a(1＋b)7吨．
9．某彩电价格在去年6月份降价10%之后经10,11,12三个月连续三次回升到6月份降价前的水平，则这三次价格平均回升率是________．
考点等比数列的应用题
题点等比数列的应用题
答案310
9－1
解析设6月份降价前的价格为a，三次价格平均回升率为x，则a×90%×(1＋x)3＝a，
∴1＋x＝310
9，x＝
310
9－1.
10．某大楼共有20层，有19人在第1层上了电梯，他们分别要去第2层至第20层，每层1人，而电梯只允许停1次，可只使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假设乘客每向
下走1层的不满意度为1，每向上走一层的不满意度为2，所有人的不满意度之和为S ，为使S 最小，电梯应当停在________层．
考点 等差数列的前n 项和应用题
题点 等差数列前n 项和应用题
答案 14
解析 设停在第x 层，则
S ＝[1＋2＋…＋(20－x )]×2＋[1＋2＋…＋(x －2)]＝3x 2－85x 2
＋421， ∴当x ＝856
时取最小值， 而x ∈{2,3，…，20}，
∴当x ＝14时取最小值．
三、解答题
11．家用电器一件，现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月付款一次，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812＝1.1)．
考点 等比数列的前n 项和应用题
题点 等比数列的前n 项和应用题
解 方法一 设每期应付款x 元．
第1期付款与到最后一次付款所产生利息之和为x (1＋0.008)11(元)．
第2期付款与到最后一次付款所产生利息之和为x (1＋0.008)10(元)，…，
第12期付款没有利息．
所以各期付款连同利息之和为
x (1＋1.008＋…＋1.00811)＝1.00812－11.008－1
x ， 又所购电器的现价及其利息之和为2 000×1.00812，
于是有1.00812－11.008－1
x ＝2 000×1.00812， 解得x ＝16×1.00812
1.00812－1＝176(元)．
即每期应付款176元．
方法二 设每期应付款x 元，则
第1期还款后欠款2 000×(1＋0.008)－x
第2期还款后欠款(2 000×1.008－x )×1.008－x
＝2 000×1.0082－1.008x －x ，
…，
第12期还款后欠款2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x ，
第12期还款后欠款应为0，
所以有2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x ＝0.
∴x ＝2 000×1.00812
1.00812－1
1.008－1
＝176(元)． 即每期应还款176元．
12．假设某市2009年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年年底
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(1.085≈1.47) 考点 等差数列的前n 项和应用题
题点 等差数列前n 项和应用题
解 (1)设中低价房面积构成数列{a n }，由题意可知{a n }是等差数列．其中a 1＝250，d ＝50，
则S n ＝250n ＋n (n －1)2
×50＝25n 2＋225n . 令25n 2＋225n ≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数，∴n ≥10.
∴到2018年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．
(2)设新建住房面积构成数列{b n }，由题意可知{b n }是等比数列．
其中b 1＝400，q ＝1.08，则b n ＝400×1.08n －1.
由题意可知a n >0.85b n ，
有250＋(n －1)·50>400×1.08n －1×0.85.
由1.085≈1.47解得满足上述不等式的最小正整数n ＝6，
∴到2014年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
13．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换10 000辆燃油型公交车．每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比一年多投入a 辆．设a n ，b n 分别为第n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，设S n ，T n 分别为n 年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量．
(1)求S n ，T n ，并求n 年里投入的所有新公交车的总数F n ；
(2)该市计划用7年时间完成全部更换，求a 的最小值．
考点 等比数列的前n 项和应用题
题点 等比数列的前n 项和应用题
解 (1)依题意知，数列{a n }是首项为128，公比为1＋50%＝32
的等比数列； 数列{b n }是首项为400，公差为a 的等差数列，
所以数列{a n }的前n 项和S n ＝128⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫32n 1－32
＝256·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n －1， 数列{b n }的前n 项和T n ＝400n ＋n (n －1)2
a . 所以经过n 年，该市更换的公交车总数F n ＝S n ＋T n ＝256⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n －1＋400n ＋n (n －1)2
a . (2)易知F n 是关于n 的单调递增函数，
依题意得F 7≥10 000，
即256⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫327－1＋400×7＋7×62
a ≥10 000， 解得a ≥3 08221
， 又a ∈N ＋，所以a 的最小值为147.
四、探究与拓展
14.如图是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的
直角边上再连接正方形，…，设起始正方形的边长为
22
，若共有1 023个正方形，则最小正方形的边长为________．
考点 等比数列的应用题
题点 等比数列的应用题
答案 132
解析 由题意可知，正方形的边长构成以
22为首项，22为公比的等比数列． 设连接n 次后可得到1 023个正方形．
由题意可知，1＋2＋…＋2n ＝1 023，
∴n ＝9，∴最小正方形的边长为22×⎝⎛⎭⎫229＝132
. 15．某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏．为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币(一种网络虚拟币)．该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励4慧币，以后每一关
比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励12
慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番(即增加1倍)．游戏规定：闯关者需在闯关前任选一种奖励方案．
(1)设闯过n (n ≤12，且n ∈N ＋)关后三种奖励方案获得的慧币总数依次为A n ，B n ，C n ，试求出A n ，B n ，C n 的表达式；
(2)如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应如何选择奖励方案？
考点 等比数列的前n 项和应用题
题点 等比数列的前n 项和应用题
解 (1)第一种奖励方案中，闯过各关所得慧币构成常数列，
∴A n ＝40n (n ≤12，且n ∈N ＋)．
第二种奖励方案中，闯过各关所得慧币构成首项为4，公差为4的等差数列，
∴B n ＝4n ＋n (n －1)2
×4＝2n 2＋2n (n ≤12，且n ∈N ＋)． 第三种奖励方案中，闯过各关所得慧币构成首项为12
，公比为2的等比数列，
∴C n ＝12(1－2n )1－2
＝12(2n －1)(n ≤12，n ∈N ＋)． (2)令A n >B n ，即40n >2n 2＋2n (n ≤12，n ∈N ＋)，
解得0<n ≤12，∴A n >B n 恒成立．
令A n >C n ，即40n >12
(2n －1)(n ≤12，n ∈N ＋)， 可得0<n <10，
∴当0<n <10时，A n >C n ；当10≤n ≤12时，C n >A n .
综上可知，若冲过的关数小于10时，应选用第一种奖励方案；若冲过的关数大于等于10时，应选用第三种奖励方案．。