北师版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第1章 三角函数 正切函数的定义 正切函数的诱导公式

2
tan φ=tan
π
-
6
√3
-3
=-tan
π
3
π
-
6
sin
tan φ=
.
√3
φ=- .
2
π
=-tan =-√3.
3
√3
=- .
3
-√3
;
规律方法 利用正切函数的诱导公式求值问题的处理方法
(1)正切函数的诱导公式通常结合已知角求值,即“知角求值”,关键是利用诱
导公式将任意角的正切函数值转化为锐角,通常是特殊角的正切函数值.
(2)“给值求值”时,要注意分析已知角与未知角之间的内在关系,选择恰当的
诱导公式求值.
变式训练2
(1)若 tan
4π
-3
A.5
B.-5
C.25
D.0
解析 因为 tan
所以 tan +
=-5,则 tan
4π
-- 3
4π
3
π
3
+ 等于( A )
=-tan
4π
+ 3
π
3
=-5,
=5,即 tan + + π =5,故 tan +
用正切函数的诱导公式化简、证明的总体原则:
(1)“切化弦”,函数名称尽可能化少.
(2)“大化小”,角尽可能化小.
变式训练3
sin (π+)·cos (π-)·tan (-)
化简:
.
sin (5π-)·tan (8π-)·cos (-3π)
解
-sin ·(-cos )·(-tan )
原式=
=-1.
sin ·(-tan )·(-cos )
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)正切函数的定义;
(2)正切函数的诱导公式.
2.方法归纳:整体代换、换元法.
3.常见误区:将正切函数的定义域误认为实数集;诱导公式易忽视角的取值
限制.
学以致用•随堂检测全达标
1.tan 660°的值为(
C)
重难探究•能力素养全提升
探究点一 正切函数定义的应用
【例1】 已知角α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求sin α,cos α,tan α的值.
解 r= (-4)2 + (3)2 =5|a|,
若 a>0,则 r=5a,角 α 在第二象限,
sin

α=
tan

α=

=
3
5
=
3
π
3
=5.
tan225 °+tan750 °
(2)求值:
.
tan (-30°)-tan (-45°)
解 因为 tan 225°=tan(180°+45°)=tan 45°=1,
tan(-30°)=-tan
√3
30°=- 3 ,
tan 750°=tan(720°+30°)=tan
tan(-45°)=-tan 45°=-1,
负.
角α的终边在第二和第四象限时,正切值为
名师点睛
1.若一个角的某一个正切函数值是已知的,但这个角所在的象限或终边所
在的位置没有给出,首先要根据已知的正切函数值确定这个角所在的象限
或终边所在的位置,然后分不同的情况求解.
2.化简三角函数式的常用技巧
减少不同名的三角函数,或化切为弦,或化弦为切,如涉及sin α,cos α的分式
变以及正负号的选取.
过关自诊
判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)因为3<4<5,所以tan 3<tan 4<tan 5.( × )

(2)tan 2 π + =tan α当且仅当k=2时成立.( × )
(3)在△ABC中,若A>B>C,则tan A>tan B>tan C.( × )
3
=- ;
-4 4
=
3
,cos
5

α=
=
-4 4
=-5,
5
若 a<0,r=-5a,角 α 在第四象限,
sin
3
α=- ,cos
5
4
α= ,tan
5
3
α=- .
4
规律方法
利用正切函数的定义求值的策略
(1)已知角α的终边在直线上求α的正切函数值时,常用的解题方法有以下两
种:
方法一,先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后利用正切函数的定
1
tan
2
+ si n 2 +3sin cos
+
1
ta n 2 (si n 2 +3sin cos )
=
9ห้องสมุดไป่ตู้
16
1
+
2
=
17
.
16
√2
β= .
2
本 课 结 束
第一章
7.1 正切函数的定义
7.2 正切函数的诱导公式
课标要求
1.理解正切函数的定义,会用正切函数的定义求正切函数值.
2.理解并熟记正切函数的诱导公式.
3.能运用正切函数的诱导公式解决求值、化简、比较大小等问题.
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
学以致用•随堂检测全达标
解 (1)由三角函数的定义知 sin
所以 sin αtan
所以
π
-
2
tan (3π+)
=
1
ta n 2
=
1
ta n 2
β=1,
4
β= .
5
(2)由三角函数的定义知 tan
tan
4
α= ,tan
5
+
ta n 2
4
α=- ,tan
3
β=1,sin
√2
β= ,cos
2
3π
+
2
si n 2 +3sin cos
问题,常采用分子分母同除以cosnα(n∈N+),将被求式化为关于tan α的式子.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R.( × )
(2)若sin xtan x>0,则x为第一象限角.( × )
2.拓展—正切线
如图,在直角坐标系中,设单位圆与x轴正半
角度1 利用正切函数的诱导公式求值
【例 2】 (1)已知 cos
(2)已知 tan
π
-
6
=
解析 (1)因为 cos
π
因为|φ|< ,所以
2
(2)tan
5π
6
π
2
π
2
+ =
√3
,则
3
tan
5π
6
+ =-sin
π
φ=- ,所以
3
+ =tan π-
π
√3
,且|φ|<
,则
2
2
+ =
√3
φ= ,所以
所以 tan
3
α= =- .故选

2
C.
4.若 f(α)=sin(π-α)tan
3π
-
2
,则 f
31π
3
解析 由题意可知 f(α)=sin(π-α)tan
故f
31π
3
=cos
31π
−
3
π
=cos
3
=
1
.
2
的值为
3π
-
2
=sin
1
2
1
α·tan =sin
.
cos
α·sin =cos
义求出相应的正切函数值.
方法二,注意到角的终边为射线,所以应分两种情况来处理,取射线上任一
点坐标(a,b),则对应角的正弦函数值 sin α=

√ 2 + 2
正切函数值 tan
,余弦函数值 cos α=

√ 2 + 2
,

α= .

(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时,要根据问题的实际情况
基础落实•必备知识全过关
知识点一 正切函数的定义
1.定义
x
根据函数的定义,比值 x 是 x 的函数,称为 x 的正切函数,记作 y=tan
x,其中定
π
2
义域为 ∈ ≠ + π, ∈ .
角的终边不能在y轴上
2.正切函数值在各象限中的符号
由正切函数的定义知:当角 α的终边在第一和第三象限时,正切值为 正 ;当
cos (2π - )
证明 原式左边=
cos (π-)sin (π-)
-sin ·(-sin )·cos
=
cos ·(-cos )·sin
=
-sin
cos
=-tan α=右边.故原式得证.
规律方法
求正切函数值的流程图:
任意角的正切函数值→0~2π的角的正切函数值→锐角的正切函数值
对参数进行分类讨论.
变式训练1
若点 P(3,y)是角 α 终边上的一点,且满足 y<0,cos
3
A.4
3
B.
4
4
C.
3
4
D.3
解析 cos α=
3
32 + 2
=
3
,解得
5
3
α= ,则
5
tan α=( D )
y=±4,又 y<0,所以 y=-4,故 tan
4
α=-3.
探究点二 正切函数诱导公式的应用
∠AOT与∠MOP的正切值相等.我们称线段AT为角α的正切线.
知识点二 正切函数的诱导公式
tan(kπ+α)=tan α(k∈Z);
tan(-α)=-tan α;
tan(π+α)=tan α;
tan(π-α)=-tan α;
tan
π
2
tan
π
2
+
1
=-tan ;
−
1
=
.
tan
名师点睛
√3
A.3
√3
B.
3
C.-√3
D.√3
解析 tan 660°=tan(180°×3+120°)=tan 120°=-tan 60°=-√3.
2.下列各式成立的是( C )
A.tan(π+α)=-tan α
B.tan(π-α)=tan α
C.tan(-α)=-tan α
D.tan(2π-α)=tan α
解析 tan(π+α)=tan α;tan(π-α)=-tan α;tan(-α)=-tan α;tan(2π-α)=tan(-α)=-tan α.
故选C.
3.若角α的终边经过点P(-2,3),则tan α=( C )
2
A.-3
2
B.3
3
C.2
3
D.
2
解析 因为角 α 的终边经过点 P(-2,3),
α,
5.在平面直角坐标系中,以x轴的非负半轴为角的始边.如果角α的终边与
单位圆交于点 A
3 4
-5,5
,角 β 的终边落在射线 y=x(x≥0)上.
(1)求 sin αtan β 的值;
π
2
tan ( -)
ta n 2 (
3π
+)
2
(2)求tan (3π+) + si n 2 +3sin cos 的值.
1.正切函数的诱导公式可以用正、余弦函数诱导公式一样的方法记忆,即
“奇变偶不变,符号看象限”.
2.利用诱导公式求任意角的正切函数值的步骤与求任意角的正弦函数值、
余弦函数值的步骤相同,都是依据“负化正,大化小,化为锐角再求值”,即由
未知转化为已知的化归思想.
3.诱导公式用角度制和弧度制表示都可,运用时应注意函数名称是否要改
√3
3
1+
所以原式= √3 =2+√3.
-
3
+1
√3
30°= 3 ,
角度2 利用正切函数的诱导公式化简或证明
【例 3】
tan (2π-)sin (-2π-)cos (6π-)
求证:
=-tan
cos (-π)sin (5π-)
α.
sin (2π - )
·sin (-)·cos (-)
轴的交点为A(1,0),任意角α的终边与单位圆
交于点P,过点A(1,0)作x轴的垂线,与角的终
边或终边的延长线相交于点T.从图中容易看出:当角α位于第一和第三象限
时,点T位于x轴的上方;当角α位于第二和第四象限时,点T位于x轴的下方.过
点P作x轴的垂线,与x轴交于点M,那么,不论角α的终边在第几象限,都有