北京市东城区2019-2020学年中考数学仿真第四次备考试题含解析

北京市东城区2019-2020学年中考数学仿真第四次备考试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是 ( ) A ． B ． C ． D ． 2．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A ．3π+
B ．3π-
C ．23π-
D ．223π-
3．四个有理数﹣1，2，0，﹣3，其中最小的是（ ）
A ．﹣1
B ．2
C ．0
D ．﹣3
4．如图所示，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，正方形DEFG 边长也为2，且AC
与DE 在同一直线上，△ABC 从C 点与D 点重合开始，沿直线DE 向右平移，直到点A 与点E 重合为止，
设CD 的长为x ，△ABC 与正方形DEFG 重合部分（图中阴影部分）的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．如图，是在直角坐标系中围棋子摆出的图案，若再摆放一黑一白两枚棋子，使9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则这两枚棋子的坐标是（ ）
A．黑（3，3），白（3，1）B．黑（3，1），白（3，3）
C．黑（1，5），白（5，5）D．黑（3，2），白（3，3）
6．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形外，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B逆时针旋转，使ON边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C逆时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；……在这样连续6
次旋转的过程中，点B，O间的距离不可能是（）
A．0 B．0.8 C．2.5 D．3.4
7．关于x的方程=无解，则k的值为（）
A．0或B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
8．下列计算正确的是（）
A．（a2）3＝a6B．a2+a2＝a4
C．（3a）•（2a）2＝6a D．3a﹣a＝3
9．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球．则两次摸出的小球的标号的和等于6的概率为（）
A．
1
16
B．
1
8
C．
3
16
D．
1
4
10．如图,A,B两点分别位于一个池塘的两端,小聪想用绳子测量A,B间的距离,但绳子不够长,一位同学帮他想了一个主意:先在地上取一个可以直接到达A,B的点C,找到AC,BC的中点D,E,并且测出DE的长为10m,则A,B间的距离为（）
A．15m B．25m C．30m D．20m
11．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A．正五边形B．平行四边形C．矩形D．等边三角形
12．如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（）
A．4，30°B．2，60°C．1，30°D．3，60°
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．因式分解：a3－a=______．
14．如图，一组平行横格线，其相邻横格线间的距离都相等，已知点A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD，BC交于点O，则AB：CD等于______．
15．如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为_____．
16．小明用一个半径为30cm且圆心角为240°的扇形纸片做成一个圆锥形纸帽（粘合部分忽略不计），那么这个圆锥形纸帽的底面半径为_____cm．
17．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（1，0），半径为1，点P为直线y=3
4
x+3上的动点，
过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是______________．
18．已知关于X 的一元二次方程()2
m 2x 2x 10-++=有实数根，则m 的取值范围是____________________
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，直线y 1=﹣x+4，y 2=34x+b 都与双曲线y=k x 交于点A （1，m ），这两条直线分别与x 轴交于B ，C 两点．
（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）直接写出当x ＞0时，不等式34
x+b ＞k x 的解集； （3）若点P 在x 轴上，连接AP 把△ABC 的面积分成1：3两部分，求此时点P 的坐标．
20．（6分）如图所示，在△ABC 中，BO 、CO 是角平分线．∠ABC ＝50°，∠ACB ＝60°，求∠BOC 的度数，并说明理由．题（1）中，如将“∠ABC ＝50°，∠ACB ＝60°”改为“∠A ＝70°”，求∠BOC 的度数．若∠A ＝n°，求∠BOC 的度数．
21．（6分）如图1，△ABC 与△CDE 都是等腰直角三角形，直角边AC ，CD 在同一条直线上，点M 、N 分别是斜边AB 、DE 的中点，点P 为AD 的中点，连接AE ，BD ，PM ，PN ，MN ．
（1）观察猜想：
图1中，PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）探究证明：
将图1中的△CDE 绕着点C 顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图2，AE 与MP 、BD 分别交于点G 、H ，
判断△PMN 的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：
把△CDE 绕点C 任意旋转，若AC=4，CD=2，请直接写出△PMN 面积的最大值．
22．（8分）已知二次函数y=x 2-4x-5，与y 轴的交点为P ，与x 轴交于A 、B 两点．（点B 在点A 的右侧） （1）当y=0时，求x 的值．
（2）点M （6，m ）在二次函数y=x 2-4x-5的图像上，设直线MP 与x 轴交于点C ，求cot ∠MCB 的值． 23．（8分）随着互联网的发展，同学们的学习习惯也有了改变，一些同学在做题遇到困难时，喜欢上网查找答案．针对这个问题，某校调查了部分学生对这种做法的意见(分为：赞成、无所谓、反对)，并将调查结果绘制成图1和图2两个不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：此次抽样调查中，共调查了多少名学生？将图1补充完整；求出扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数；根据抽样调查结果，请你估计该校1500名学生中有多少名学生持“无所谓”意见．
24．（10分）我们知道ABC △中，如果3AB =，4AC =，那么当AB AC ⊥时，ABC △的面积最大为6；
(1)若四边形ABCD 中，16AD BD BC ++=，且6BD =，直接写出AD BD BC ，，满足什么位置关系时四边形ABCD 面积最大？并直接写出最大面积.
(2)已知四边形ABCD 中，16AD BD BC ++=，求BD 为多少时，四边形ABCD 面积最大？并求出最大面积是多少？
25．（10分）某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？
（2）设后来该商品每件降价x 元，商场一天可获利润y 元．
①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？
②求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图象的草图，观察其图象的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元．
26．（12分）某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？
27．（12分）中央电视台的“中国诗词大赛”节目文化品位高，内容丰富．某班模拟开展“中国诗词大赛”比赛，对全班同学成绩进行统计后分为“A优秀”、“B一般”、“C较差”、“D良好”四个等级，并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，回答下列问题：
（1）本班有多少同学优秀？
（2）通过计算补全条形统计图．
（3）学校预全面推广这个比赛提升学生的文化素养，估计该校3000人有多少人成绩良好？
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．C
【解析】
试题解析：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C. 既是中心对称图又是轴对称图形，故本选项正确；
D. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误.
故选C.
2．D
【解析】
【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
【详解】过A 作AD ⊥BC 于D ，
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵AD ⊥BC ，
∴BD=CD=1，33
∴△ABC 的面积为12BC•AD=1232
⨯3 S 扇形BAC =2602360π⨯=23
π， ∴莱洛三角形的面积S=3×
23π﹣2×3﹣3， 故选D ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．
3．D
【解析】
解：∵－1＜－1＜0＜2，∴最小的是－1．故选D ．
4．A
【解析】
【分析】
此题可分为两段求解，即C 从D 点运动到E 点和A 从D 点运动到E 点，列出面积随动点变化的函数关系式即可．
【详解】
解：设CD 的长为x ABC V ，与正方形DEFG 重合部分(图中阴影部分)的面积为y ∴
当C 从D 点运动到E 点时，即02x ≤≤时，()()2111y 222x 2x x 2x 222
=⨯⨯--⨯-=-+．
当A 从D 点运动到E 点时，即2x 4<≤时，()][()211y 2x 22x 2x 4x 822
⎡⎤=⨯--⨯--=-+⎣⎦， y ∴与x 之间的函数关系()221y x 2x 0x 221y x 4x 8(2x 4)2⎧=-+≤≤⎪⎪⎨⎪=-+<≤⎪⎩
由函数关系式可看出A 中的函数图象与所求的分段函数对应．
故选A ．
【点睛】
本题考查的动点变化过程中面积的变化关系，重点是列出函数关系式，但需注意自变量的取值范围． 5．A
【解析】
【分析】
首先根据各选项棋子的位置，进而结合轴对称图形和中心对称图形的性质判断得出即可．
【详解】
解：A 、当摆放黑（3，3），白（3，1）时，此时是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； B 、当摆放黑（3，1），白（3，3）时，此时是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C 、当摆放黑（1，5），白（5，5）时，此时不是轴对称图形也不是中心对称图形，故此选项错误； D 、当摆放黑（3，2），白（3，3）时，此时是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项错误． 故选：A ．
【点睛】
此题主要考查了坐标确定位置以及轴对称图形与中心对称图形的性质，利用已知确定各点位置是解题关键．
6．D
【解析】
【分析】
如图，点O 的运动轨迹是图在黄线，点B ，O 间的距离d 的最小值为0，最大值为线段
可得
0≤d≤3.1，由此即可判断；
【详解】
如图，点O 的运动轨迹是图在黄线，
作CH⊥BD于点H，
∵六边形ABCDE是正六边形，∴∠BCD=120º，
∴∠CBH=30º,
∴BH=cos30 º·BC=33 BC=,
∴BD=3.
∵DK=22
112
+=,
∴BK=32
+，
点B，O间的距离d的最小值为0，最大值为线段BK=32
+，
∴0≤d≤32
+，即0≤d≤3.1，
故点B，O间的距离不可能是3.4，
故选：D．
【点睛】
本题考查正多边形与圆、旋转变换等知识，解题的关键是正确作出点O的运动轨迹，求出点B，O间的距离的最小值以及最大值是解答本题的关键．
7．A
【解析】
方程两边同乘2x(x+3)，得
x+3=2kx，
（2k-1）x=3，
∵方程无解，
∴当整式方程无解时，2k-1=0，k=，
当分式方程无解时，①x=0时，k无解，
②x=-3时，k=0，
∴k=0或时，方程无解，
故选A.
8．A
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
A．（a2）3=a2×3=a6，故本选项正确；
B．a2+a2=2a2，故本选项错误；
C．（3a）•（2a）2=（3a）•（4a2）=12a1+2=12a3，故本选项错误；
D．3a﹣a=2a，故本选项错误．
故选A．
【点睛】
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方和单项式乘法，理清指数的变化是解题的关键．
9．C
【解析】
列举出所有情况，看两次摸出的小球的标号的和等于6的情况数占总情况数的多少即可．
解：
共16种情况，和为6的情况数有3种，所以概率为．
故选C．
10．D
【解析】
【分析】
根据三角形的中位线定理即可得到结果.
解:由题意得AB=2DE=20cm，
故选D.
【点睛】
本题考查的是三角形的中位线，解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
11．C
【解析】
分析：根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解．
详解：A. 正五边形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误.
B. 平行四边形，是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误.
C. 矩形，既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确.
D. 等边三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误.
故选C.
点睛：本题考查了对中心对称图形和轴对称图形的判断，我们要熟练掌握一些常见图形属于哪一类图形，这样在实际解题时，可以加快解题速度，也可以提高正确率.
12．B
【解析】
试题分析：∵∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，
∴∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，
∴△A′B′C是等边三角形，
∴B′C=4，∠B′A′C=60°，
∴BB′=6﹣4=2，
∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，60°
故选B．
考点：1、平移的性质；2、旋转的性质；3、等边三角形的判定
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．a（a－1）（a + 1）
【解析】
分析：先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答：解：a3-a，
=a（a2-1），
=a（a+1）（a-1）．
【分析】
过点O作OE⊥AB于点E，延长EO交CD于点F，可得OF⊥CD，由AB//CD，可得△AOB∽△DOC，
根据相似三角形对应高的比等于相似比可得AB OE
CD OF
=，由此即可求得答案.
【详解】
如图，过点O作OE⊥AB于点E，延长EO交CD于点F，
∵AB//CD，∴∠OFD=∠OEA=90°，即OF⊥CD，
∵AB//CD，∴△AOB∽△DOC，
又∵OE⊥AB，OF⊥CD，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
∴AB OE
CD OF
==
2
3
，
故答案为：2：1．
【点睛】
本题考查了相似三角形的的判定与性质，熟练掌握相似三角形对应高的比等于相似比是解本题的关键. 15．2
【解析】
【分析】根据旋转的性质知AB=AE，在直角三角形ADE中根据勾股定理求得AE长即可得.
【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，BC=AD=3，
∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，
∴EF=BC=3，AE=AB，
∵DE=EF，
∴AD=DE=3，
∴22
AD DE
+2，
∴2，
故答案为2.
【点睛】本题考查矩形的性质和旋转的性质，熟知旋转前后哪些线段是相等的是解题的关键.
16．20
先求出半径为30cm 且圆心角为240°的扇形纸片的弧长，再利用底面周长=展开图的弧长可得．
【详解】 24030180π⨯=40π． 设这个圆锥形纸帽的底面半径为r ．
根据题意，得40π=2πr ，
解得r=20cm ．
故答案是：20.
【点睛】
解答本题的关键是有确定底面周长=展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．
17．22
【解析】
分析：因为BP ＝22PA AB -，AB 的长不变，当PA 最小时切线长PB 最小，所以点P 是过点A 向直线l 所作垂线的垂足，利用△APC ≌△DOC 求出AP 的长即可求解.
详解：如图，作AP ⊥直线y ＝
34
x ＋3，垂足为P ，此时切线长PB 最小，设直线与x 轴，y 轴分别交于D ，C.
∵A 的坐标为(1，0)，∴D(0，3)，C(﹣4，0)，∴OD ＝3，AC ＝5，
∴DC ＝22OD OC ＋＝5，∴AC ＝DC ，
在△APC 与△DOC 中，
∠APC ＝∠COD ＝90°，∠ACP ＝∠DCO ，AC ＝DC ，
∴△APC ≌△DOC ，∴AP ＝OD ＝3，
∴PB ＝2231-＝22．
故答案为22.
点睛：本题考查了切线的性质，全等三角形的判定性质，勾股定理及垂线段最短，因为直角三角形中的三
边长满足勾股定理，所以当其中的一边的长不变时，即可根据另一边的取值情况确定第三边的最大值或最小值.
18．m≤3且m≠2
【解析】
试题解析：∵一元二次方程()2
2210m x x -++=有实数根 ∴4-4（m-2）≥0且m-2≠0
解得：m≤3且m≠2.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）3y x =
；（2）x ＞1；（3）P （﹣54，0）或（94，0） 【解析】
分析：（1）求得A （1，3），把A （1，3）代入双曲线y=
k x ，可得y 与x 之间的函数关系式； （2）依据A （1，3），可得当x ＞0时，不等式34x+b ＞k x
的解集为x ＞1； （3）分两种情况进行讨论，AP 把△ABC 的面积分成1：3两部分，则CP=
14BC=74，或BP=14BC=74，即可得到OP=3﹣74=54，或OP=4﹣74=94
，进而得出点P 的坐标． 详解：（1）把A （1，m ）代入y 1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，
∴A （1，3），
把A （1，3）代入双曲线y=
k x
，可得k=1×3=3， ∴y 与x 之间的函数关系式为：y=3x ； （2）∵A （1，3），
∴当x ＞0时，不等式34x+b ＞k x
的解集为：x ＞1； （3）y 1=﹣x+4，令y=0，则x=4，
∴点B 的坐标为（4，0），
把A （1，3）代入y 2=34x+b ，可得3=34
+b ， ∴b=
94
， ∴y 2=34x+94， 令y 2=0，则x=﹣3，即C （﹣3，0），
∴BC=7，
∵AP 把△ABC 的面积分成1：3两部分，
∴CP=14BC=74，或BP=14BC=74
∴OP=3﹣7
4
=
5
4
，或OP=4﹣
7
4
=
9
4
，
∴P（﹣5
4
，0）或（
9
4
，0）．
点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
20．（1）125°；（2）125°；（3）∠BOC=90°+1
2 n°．
【解析】
【分析】
如图，由BO、CO是角平分线得∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，再利用三角形内角和得到∠ABC+∠ACB+∠A=180°，则2∠1+2∠2+∠A=180°，接着再根据三角形内角和得到
∠1+∠2+∠BOC=180°，利用等式的性质进行变换可得∠BOC=90°+1
2
∠A，然后根据此结论分别解决（1）、
（2）、（3）．
【详解】
如图，
∵BO、CO是角平分线，
∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∴2∠1+2∠2+∠A=180°，
∵∠1+∠2+∠BOC=180°，
∴2∠1+2∠2+2∠BOC=360°，∴2∠BOC﹣∠A=180°，
∴∠BOC=90°+1
2
∠A，
（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠A=180°﹣50°﹣60°=70°，
∴∠BOC=90°+1
2
×70°=125°；
（2）∠BOC=90°+1
2
∠A=125°；
（3）∠BOC=90°+1
2 n°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．主要用在求三角形中角的度数：①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
21．（1）PM=PN ，PM ⊥PN （2）等腰直角三角形，理由见解析（3）9
2 【解析】
【分析】
（1）由等腰直角三角形的性质易证△ACE ≌△BCD ，由此可得AE=BD ，再根据三角形中位线定理即可得到PM=PN ，由平行线的性质可得PM ⊥PN ；
（2）（1）中的结论仍旧成立，由（1）中的证明思路即可证明；
（3）由（2）可知△PMN 是等腰直角三角形，PM=12
BD ，推出当BD 的值最大时，PM 的值最大，△PMN 的面积最大，推出当B 、C 、D 共线时，BD 的最大值=BC+CD=6，由此即可解决问题；
【详解】
解：（1）PM=PN ，PM ⊥PN ，理由如下：
延长AE 交BD 于O ，
∵△ACB 和△ECD 是等腰直角三角形，
∴AC=BC ，EC=CD ，∠ACB=∠ECD=90°．
在△ACE 和△BCD 中
0{90AC BC
ACB ECD CE CD
=∠=∠==，
∴△ACE ≌△BCD （SAS ），
∴AE=BD ，∠EAC=∠CBD ，
∵∠EAC+∠AEC=90°，∠AEC=∠BEO ，
∴∠CBD+∠BEO=90°，
∴∠BOE=90°，即AE ⊥BD ，
∵点M 、N 分别是斜边AB 、DE 的中点，点P 为AD 的中点，
∴PM=12BD ，PN=12
AE ，
∴PM=PM，
∵PM∥BD，PN∥AE，AE⊥BD，
∴∠NPD=∠EAC，∠MPA=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°，∴∠MPA+∠NPC=90°，
∴∠MPN=90°，
即PM⊥PN，
故答案是：PM=PN，PM⊥PN；
（2）如图②中，设AE交BC于O，
∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=CD，
∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE，
∴∠ACE=∠BCD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，
又∵∠AOC=∠BOE，
∠CAE=∠CBD，
∴∠BHO=∠ACO=90°，
∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，
∴PM=1
2
BD，PM∥BD，
PN=1
2
AE，PN∥AE，
∴PM=PN，
∴∠MGE+∠BHA=180°，∴∠MGE=90°，
∴∠MPN=90°，
∴PM⊥PN；
（3）由（2）可知△PMN 是等腰直角三角形，PM=12
BD ， ∴当BD 的值最大时，PM 的值最大，△PMN 的面积最大，
∴当B 、C 、D 共线时，BD 的最大值=BC+CD=6，
∴PM=PN=3，
∴△PMN 的面积的最大值=
12×3×3=92． 【点睛】
本题考查的是几何变换综合题，熟知等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理的运用，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．
22．（1）15=x ，21x =-；（2）1cot 2
MCB ∠=
【解析】
【分析】
（1）当y=0，则x 2-4x-5=0，解方程即可得到x 的值.
(2) 由题意易求M ，P 点坐标，再求出MP 的直线方程，可得cot ∠MCB.
【详解】
（1）把0y =代入函数解析式得2450x x --=，
即()()510x x -+=，
解得：15x =，21x =-.
（2）把()6,M m 代入245y x x =--得7m =，即得()6,7M ， ∵二次函数245y x x =--，与y 轴的交点为P ，∴P 点坐标为()0,5P -.
设直线MP 的解析式为y kx b =+，代入()0,5P -，()6,7M 得576b k b -=⎧⎨
=+⎩解得=5=2b k -⎧⎨⎩， ∴25y x =-，
∴点C 坐标为5,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 在Rt POC ∆中1cot 2OC OCP OP ∠=
=,又∵OCP MCB ∠=∠ ∴1cot 2
MCB ∠=
. 【点睛】 本题考查的知识点是抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握抛物线与x 轴的交
点，二次函数的性质.
23．() 1200名；()2见解析;()336o
；(4)375. 【解析】
【分析】
()1根据统计图中的数据可以求得此次抽样调查中，共调查了多少名学生；
()2根据()1中的结果和统计图中的数据可以求得反对的人数，从而可以将条形统计图补充完整； ()3根据统计图中的数据可以求得扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数； ()4根据统计图中的数据可以估计该校1500名学生中有多少名学生持“无所谓”意见．
【详解】
解：()113065%200÷=，
答：此次抽样调查中，共调查了200名学生；
()2反对的人数为：2001305020--=，
补全的条形统计图如右图所示；
()3扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数是：
2036036200⨯=o o ； (4)501500375200
⨯=， 答：该校1500名学生中有375名学生持“无所谓”意见．
【点睛】
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
24． (1)当AD BD ⊥，BC BD ⊥时有最大值1；(2)当8BD =时，面积有最大值32.
【解析】
【分析】
（1）由题意当AD ∥BC ，BD ⊥AD 时，四边形ABCD 的面积最大，由此即可解决问题．
（2）设BD=x ，由题意：当AD ∥BC ，BD ⊥AD 时，四边形ABCD 的面积最大，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】
(1) 由题意当AD ∥BC ，BD ⊥AD 时，四边形ABCD 的面积最大， 最大面积为12
×6×（16-6）=1． 故当AD BD ⊥，BC BD ⊥时有最大值1；
(2)当AD BD P ，BC BD ⊥时有最大值，
设BD x =, 由题意：当AD ∥BC ，BD ⊥AD 时，四边形ABCD 的面积最大，
16AD BD BC ++=Q
16AD BC x ∴+=-
ABD CBD ABCD S S S ∴=+V V 四边形 1122AD BD BC BD =
⋅+⋅ ()12
AD BC BD =+⋅ ()1162
x x =- ()21=8322
x --+ 102-<Q ∴抛物线开口向下
∴当8BD = 时，面积有最大值32.
【点睛】
本题考查三角形的面积，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决问题． 25．（1）一天可获利润2000元；（2）①每件商品应降价2元或8元；②当2≤x≤8时，商店所获利润不少于2160元．
【解析】
：（1）原来一天可获利：20×
100=2000元； （2）①y=（20-x ）（100+10x ）=-10（x 2-10x-200），
由-10（x2-10x-200）=2160，
解得：x 1=2，x 2=8，
∴每件商品应降价2或8元；
②观察图像可得
26．（1）35元/盒；（2）20%．
【解析】
【详解】
试题分析：（1）设2014年这种礼盒的进价为x 元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x ﹣11）元/盒，根据2014年花3500元与2016年花2400元购进的礼盒数量相同，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设年增长率为m ，根据数量=总价÷单价求出2014年的购进数量，再根据2014年的销售利润×（1+增长率）2=2016年的销售利润，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出结论．
试题解析：（1）设2014年这种礼盒的进价为x 元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x ﹣11）元/盒，根据
题意得：35002400
11
x x
=
-
，解得：x=35，经检验，x=35是原方程的解．
答：2014年这种礼盒的进价是35元/盒．
（2）设年增长率为m，2014年的销售数量为3500÷35=100（盒）．
根据题意得：（60﹣35）×100（1+a）2=（60﹣35+11）×100，解得：a=0.2=20%或a=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：年增长率为20%．
考点：一元二次方程的应用；分式方程的应用；增长率问题．
27．（1）本班有4名同学优秀；（2）补图见解析；（3）1500人.
【解析】
【分析】
（1）根据统计图即可得出结论；
（2）先计算出优秀的学生，再补齐统计图即可；
（3）根据图2的数值计算即可得出结论.
【详解】
（1）本班有学生：20÷50%=40（名），
本班优秀的学生有：40﹣40×30%﹣20﹣4=4（名），
答：本班有4名同学优秀；
（2）成绩一般的学生有：40×30%=12（名），
成绩优秀的有4名同学，
补全的条形统计图，如图所示；
（3）3000×50%=1500（名），
答：该校3000人有1500人成绩良好．
【点睛】
本题考查了条形统计图与扇形统计图，解题的关键是熟练的掌握条形统计图与扇形统计图的知识点.。