九年级数学上册33垂径定理1导学案

教学目标
１．使学生理解圆的轴对称性．
２．掌握垂径定理． ３．学会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题． 教学重点
垂径定理是圆的轴对称性的重要表达，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据，它有着广泛的应用，因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用．
教学难点
垂径定理的推导利用了圆的轴对称性，它是一种运动变换，这种证明方法学生不常用到，与严格的逻辑推理比较，在证明的表述上学生会发生困难，因此垂径定理的推导是本节课的难点．
自主学习： 一．自学检测
1、圆是_________图形，其对称轴是_______________________的直线。

说说你是怎么知道的
答：
２、请同学按下面要求完成下题：
如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ．
〔1〕如图是轴对称图形吗如果是，其对称轴是什么
〔2〕你能发现图中有哪些等量关系说一说你理由．
提示：你能发现图中有哪些等量关系加一个“除角外〞的附加条件。

答： 这样，我们就得到下面的定理： 下面我们用逻辑思维给它证明一下： ：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M
求证：AM=BM ，AC=BC ，AD=BD. 证明：如图，连结OA 、OB ，那么OA=OB 在Rt △OAM 和Rt △OBM 中
Rt △OAM ≌Rt △OBM ∴AM=BM ∴点A 和点B 关于CD 对称 ∵⊙O 关于直径CD 对称
∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合
AC 与BC 重合，AD 与BD 重合∴AC=BC ，AD=BD
进一步，我们还可以得到结论：
此结论的证明作为课后练习〕
二．例题精析：你知道赵州桥吗它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度〔弧所对的弦的长〕为37.4m ，拱高〔弧的中点到弦的距离〕为7.2m ，请你求出赵州桥主桥拱的半径。

1、如图，在⊙O 中，弦AB 的长为８cm,圆心O 到AB 的距离OD ＝３cm, 那么⊙O 的半
径为_________cm
2、P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，那么经过P 点的最短弦长为________；•最长弦长_.
3.、如图，AB 为⊙O 直径，E 是中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，那么AC=____.
B A
C
D O M 分析：要证AM=BM ，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA 、
•OB 或AC 、BC 即可． B A C O M D
4、如图，在⊙O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，AB OD ⊥于D ， AC OE ⊥于E . 求证：四边形ADOE 为正方形.
5、如下列图，两个同心圆O ，大圆的弦AB 交小圆于C 、D .求证：BD AC =
※ 知识点拨： 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧.
符号语言：∵AB 是⊙O 的直径
又∵CD AB ⊥
∴DE CE =
推论：平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧
符号语言：∵AB 是⊙O 的直径 又∵DE CE =
∴CD AB ⊥
※ 方法提示：
在圆中，解决有关弦的问题时常常需要作“垂直于弦的直径〞作为辅助线,实际上,往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段即可.这样把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径R ，圆心到弦的距离d ，弦长a 之间的关系式R 2＝d 2+(2
a )2这是一种重要的添加辅助线的方法 .
学习评价
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
五、目标训练,及时反响
答案：24
2．如图，AB 是⊙0的中直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，那么以下结论中不一定成立的是〔〕
A ．∠COE=∠DOE
B ．CE=DE
C ．OE=BE
D ．BD=BC
答案：C
3．过⊙O 内一点M 的最长弦长为10cm ，最短弦长为8cm ，那么OM 长为〔〕
A ．3
B ．6cm
C ． cm
D ．9cm
答案：A
注：圆内过定点M 的弦中，最长的弦是过定点M 的直径，最短的弦是过定点M 与OM 垂直的弦，此结论最好让学生记住，课本作业题也有类似的题目．
4．如图，⊙O 的直径为10，弦AB 长为8，M 是弦AB 上的动点，那么OM 的长的取值范围是〔〕
答案：A
5． ⊙O 的半径为10，弦AB ∥CD ，AB=12，CD=16，那么AB 和CD 的距离为． 答案：2或24
注：要分两种情况讨论：〔1〕弦AB 、CD 在圆心O 的两侧；〔2〕弦AB 、CD 在圆心O 的同侧．
6．如图，AB 、AC 为弦，OM ⊥AB 于点M ， ON ⊥AC 于点N ，BC=4，求MN 的长． 思路：由垂径定理可得M 、N 分别是AB 、AC 的中点，
⌒ ⌒ _B _A
_O _D 1题图 B A C E D O 3题图 4题图 5题图
所以MN=21BC=2． 六、总结回忆，反思内化 师生共同总结：
１．本节课主要内容：〔1〕圆的轴对称性；〔2〕垂径定理．
2．垂径定理的应用：〔1〕作图；〔2〕计算和证明．
3．解题的主要方法：
〔2〕半径〔r 〕、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长222d r AB -=．
七、布置作业， 稳固新知
附件1：律师事务所反盗版维权声明
附件2：独家资源交换签约学校名录〔放大查看〕
学校名录参见：h ww.zxxk /wxt/list.aspx ClassID=3060。