河北省保定市高级中学2020年高一数学理上学期期末试题含解析

河北省保定市高级中学2020年高一数学理上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若非零实数a, b满足a>b，则
A．a3>b3 B. C.a2>b2 D.
参考答案：
A
2. 若函数y=x2+(2a－1)x+1在区间（－∞，2上是减函数，则实数a的取值范围是（）
A．－，+∞） B．（－∞，－ C．，+∞） D．（－∞，
参考答案：
B
3. 若函数在上既是奇函数，又是减函数，则
的图像是（）
参考答案：
A
4. 已知向量＝(1，)，＝(－1,0)，则|＋2|=( )
A.1
B.
C.2
D.4
参考答案：
C
5. 如果集合A=中只有一个元素，则的值是（）
A．0 B．0 或1 C．1 D．不能确定参考答案：B
6. 设x，y满足，则的取值范围是（）
A. ［，］
B. ［，6］
C. ［6，8］
D. ［6，］
参考答案：
D
7. .函数的定义域为（）
参考答案：
B
8. 设，则a，b，c的大小关系是( )
A.b>c>a B．a>b>c C.c>a>b D．a>c>b
参考答案：
D
略
9. 设集合M=，则集合M中所有元素的和等于
（A）1 （B）4 （C）7 （D）8
参考答案：
D
解析：不妨设
由
又已知x,y,t均为整数，
于是，
集合M中所有元素的和为0+1+3+4=8
10. 如果弓形的弧所对的圆心角为，弓形的弦长为4 cm，则弓形的面积是：（）
A．（） cm2 B．（）cm2
C．（）cm2D．（） cm2
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知△ABC中，，且，则△ABC面积的最大值为__________.
参考答案：
【分析】
先利用正弦定理求出c=2,分析得到当点在的垂直平分线上时，边上的高最大，的面积最大，利用余弦定理求出，最后求面积的最大值.
【详解】由可得，由正弦定理，得，
故，
当点在的垂直平分线上时，边上的高最大，的面积最大，此时.
由余弦定理知，，即，
故面积的最大值为. 故答案为：
【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.
12. 给出下列四个命题：
①函数在上单调递增；
②若函数在上单调递减，则;
③若，则；
④若是定义在上的奇函数，则.
其中正确的序号是 .
参考答案：
②④
略
13. 已知（），则________.（用m表示）
参考答案：
【分析】
根据同角三角函数之间的关系，结合角所在的象限，即可求解.
【详解】因为，
所以，
故，解得，
又，，
所以.
故填.
【点睛】本题主要考查了同角三角函数之间的关系，三角函数在各象限的符号，属于中档题.
14. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围
是
参考答案：
15. 化简（其中）
参考答案：
略
16. 若则
参考答案：
解析：由所求式子自变量的特征考虑
17. 在△ABC中，D为AB边上一点，，，则.
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）是否存在实数p，a，当x∈（p，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞）．若存在，求出实
数p，a；若不存在，说明理由；
（3）令函数g（x）=﹣ax2+6（x﹣1）a f（x）﹣5，当x∈[4，5]时，求函数g（x）的最大值．
参考答案：
【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的最值及其几何意义．
【分析】（1）利用奇函数的定义，即可求实数m的值；
（2）分类讨论，利用当x∈（p，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），可得结论；
（3）g（x）=﹣ax2+6x+1x∈[4，5]且a＞0，a≠1，分类讨论，求出函数g（x）的最大值．
【解答】解：（1）∵函数是奇函数．
∴f（﹣x）+f（x）=0解得m=±1
又 m=1时，表达式无意义，所以m=﹣1…
（2）由题设知：函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），
①当p＜a﹣2≤﹣1时，有0＜a＜1．此时f（x）为增函数，
其值域为（与题设矛盾，无解）；…
②当1≤p≤a﹣2时，有a＞3．此时f（x）为减函数，
其值域为（1，+∞）知…
符合题意
综上①②：存在这样的实数p，a满足条件，…
（3）∵g（x）=﹣ax2+6（x﹣1）a f（x）﹣5，
∴g（x）=﹣ax2+6x+1x∈[4，5]且a＞0，a≠1
①当时，函数g（x）在[4，5]上单调递减
所以g（x）max=g（4）=﹣16a+25…
②当时，函数g（x）在[4，5]上单调递增
所以g（x）max=g（5）=﹣25a+31…
③当时，函数g（x）在上单调递增，在上单调递减
所以…15分
综上①②③，…
19. （本小题满分14分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，、、三点满足
.
（1）求证：、、三点共线；
（2）已知、，
的最小值为，求实数的值.
参考答案：
(1)∵
∴∥，又与有公共点，故、、三点共线.
………………………………4分
（2）∵，，
∴，，
故，
从而
…………8分
关于的二次函数的对称轴为，
∵，∴，又区间的中点为
1当，即时，当时，由得或，又，∴；
② 当，即时，当时，
由得，又，∴
综上所述：的值为或. ……………14分
20. 为了了解我市特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：
（Ⅰ）根据上表数据，计算y 与x 的相关系数r，并说明y 与x 的线性相关性强弱（已知：，则认为y 与x线性相关性很强；，则认为y与x线性相关性一般；
，则认为y 与x 线性相关性较弱）；
（Ⅱ）求y 关于x的线性回归方程，并预测我市2019年特色学校的个数（精确到个）．
参考公式：，，，，
，．
参考答案：
（I ）相关性很强；（II ），208个.
【分析】
（Ⅰ）求得，，利用求出的值，与临界值比较即可得结论；（Ⅱ）结合（Ⅰ）根据所给的数据，利用公式求出线性回归方程的系数,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出的值，写出线性回归方程；代入线性回归方程求出对应的的值，可预测地区2019年足球特色学校的个数.
【详解】（Ⅰ），，
，
∴与线性相关性很强.
（Ⅱ），
，
∴关于的线性回归方程是.
当时，（百个），
即地区2019年足球特色学校的个数为208个.
【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②求得公式中所需数据；③计算回归系数；④写出回归直
线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
21. （本题满分１０分）已知函数是奇函数，
(1)求实数m的值；
(2)若函数在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.
参考答案：
(1)设x<0，则－x>0，
所以.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，，
所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知，
所以1<a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．
22. 已知集合A={x|x2﹣x﹣6≤0}，集合B={x|x2+2x﹣3≤0}，集合C={x|m+1≤x≤2m}
（1）若全集U=R，求A∪B，A∩B，（?U A）∩（?U B）
（2）若A∩C=C，求m的取值范围．
参考答案：
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．
【分析】（1）分别求出集合A，B，根据集合的交、并、补集的混合运算计算即可；
（2）由题意得到C?A，分当C=?时和C≠?两种情况解决即可．
【解答】解：（1）A={x|x2﹣x﹣6≤0}=[﹣2，3]，集合B={x|x2+2x﹣3≤0}=[﹣3，1]，
∴A∪B=[﹣3，3]，A∩B=[﹣2，1]，（?U A）=（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），（?U B）=（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），
∴（?U A）∩（?U B）=（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），
（2）∴A∩C=C，
∴C?A，
当C=?时，满足题意，即m+1＞2m，解得m＜1，
当C≠?时，则，
解得1≤m≤，
综上所述m的取值范围为（﹣∞，]．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．。