高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3直线

2.直线和平面所成的角的含义及其
求法.
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课时作业[自主梳理]一 Nhomakorabea直线与平面垂直
如果直线 l 与平面 α 内的 任意一条 直线都垂直，我 定义
们就说直线 l 与平面 α 互相垂直 记法 l⊥α 有关 直线 l 叫作平面 α 的 垂线 ，平面 α 叫作直线 l 的 概念 垂面 ．它们唯一的公共点 P 叫作 垂足
(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法 与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确 的，它可以使直线与平面斜交． (2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．
1．判断下列叙述的真假： (1)垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定 不与这个平面垂直； (3)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面 垂直； (4)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线所 确定的平面； (5)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．
[双基自测] 1.如图所示，三棱锥 P-ABC 所有棱长都为 a，则 PC 与 AB 的位置关系 是( ) A．平行 B．相交 C．垂直 D．以上均有可能 答案：C
2.如图所示，PA⊥底面 ABC，△ABC 中，AB⊥BC，则∠PBC ＝________. 答案：90°
3．已知 PA⊥底面 ABCD，且底面 ABCD 是菱形，则 BC 与 PD 所成的 角为________． 答案：90°
探究二 线面垂直的证明
[典例 2] 如图，已知 PA 垂直于圆 O 所在的平面，AB 是圆 O 的直径， 点 C 是圆 O 上任意一点，过点 A 作 AE⊥PC 于点 E，AF⊥PB 于点 F. 求证：(1)AE⊥平面 PBC； (2)平面 PAC⊥平面 PBC； (3)PB⊥EF.
[证明] (1)因为 AB 是圆 O 的直径， 所以∠ACB＝90°， 即 AC⊥BC. 因为 PA 垂直于圆 O 所在的平面， 即 PA⊥平面 ABC，而 BC⊂平面 ABC，所以 BC⊥PA. 又因为 AC∩PA＝A， 所以 BC⊥平面 PAC. 因为 AE⊂平面 PAC，所以 BC⊥AE. 又已知 AE⊥PC，PC∩BC＝C， 所以 AE⊥平面 PBC.
二、判定定理 一条直线与一个平面内的两条 相交 直线都垂
文字语言 直，则该直线与此平面垂直
图形语言
符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α， a∩b＝P 作用 判断直线与平面 垂直
⇒l⊥α
三、直线和平面所成的角
1．定义：一条直线和一个平面 相交 ，但不和这个平面 垂直，这条直 线叫作这个平面的斜线，斜线和平面的 交点 叫作斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引 垂线 ，过 垂足 和 斜足 的直线叫作斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在 平面上的射影所成的 锐角 叫作这条直线和这个平面所成的角． 2．规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于 90°；一条 直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于 0°.因此，直 线与平面所成的角的范围是 [0°，90°] ．
[解析] 当直线 l 与平面 α 内的无数条平行直线垂直时，l 与 α 不一定垂 直，所以①不正确；当 l 与 α 内的一条直线垂直时，不能保证 l 与平面 α 垂直，所以②不正确；当 l 与 α 不垂直时，l 可能与 α 内的无数条平行 直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已 知平面，所以⑤正确．故填④⑤. [答案] ④⑤
(1)用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找 两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线 面垂直的一个常用方法． (2)线线垂直与线面垂直的转化关系． 线线垂直线线 面面 垂直垂直 的的 判定定义 定理线面垂直．
(3)解决线面垂直的常用方法： ①利用勾股定理的逆定理． ②利用等腰三角形底边的中线就是底边的高线． ③利用线面垂直的定义． ④利用平行转化，即 a∥b，b⊥c，则 a⊥c.
(2)由(1)，知 AE⊥平面 PBC，且 AE⊂平面 PAC， 所以平面 PAC⊥平面 PBC. (3)由(1)，知 AE⊥平面 PBC，且 PB⊂平面 PBC， 所以 AE⊥PB. 又因为 AF⊥PB，且 AF∩AE＝A， 所以 PB⊥平面 AEF. 又因为 EF⊂平面 AEF，所以 PB⊥EF.
解析：(1)假．因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可 能平行，也可能异面． (2)真．因为该直线不能与平面内所有直线垂直． (3)假．因为这无数条直线可能是一组平行直线．
(4)真．设 a，b，c 是三条直线，且共点于 O，a⊥b，b⊥c，c⊥a. 因为 a⊥b，a⊥c，b∩c＝O，且 b，c 确定一个平面， 设为 α，所以 a⊥α. 同理可知 b 垂直于由 a，c 确定的平面，c 垂直于由 a，b 确定的平面． (5)真．因为垂直于三角形两边的直线必垂直于该三角形所在的平面， 所以这条直线垂直于三角形的第三条边．
探究一 线面垂直的定义及判定定理
[典例 1] 下列叙述中正确的序号是________． ①若直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直，则 l⊥α； ②若直线 l 与平面 α 内的一条直线垂直，则 l⊥α； ③若直线 l 不垂直于平面 α，则 α 内没有与 l 垂直的直线； ④若直线 l 不垂直于平面 α，则 α 内也可以有无数条直线与 l 垂直； ⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．
2．3 直线、平面垂直的判定及其性质 2．3.1 直线与平面垂直的判定
考纲定位
重难突破
重点：1.直线与平面垂直的定义．
1.理解线面垂直的定义，了解 2.直线与平面垂直的判定定理，利
平面的垂线、斜线．
用定理解决有关线面垂直的问题．
2.掌握线面垂直的判定定理． 难点：1.用线面垂直定理解决直线
3.理解直线与平面所成的角. 与平面垂直问题．