浙江省2020年高考数学压轴卷含解析

浙江省2020年高考数学压轴卷（含解析）
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则{|||2}A x x =<{1,0,1,2,3}B =-A B = A ．B ．{0,1}{0,1,2}C ．D ．{1,0,1}
-{1,0,1,2}
-2．复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）2
1+i i A ．B ．C ．D ．-1+i 1-i 1+i -1-i
3．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为
n S {}n a n 4524a a +=648S ={}n a A ．1B ．2C ．4
D ．8
4．底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是
( )
A ．
B ．8
C
D ．83
5．若实数满足不等式组
，则( )
,x y 02222y x y x y ⎧⎪
-⎨⎪-⎩
………3x y -A ．有最大值，最小值B ．有最大值，最小值2
2-8
3
-
8
3C ．有最大值2，无最小值
D ．有最小值，无最大值
2-6．“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．函数
（其中为自然对数的底数）的图象大致为（ ）
()(
)1
1x x
e f x x e +=
-e A ．B ．
C ．
D ．
8．已知、，且，则（ ）
a b R ∈a b >A ．B ．C ．D ．
11a b
<sin sin a b
>1133a b
⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭22
a b >9．设是一个高为3，底面边长为2的正四棱锥，为中点，过
P ABCD -M PC 作平面与线段，分别交于点，（可以是线段端点），则四棱
AM AEMF PB PD E F 锥的体积的取值范围为（ ）P AEMF -A ．B ．C ．D ．4,23⎡⎤
⎢⎥
⎣
⎦43,32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦31,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
[
]
1,210若对圆
上任意一点，的取22
(1)(1)1x y -+-=(,)P x y 34349x y a x y -++--值与，无关， 则实数a 的取值范围是( )
x y A ．B ．C ．或D ．4a ≤46a -≤≤4a ≤6a ≥6
a ≥第II 卷（非选择题)
二､填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共
36分
11．《九章算术》中有一题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.”该女子第二日织______尺，若女子坚持日日织，十日能织______尺.
12．二项式的展开式中常数项为__________．所有项的系数和为
5
21x __________．
13．设双曲线的半焦距为c ，直线过（a ，0），（0，b ）两点，()22
2
21
0x y b a a b -=>>l 已知原点到直线，则双曲线的离心率为____；渐近线方程为
l
_________.
14．已知函数
，若，则实数_____；若22,0()log (),0x x f x x a x ⎧<=⎨
-≥⎩(1)(1)f f -=a =存在最小值，则实数的取值范围为_____.
()y f x =a 15．设向量满足，，，．若，则
,,a b c 1a = ||2b = 3c = 0b c ⋅= 12λ-≤≤的最大值是________．
(1)a b c
λλ++- 16．某班同学准备参加学校在假期里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成．其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一．则不同安排方法的种数是________．
17．已知函数
若在区间上方程只有一()
2
122,01()2,10x x x m x f x x m x +⎧+≤≤⎪=⎨
---≤<⎪⎩[1,1]-()1f x =个解，则实数的取值范围为______．
m
三､解答题:本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡18．已知函数.
()()
222cos 1x R f x x x =-+∈(1)求
的单调递增区间;
()
f x (2)当
时,求的值域.,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥
⎣⎦()f x 19．如图，四棱柱
的底面是菱形，
1111
ABCD A B C D -ABCD AC BD O = 底面，.
1A O ⊥ABCD 12AA AB ==（1）求证：平面
平面；1
ACO ⊥11BB D D （2）若，求与平面所成角的正弦值.
60BAD ∠=︒OB 11A B C
20．等比数列的各项均为正数，且
.{}n a 2
12326231,9a a a a a +==（1）求数列
的通项公式；
{}n a （2）设 ，求数列的前项和.31323log log ......log n
n b a a a =+++1n b ⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭n n T 21．已知抛物线
（）上的两个动点和，焦点为F.2
2y px =0p >()11,A x y ()22,B x y 线段的中点为
，且点到抛物线的焦点F 的距离之和为8
AB ()
03,M
y （1）求抛物线的标准方程；
（2）若线段的垂直平分线与x 轴交于点C ，求面积的最大值.
AE ABC ∆22．已知函数
.2()(1)(0)x f x x e ax x =+->（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；()f x (0,)+∞a （2）若函数有两个不同的零点.()f x 12,x x （ⅰ）求实数的取值范围；
a （ⅱ）求证：.（其中为的极小值点）
1201111
1x x t +->+0t ()f x
参考答案及解析
1．【答案】C
【解析】由
，得
，选C.
2．【答案】C
【解析】
因为,所以其共轭复数是，选C.2
1+i =1-i 1+i 【点睛】
本题考查共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基本题.3．【答案】C
【解析】设公差为，
，
d 45111342724
a a a d a d a d +=+++=+=，联立解得，故选C.
611656615482S a d a d ⨯=+=+=112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩4d =点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如
为等差数列，
{}n a 若，则.
m n p q +=+m n p q a a a a +=+4．【答案】C
【解析】
根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2,
画出图形，如图所示；
所以该四棱锥的底面积为，高为；
2
24S =
=h =
=所以该四棱锥的体积是
.11433V Sh ==⨯=
故选：C.【点睛】
本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，属于中档题．5．【答案】C
【解析】
画出不等式组
表示的平面区域，如图阴影所示；
2222y x y x y ⎧⎪
-⎨⎪-≥⎩
…
…设，则直线是一组平行线；
3z x y =-30x y z --=当直线过点时，有最大值，由，得；
A z 022y x y =⎧⎨
-=⎩
(2,0)A 所以的最大值为，且无最小值.z 3202x y -=-=z 故选：C.6．【答案】C 【解析】
直线和直线互相垂直的充要条件是，即，故选0x y +=0x ay -=1()110a ⨯-+⨯=1a =C
7．【答案】A
【解析】
∵f（﹣x）
f （x ），
()()()
111
111x x x x x x e e e x e x e x e
--+++====-----∴f（x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ；
又x=1时，<0，
()e 1
11e f +=
-∴排除B ，
故选A ．8．【答案】C 【解析】
对于A 选项，取，，则成立，但
，A 选项错误；1a =1b =-a b >11
a b >
对于B 选项，取，，则成立，但，即，B 选项a π=0b =a b >sin sin 0π=sin sin a b =错误；
对于C 选项，由于指数函数
在上单调递减，若，则，C 选13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭R a b >1133a b
⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭项正确；
对于D 选项，取，，则，但，D 选项错误.1a =2b =-a b >2
2
a b <故选：C.9. 【答案】D 【解析】
依题意
表示
到两条平行
34349
343495
5
x y a
x y x y a x y -+---++--=
+
()
,P x y 直线和的距离之和与无关，故两条平行直线
340x y a -+=3490x y --=,x y 和在圆的两侧，画出图像如下图所示，
340x y a -+=3490x y --=2
2
(1)(1)1x y -+-=故圆心
到直线的距离
，解得或（舍去）
()1,1340x y a -+=3415a
d -+
=
≥6a ≥4a ≤-故选：D.10．【答案】B
【解析】
首先证明一个结论：在三棱锥中，棱上取点
S ABC -,,SA SB SC 111
,,A B C
则
，设与平面所成角，
111
111
S A B C S ABC
V SA SB SC V SA SB SC --⋅⋅=
⋅⋅SB SAC θ，证毕.
1111111111
1111
sin sin 3211sin sin 32S A B C B SA C S ABC
B SAC
SA SC ASC SB V V SA SB SC V V SA SB SC SA SC ASC SB θθ----⨯⋅⋅∠⋅⋅⋅⋅=
==⋅⋅⨯⋅⋅∠⋅⋅四棱锥中，设，
P ABCD -,PE PF x y PB PD ==21
234
3P ABCD
V -=⨯⨯=12222P AEMF P AEF P MEF P AEF P MEF P AEF P MEF P ABCD P ABD P ABD P DBC P ABD P DBC V V V V V V V V V V V V V -------------⎛⎫
+==+=+ ⎪
⎝⎭
111222PA PE PF PE PM PF xy xy PA PB PD PB PC PD ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭
所以
3P AEMF V xy
-=又12222P AEMF P AEM P MAF P AEM P MAF P AEM P MAF P ABCD
P ABC P ABC P DAC P ABC P DAC V V V V V V
V V V V V V V -------------⎛⎫+==+=+ ⎪
⎝⎭11112222PA PE PM PA PM PF x y PA PB PC PA PC PD ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭
所以
P AEMF V x y
-=+即
，又，
3,31x x y xy y x +==
-01,01
31x
x y x ≤≤≤=≤-解得
1
12x ≤≤所以体积
，令2313,[,1]312x V xy x x ==∈-1
31,[,2]
2t x t =-∈
2(1)111()(2),[,2]
332
t V t t t t t +==++∈根据对勾函数性质，在
递减，在递增()V t 1
[,1]
2t ∈[1,2]t ∈所以函数最小值
，最大值，
()V t 4(1)3V =
13
(2)()22V V ==
四棱锥的体积的取值范围为P AEMF -43,32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
故选：B
11．【答案】
10
31165【解析】
设该女子每天的织布数量为
，由题可知数列为公比为2的等比数列，
n a {}n a 设数列
的前n 项和为，则
，解得
，
{}n a n S ()515125
12
a S -=
=-15
31a =
所以，.
2110231a a ==()10
1051231165
12S -==-故答案为：，.
10
31165【点睛】
本题考查了等比数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题
.12．【答案】 32
5【解析】
展开式的通项为
，
55522
15
521()r r
r
r r r T C C x x --+==令，解得，
55
022r -=1r =所以展开式中的常数项为，1
2
55T C ==令，得到所有项的系数和为，得到结果.
1x =5
232=
点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中的特定项以及展开式中的系数和，所用到的方法就是先写出展开式的通项，令其幂指数等于相应的值，求得r ，代入求得结果，对于求系数和，应用赋值法即可求得结果.13．【答案】2
y =【解析】
由题可设直线方程为：，即，则原点到直线的距离
l 1
x y
a b +=0bx ay ab --=，解得，两式同时平方可得
，又
ab d c =
=
=
24ab =224163a b c =，代换可得
，展开得：，同时除以
2
2
2
b c a =-()2224
163a c a c -=22
4
4
16162a c a c -=得：，整理得
，解得
或，又，
4
a 24
16163e e -=()()223440
e e --=24
3e =
40b a >>所以，所以
；
2
2
2
2
2
2
2
2
22b a c a a c a e >⇒->⇒>⇒>24,2c e e a ==
=
b a ==
=b
y x a =±=故答案为：2
；y =14．【答案】
1[1,0)-【解析】
，
(1)(1)f f -= ，122log (1)a -∴=-，
1
2
12a ∴
-=1a ∴=易知时，
；0x <()2(0,1)x
f x =∈又时，
递增，故，
0x …2()log ()f x x a =-2()(0)log ()f x f a =-…要使函数存在最小值，只需
，
()f x 20
()0
a log a ->⎧⎨
-⎩…
解得：.
10a -<…故答案为：，
.1[1,0)-15．
【答案】1
+【解析】
令，则，因为，
()1
n b c
λλ=
+- n == 12λ-
≤≤所以当，
，因此当与同向时的模最大，
1λ=
-max n == n a
a n + max 1
a n a n +=+=+
16．【答案】36
【解析】
把“参观工厂”与“环保宣讲”当做一个整体，共有种，
42
42
A A 48=把“民俗调查”安排在周一，有
，3232A A 12⋅=∴满足条件的不同安排方法的种数为，481236-=故答案为：36．
17．【答案】或1|12m m ⎧
-≤<-⎨
⎩
1}m =【解析】
当时，由，得，即；当时，由
01x ≤≤()1f x =()221
x x m +=212x
x m ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭10x -≤<，得，即.
()1f x =1221x x m +--=1221x x m +-=+令函数，则问题转化为函数与函数
11,01()221,10x x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭
⎪--≤<⎩11,01()221,10x
x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩的图像在区间上有且仅有一个交点.
()h x =2x m +[1,1]-在同一平面直角坐标系中画出函数与
在区间函数11,01()221,10x
x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭
⎪--≤<⎩2
y x m =+上的大致图象如下图所示：
[1,1]-
结合图象可知：当，即时，两个函数的图象只有一个交点；
(0)1h =1m =当时，两个函数的图象也只有一个交点，故所求实数(1)(1),1
1(1)(1)2h g m h g <⎧⇒-≤<-⎨
-≥-⎩
的取值范围是.m 1|112m m m ⎧⎫
-≤<-=⎨⎬
⎩
⎭或18．【答案】（1）；（2）.,()63k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦⎡-⎣
【解析】
(1) 函数
，(
)222cos 122226f x x x cos x in x x s π⎛
⎫ ⎪
=⎝=-+-=⎭-令
，求得
，
222()
2
6
2
π
π
π
ππ-
≤-
≤+
∈k x k k Z ()
6
3
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈故函数f(x)的增区间为；
,()63k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)若
，则，故当时，函数f(x)取得最小,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2,623x πππ⎡⎤
-∈-⎢⎥
⎣⎦262x ππ-=-
值为−2；当时，函数f(x).2
6
3x π
π
-
=
⎡-⎣
【点睛】
本题考查三角恒等变换，考查正弦型函数的性质，考查运算能力，属于常考题.
19．【答案】（1）证明见解析（2
（1）证明：由
底面可得，1A O ⊥ABCD 1
AO BD ⊥又底面是菱形，所以，ABCD CO BD ⊥因为
，所以平面，
1A O CO O ⋂=BD ⊥1A CO 因为平面，
BD ⊂11BB D D 所以平面
平面.1
ACO ⊥11BB D D （2）因为底面，以为原点，，，为，，轴建立如图
1
A O ⊥ABCD O O
B O
C 1OA
x y z 所示空间直角坐标系，
O xyz
-则，，，，
(1,0,0)
B
C (0,A 1(0,0,1)A ，
，
11A B AB ==
()
11A C =- 设平面的一个法向量为，
11A B C (,,)m x y z =
由，取得
，11100
00m A B x m A C z ⎧⋅=⇒+=⎪⎨⋅=⇒-=⎪⎩ 1x
=1,1m ⎛⎫=- ⎪
⎝⎭ 又，
(1,0,0)OB =
所以
，
cos ,||||
OB m
OB m OB m ⋅===
所以与平面
.
OB 11A B C 20．【答案】（1）
（2）
13n n a =
21n
n -
+
（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由
＝9a
2a 6得
＝9
,所以q 2＝．
2
3a
2
3a
24
a 1
9由条件可知q ＞0,故q ＝．由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝．
131
3故数列{a n }的通项公式为a n ＝．
13n
（Ⅱ）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－
．
()
2
1n n +故
．
()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭
121111111122122311n n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦所以数列的前n 项和为1n b
⎧⎫⎨⎬⎩⎭2
1
n n -+21．【答案】（1）（22
4y x =【解析】（1）由题意知,
126x x +=则
,
1268
AF BF x x p p +=++=+=,
2p ∴=抛物线的标准方程为∴2
4y x
=（2）设直线:（）,
AB x my n =+0m ≠由,得,2
4x my n y x =+⎧⎨=⎩
2440y my n --=124y y m
∴+=,即,
212426x x m n ∴+=+=232n m =-
即,
()
21221216304812m y y m y y m ⎧∆=->⎪⎪
+=⎨⎪⋅=-⎪⎩
,
2AB y ∴=-=设的中垂线方程为:,即
,
AB ()
23y m m x -=--()
5y m x =--可得点C 的坐标为
,
()5,0直线:,即,
AB 232x my m =+-2
230x my m -+-=点C 到直线的距离
,
∴
AB d (
)21
412
S AB d m ∴=
⋅=+令,则（
,
t =22
3m t =-0t <<令
,
()()244f t t t
=-⋅,令,则
,
()(
)2
443f t t
'∴=-()0f
t '∴=t =
在上；在上
,⎛
⎝()0f t '>
()0f t '<故在单调递增,
单调递减,()
f
t ⎛ ⎝
当
,即
,
∴t =
m =max
S =
22．【答案】（1）；（2）（ⅰ）
；（ⅱ）证明见
⎛-∞ ⎝
⎫+∞⎪⎪⎭解析.
【解析】
（1）由，得
，2
()(1)x f x x e ax =+-2()2x x f x x e a x +⎛⎫'=- ⎪⎝⎭
设，；则；
2()x x g x e x +=⋅(0)x >2222()x
x x g x e x +-'=⋅由，解得，
()0g x '
…1x ≥-所以在上单调递减，在上单调递增，
()g
x 1)
1,)-+∞
所以1
min
()1)(2==+⋅g x g 因为函数在上单调递增，所以在恒成立()f x (0,)+∞()0f x '
…(0,)+∞所以
；
1
(22+⋅≥a 所以，实数的取值范围是：.
a ⎛-∞ ⎝（2）（i ）因为函数有两个不同的零点，不单调，所以.
()f x ()f
x a >
因此有两个根，设为，且
，
()0f x '=10,t
t 1001t t <<-<所以在
上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
()f x ()10,t ()10,t t ()0,t +∞又
，
，当充分大
()1(0)1
f t f >=()22()(1)(1)x x x
f x x e ax a e x x a e =+-=-++-⋅x 时，取值为正，因此要使得有两个不同的零点，则必须有，即
()f x ()f x ()00
f t <；
()200010t t e a t +-⋅<又因为
；
()()0000220
t
f t t e at '=+-=所以：
，解得，所以；
()()000002202t t
t t e t e +-
⋅+
<0t
>12>=a g 因此当函数有两个不同的零点时，实数的取值范围是
.()f x
a ⎫+∞⎪⎪
⎭（ⅱ）先证明不等式，若
，，则
.
12,(0,)x x ∈+∞12x x
≠2112
21112x x x x
nx nx -+<
<-
证明：不妨设
，即证
，
210x x >
>21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<<+设
，
，，211x t x =
>()ln g t t =-2(1)()ln 1t h t t t -=-
+只需证且；
()0g t <()0h t >因为，
，
()0g t '=<22
(1)()0(1)t h t t t -'=>+所以在上单调递减，在上单调递增，()g t (1,)+∞()h t (1,)+∞所以，，从而不等式得证.
()(1)0g t g <=()(1)0h t h >=再证原命题.
120111
11x x t +->+由得；
()()1200f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩()()122
112221010x x x e ax x e ax ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩所以
，两边取对数得：
()()2
2
122
2
12
11x
x x e x e x x ++=
；
()()()212121
2ln ln ln 1ln 1x x x x x x ⎡⎤--+-+=-⎣⎦即
.
()()()
()()
212121212ln ln ln 1ln 11
11x x x x x x x x -+-+-=-+-+因为
，
()()()
()()
()()
212121211221111112
1111nx nx n x n x x x x x x x
-+-+-<
-
-+-++++所以
，
1212
2
11
12x x x x +
<
<+++因此，要证.
12011111x x t +->+只需证
；
1202x x t +<因为在上单调递增，，所以只需证，
()f x ()0
,t +∞1020x t x <<<()()2022f x f t x <-
只需证，即证
，其中
；
()()
1012f x f t x <-()()
00f t x f t x +<-()
0,0x t ∈-设
，
，只需证；
()()
00()r x f t x f t x =+--00t x -<<()0r x <计算得
；
()()00000
()224t t
r x x t e x x t e x at '=++++-++--.
()()2000()33t x
r x e x x t e x t ''⎡⎤=-+++--⎣⎦
由在
上单调递增，
()()20033x y x t e x t =+++--()0,0t -得
，
()()0003030
y t e t <++--=所以；即在
上单调递减，()0r x ''<()r x '()0,0t -所以：
；
()0()(0)20
r x r f t '''>==即在
上单调递增，所以成立，即原命题得证.
()r x ()0,0t -()(0)0r x r <=。