浙江省杭州市第二中学2016年高考仿真模拟数学(文)试题

2015-2016学年浙江省杭州第二中学仿真模拟考试数学（文）
试题
本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分, 考试时间120分钟． 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式：
柱体的体积公式V =Sh 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高
锥体的体积公式 V =13Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高
台体的体积公式1()123
V h S S =
++ 其中S 1,S 2分别表示台体的上,下底面积
球的表面积公式S =4πR
2
其中R 表示球的半径，h 表示台体的高
球的体积公式V =43
πR
3
其中R 表示球的半径
选择题部分 （共40分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求．） 1．1
{1}A x
x
=≥，{1}B x x =≥，则A B =U （ ▲ ） A ．R B ．(0,)+∞
C ．{1}
D ．[)1,+∞
2．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ▲ ）3
cm
A ． 12π+
B ．413π+
C ．1 2π+
D ．16
π
+ 3．设函数() sin()f x a x ϕ=+，:p π
()02
f =“”是:q ()f x “是偶函数”的（ ▲ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．,αβ为两个不同的平面，,,l m n 为三条不同的直线，且,,l m n αβ⊂⊂，则下列命题正确的是（ ▲ ）
A ．若, l m ββ∥∥，则αβ∥
B ．若, n l n m ⊥⊥，则n α⊥
C ．若, n l n m ∥∥，则n α∥
D ．若, l m n β⊥∥，则l m ⊥
5．已知数列{}n a的前n项的和为()
2*
1
n
S n n n N
=-+∈，则数列{}n a的第6项是（▲）
A．10B．12C．21D．31
6．函数
2
22
x x
x
y
-
=
-
的图象可能是（▲）
A．B．
C．D．
7．已知动点M到点(8,0)的距离是M到点(2,0)的距离的两倍，其轨迹与圆
2288160
x y x y
+--+=相交于,A B两点，则线段AB的长度是（▲）
A
．B．
C
D
．
8．正项等比数列}
{
n
a满足：8
2
2
1
2
3
4
+
+
=
+a
a
a
a，则
5
6
2a
a+的最小值是（▲）A．64B．32C．16D．8
非选择题部分（共110分）
二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每空4分，共36分．）
9. 经过点(0,2),(3,0)
-的椭圆方程是▲，其焦距是▲．
10
．函数
1
()sin22
22
f x x x
=+的最小正周期是▲，单调递增区间是▲．
11．函数()
2
1
1,1
,1
x x
f x x
x x
⎧
-+≥
⎪
=⎨
⎪<
⎩
，则((1))
f f-=▲；函数()
f x在区间[2,2]
-上的值域是▲．
F
A
C
12．若实数,x y 满足不等式280
10240
x y x y x y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪+-≥⎩
，则1y x +的最小值是 ▲ ；|22|x y --的最
大值是 ▲ ． 13．方程2
lg
lg(8)m x x
=-的解集为∅，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 14．ABC Δ满足：4,2,3
AB AC A π
===，已知AD 垂直BC 于点D ，F E ,为AC AB ,中
点，则=• ▲ ．
15．双曲线22
221x y a b
-=存在一点P ，与坐标原点O 、右焦点2F 构成正三角形，则双曲线
的离心率为▲．
三．解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，1, a b =， 且2
1
2sin sin cos sin()sin 23A B A A A B B +++-=
． （Ⅰ）求sin B 的值；
（Ⅱ）若B 是锐角，求边c 的大小．
17. (本题满分15分)在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 60， P C A B C D ⊥平面，且
2AB =
，PC =F 是PC （Ⅰ）求证：PA DBF ∥平面；
（Ⅱ）求直线PA 和平面PBC 所成的角的正弦值．
18．(本题满分15分)已知数列{}n a 中，120,2,a a == 且1-1
1 22
n n n a a a n ++=-≥（）． 数列{}n b 中，1n n n b a a +=-．
( I ) 证明：数列{}n b 为等差数列并求数列{}n a 的通项公式； （II ）设数列{}n c 满足：1
1
n n c a +=，数列{}n c 的前n 项的和n S ，求满足20152016n S ≤的最大
正整数n 的值．
19．(本题满分15分)已知A 是抛物线2
:2 (0)C y px p =>上一个动点，且点A 到直线
:2130l x y -+=过直线l 上一点(3,8)B 作抛物线C 的两条切线，,M N 为切点.
(Ⅰ) 求抛物线C 的方程；
(Ⅱ) 求BM BN u u u u r u u u r
g 的值．
20．（本小题满分15分）设函数2() 1 ()f x x ax a R =-+∈
(I)若对任意1[1,2]x ∈，任意2[3,6]x ∈，都有12()()f x f x ≥，求a 的取值范围； (II)若不等式|()|21f x x ≥+在[1,2]上恒成立，求a 的取值范围．
2015-2016学年浙江省杭州第二中学仿真模拟考试数学（文）
参考答案
一、选择题 BDCD ACAB 二、填空题
9 ．22
194
x y += 10．5, (,)()1212k k k z πππππ-+∈ 11． 1; [0,4] 12．
1
; 94
13． 8m < 14． 1 15． 1
三、解答题 16．解：（Ⅰ）∵
2
1-cos()
2sin sin cos sin()-sin 2sin cos sin()-sin 22A B A B A A A B B A A A B B ++++=++
s i n s i n c o s ()c o s s i n ()s i n s i n s i n
A A A
B A A B B A B B A =-+++-=+-=
∴
1
sin 3A =
∵
sin sin a b A B = ∴113
=
∴sin B =
（Ⅱ）∵B 是锐角 ∴cosB =，又∵222cos 2a c b B ac +-=
213
2c c
+-=
，
F
A
C
x
2360c
--=
则
c =
0c > ∴c 17．解：（法1）（Ⅰ）连AC ，交BD 于点O ，连接FO
∵底面ABCD 为菱形 ∴O 为AC 中点，又∵F 是PC 的中点 ∴OF 是△PAC 的中位线，∴OF PA ∥
又∵,OF DBF PA DBF ⊂⊄平面平面∴PA DBF ∥平面 （Ⅱ）过点A 作CB 的垂线，交CB 的延长线于E ，连接PE ∵PC ABCD ⊥平面∴PC AE ⊥ 又∵AE BC ⊥ ∴AH PBC
⊥平面
∴APE ∠就是直线PA 和平面PBC 所成的角
而PA =，2sin60AE
=o
∴sin
APE ∠==
∴直线PA 和平面PBC
（法2
）（2）以O
为原点，建立空间直角坐标系
O-xyz
(0,1,0),((A B C P
（略写）求得平面PBC 的法向
量(1
,n =r
，
PA =
u u u r
∴sin |
6
θ== ∴直线PA 和平面PBC
18． 解：( I ) 当2n ≥时，11111()()22n n n n n n n n n b b a a a a a a a -+-+--=---=-+=， 且121202b a a =-=-=
∴数列{}n b 为首项为2，公差为2的等差数列
F
A
C
∴22(1)2n b n n =+-=，即12n n a a n +-=，
则12(1)n n a a n --=-，122(2)n n a a n ---=-，L ，3222a a -=g ，2121a a -=g 各式左右各自叠加，得12[12(2)(1)](1)n a a n n n n -=+++-+-=-L 即(1) 2n a n n n =-≥（），且10a =符合上式，故(1) n a n n =- （II ）111
(1)1
n c n n n n =
=-
++ ∴121n n n S c c c c -=++++L
11111111111223111
n n n n n =-+-++-+-=--++L ∵20152016n S ≤
∴12015112016n -≤+，得2015n ≤ ∴满足2015
2016
n S ≤的最大正整数n 的值
为2015
19．解：(Ⅰ)法1：由题意可知，设直线:20m x y c -+=与抛物线相切，则直线m l 与的距离就是动点A 到直线:2130l x y -+=
=解得8c =或18 由图可知，抛物线C 于直线l 相离，故13c <，故8c =
2220
y px
x y c ⎧=⎨
-+=⎩，消x 得2420y py cp -+= ，则2=1680p cp -=△ ，即2c p = 故28p =，即抛物线C 的方程为2
8y x =
法2：设点A 为2
(,)2a a p
则点A 到直线:2130l x y -+=的距离
221|213||(2)213|a a a p p d -+--+== ，由于,0a R p ∈>，若2130p -+≤，
则d 的最小值是0，不合题意，故2130p -+>，且只有当2a p =时，d
取到最小值
==28p =，即抛物线C 的方程为28y x =
(Ⅱ)由题意可知，切线,BM BN 的斜率存在且不等于0，设过点B 的切线方程为
3(8)x m y -=-，设
22
1212(,y ),(,y )88y y M N ，则283(8)
y x x m y ⎧=⎨
-=-⎩，得
286424
y m y m -+-=， 2644(6424)0m m =--=△，即22830m m -+=，由于其6424400=-=>△＇
不妨设两根为12,m m ，分别对应切线,BM BN ， 则12123
4,2
m m m m +== 且由于2864240y my m -+-=具有等根，故11224,4y m y m ==， 则切点M 坐标为211(2,4)m m ，切点N 坐标为222(2,4)m m ，
则221122(23,48)(23,48)BM BN m m m m =----u u u u r u u u r g
222121212124()6()91632()64m m m m m m m m =-+++-++ 2212121212124()6[()2]91632()64m m m m m m m m m m =-+-++-++ 2212121212124()6[()2]91632()64100m m m m m m m m m m =-+-++-++=-
20.解：(I) 由题意可知，对任意1[1,2]x ∈，任意2[3,6]x ∈，总有12()()f x f x ≥，只需
1min 2max ()()f x f x ≥
2() f x x ax b =++的对称轴是2
a
x =
（1）当
3622
a +≥，即9a ≥时，1min 2max ()(2)(3)()f x f f f x =≥=，显然成立 （2）当36
222
a +≤
<，即49a ≤<时，1m i n 2m a x ()(2),()(6)f x f f x f ==，要使得12()()f x f x ≥，则需2622
a a
-≥-，即8a ≥，故89a ≤<
（3）当
22
a
<时，即4a <时，显然(2)(3)f f <不合题意，舍 综上所述，8a ≥.
(II) 2
|1|21x ax x -+≥+，即22121121x ax x x ax x -+≥+-+≤--或
即222+22ax x x ax x x ≤-≥+或，又∵[1,2]x ∈，故22+
2a x a x x
≤-≥+或 ∵恒成立，∴min max 2
(2)(+2)a x a x x
≤-≥+或， 故15a a ≤-≥或。