_圆_形毕露_刘清泉

ZHONGXUESHUXUEZAZHI
P 为 ⊙O 上一点， 当 ∠OPA 最大时 ， 求 PA 的长 ． （ 北京 2011 年） 市西城区中考一模 ， 简解 过 O 作 ⊙O' 与 ⊙O 内切， 设切点为 P' （ 显 O' 、 P' 共线， OP' 为 ⊙ O' 直径 ， 然 P' 唯一 ） ， 故 O、 从而 ， 6， 进而 ， 在 Ｒt △OAP' 中， 求得 P'A = 槡 即为所求 ， 事实 上， 对于在 ⊙O 上除 P' 外的所有点 P ， 均有 ∠OPA ＜ 5 2， （ 1） 2 槡 （ 2） 25 ， 代入 （ 1 ） ， 4 ∠OP'A． 小结 “辅助内切圆 ” “定线 本例构造 其构造缘起 ， 张角 ” 求解的方法令人叹为观止 ， 立意很高 ． 作为解决 问题的思路之一 ， 可谓高屋建瓴 ， 可以引领学生开阔思 “锐角三角函数 ”等方法求 路． 不过 ， 对于学生 ， 与利用 解相比 ， 这种方法的要求较高 ． 之所以以本例的“辅助 圆”解法为尾例 ， 主要是让我们意识到 ： 利用“辅助圆 ” 解决问题是一种灵动巧妙的策略 ， 但一般不是唯一的 可以说 ， 在中考试题中 ， 利用“辅助圆 ”的策略是 策略 ， “直线型 ”相关求解策略的有益补充 ． 利用 上述案 例 求 解 时 大 体 上“构 造 相 关 的 辅 助 圆 解 ： 问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质 题” 相似的信息 ， 此时 ， 可构造出与题目相关的辅助圆 ， 将 原问题转化为与圆有关的问题加以解决 ． 纵观文中的八个案例 ， 利用“辅助圆 ”巧妙地解决 Ｒt △ABC 中 ， 如图 7 ， ∠ C = 90ʎ ， ∠BAC = “直线形 ”问题 ， ． 可以看 可谓 ： 道是无“圆 ”也有“圆 ” 这些案例在中考试题中很重要 ， 运用“辅助圆 ”对 出， 、 “相交弦 ” 、 其解答也很重要 ． 事实上 ， 利用“弦切角” “双割线 ”等定理的逆定理也可构造“辅助圆 ”解决相 不过 ， 显然在中考命题中出现不大妥当 ， 应 关的问题 ， 该说 ， 新课标降低与“圆 ”相关问题的要求有其必然 性， 同时 ， 我们也绝对反对让与圆相关的诸多“偏 、 难、 “死灰复燃 ” ， 繁”的题目 借助辅助圆解决问题的“模型 思想 ”是关键 ． 文中的案例的解决方法大都有多种方法 ， 其中不 乏经典的“直线型 ”解法 ， 笔者只是从以“曲 ”辅“直 ” 的角度阐述了构建“辅助圆 ”的模型思想 ， 另外 ， 文中 案例对应的原题 ， 大都有多个小问题 ， 问题之间 ， 层层 递进 、 层层深入 ， 引导学生探究对应的解决策略 ， 凝聚 了命题老师的集体智慧 ， 笔者为缩短篇幅简约表达 ， 在 不影响题意的前提下对原题作以修改 ， 而且没有完整 解答 ， 要揣摩案例更深层次的内涵 ， 请读者参阅对应的 中考试题 ， 这里不再赘述 ．
图4 例4
图5
如图 5 ， 平面直角坐标系中 ， 直线 AB 与 x 轴 ， y 轴分别交于点 A（ 6 ， 0） ， B（ 0 ， 8） ， 点 C 的坐标 为 （ 0 ， m） ， 过点 C 作 CE ⊥ AB 于点 E， 点 D 为 x 轴上的一动点 ， CD 、 DE ， CD ， DE 连接 以 为边作 CDEF． 点 D 在整个运 动过程中 ， 若存在唯一的位置 ， 使得 CDEF 为矩形 ， 2013 年） 求出所有满足条件的 m 的值 ． （ 温州市 ， ，“ CDEF 为 矩 形 ” 等 价 于“在 简析 显然 ， “x 轴上的点 D 在整个运动 CDEF 中， ∠CDE = 90ʎ” 过程中 ， 若存在唯一的位置 ， 使得 CDEF 为矩形 ”等 “在运动过程中 ， x 轴上存在唯一的点 ， 价于 使 ∠CDE ， “以 CE 为直径的圆与 x 轴相切 （ 包 = 90ʎ ” 进而等价于 C 括圆位于 x 轴上方 、 下方两种 ） 或过原点 O（ 包括 O、 A 重合两种 ） ” ． 考虑四种情形进而求解 （ 此处 重合与 E、 不再赘述 ） ． 小结 显然 ， 本 例 中 的“ CDEF 为 矩 形 ”等 价 ， “直角三 于“△ CDE 为直角三角形 （ D 为直角顶点） ” 角形 ”作为特殊三 角 形 ， 中 考 试 题 中 也 很 多 见， 例如 2013 年福州市 中 考 题 21 、 2012 年 海 南 省 中 考 题 24 、 2012 年广州市 中 考 题 24 、 2012 年 云 南 省 中 考 题 23 、 2008 年天津市中考题 10 等 ， 涉及“线段张直角 ”的情 形 ． “张 直 角 ”的 线 段 有“固 定 ”的 、 亦 有“运 动 ”的 （ 如本 例 ） ， 求 解 时， 常常转化 为直线与圆的位置 关 系 ， 进而 寻求解决的策略 ． y） 如图 6 ， 点 M（ x， 1 2 3 为抛物线 y = x － x － 2 上 2 2 例5 的一个动点 ， 当 ∠ AMB ≤ 45ʎ 时， 请直接写出点 M 横坐标的 2012 取值 范 围 ． （ 宁 波 市 副 卷 ，
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小结
刘清泉 杨一丽
显见 ， 辅助圆的巧妙构造为直线型问题的 “曲线 ”通道 ． 事实上 ， 解决开辟了一个新的 借助“辅助 而且构造缘起自然 ． 笔者发现 圆”求解不仅方法巧妙 ， 在近几年中考试题的客观题 、 主观题中 ， 许多题目都可 “辅助圆 ”解答 ， 以利用 特别地 ， 这些题目往往都具有 压轴的味道 ． 笔者以其中的典型案例简要分析 ， 其中案 例的具体求解过程及利用直线型相关方法的求解过 程， 此处不再赘述 ．
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证明线段相等 ， 除考虑全等三角形外 ， 等
图6
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年） 简解 不难确定 ， 点 M 不可能位于 x 轴下方 ． 当 M 位于 x 轴上方 ， 且 ∠ AMB = 45ʎ 时， 作 △AMB 的外接圆 PB ， ⊙P， 连 结 PA、 作 PQ ⊥ x 轴， 由 题 意 不 难 得 到， P（ 3 5 5 ， ）、 2， 且 ⊙P 半径 r = 2 2 2 槡
“ 圆” 形毕露
浙江省宁波市镇海蛟川书院 浙 江省宁波市教研室
圆是几何图形中最规范 、 最简约的一种 ， 许多数学 问题与圆密切相关 ， 特别是一些“直线型 ”图形的相关 “辅助圆 ” ， 求解时若能根据题意构造 则达到避繁 问题， ， ． 就简的效果 其求解过程流畅清晰 虽然由于新课标减 少了与圆相关的知识和技能的安排 ， 降低了与圆相关 的思想与方法的要求 ， 在中考试题中 ， 平面几何部分似 “直 ”轻 “曲 ” ， 乎重 但是笔者认真研究近几年的中考试 ， 题后， 发现许多直线型的问题若以能“曲 ”辅“直 ” 可 别开生面 ． BA = BC， 引例 如图 1 ， 在 △ ABC 中 ， ∠ BAC = M 是 AC 的中点 ， P 是线段 BM 上的动点 （ 不与 B、 M重 α， 合） ， 将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 2 α 得到线段 PQ， 线 段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D， 猜想 ∠CDB 的大 小 （ 用含 α 的代数式表示 ） ， 并加以证明 ． （ 北京市 ， 2012 年） 简解 连结 PC ， 不难得到 PC = PA = PQ， 故以 P PA 为 半 径 作 辅 助 圆 ⊙P ，从 而 ∠ACQ = 为圆 心 、 1 ∠APQ = α， 进而， 在 Ｒt △ CDM 中， ∠CDB = 90ʎ － 2 ∠ ACD = 90ʎ － α． 图1 例1 图2 定义 ： 若一个四边形的一条对角线把四边
2 2 2 在 Ｒt△OAG 中， 由勾股定理可得： OG + OA = AG ， 2 3） 2 = （ 8 － x ） 2 ， 即 x + （ 4槡 解得 x = 1， 所以 OG = 1．
D 是 OB 的中点， 等边 △OBC， 连接 AD 并延长交 OC 于 E． （ 1 ） 求证： 四边形 ABCE 是平行四边形； （ 2 ） 如图 10 所示， 将图 9 中的四边形 ABCO 折叠， 使点 C 与点 A 重合， 折痕为 FG ， 求 OG 的长．
A、 D 相对固定 ， 简析 如图 2 ， 可知点 B 、 满足条件 AB 为半径作 ⊙B ； 的点 C 可如下寻找 ： （ 1 ） 以 B 为圆心 、 （ 2 ） 分别以 A、 D 为圆心 ， AD 为半径的作 ⊙A、 ⊙ D 以及 AD 中垂线 ； 得五个公共点 C1 C5 ， 考虑五种情形进而 求解（ 此处不再赘述 ） ． “等腰三角形 ”作为特殊三角形 ， 中考试题 ， ， 中很多见 相关的许多中考题中 常常涉及与例 1 类似 的题目 ， 解答时首先需要画出可能情形的示意图 ， 进而 小结 其 中 用 到 的“交 轨 法 ”涉 及 到“辅 助 分类讨 论 解 答 ， （ 利用圆的定义 ） ， 圆” 这一环节十分关键 ， 倘若“离散 ” 寻找满足题目条件的所有情形 ， 除费时、 费力外 ， 也容 2010 年 易情形疏漏 ． 再比如 2012 年扬州市中考题 27 、 “交轨法 ” ． 济南市中考题 12 等也都需要运用 AC = CE， M、 B、 D 分别 例 2 如图 3 ， 在 △ACE 中 ， AC、 CE 的中点 ． 四边形 BCGF 和 CDHN 都是正方 是 AE 、 2009 形， 求 证 ： △ FMH 是 等 腰 直 角 三 角 形 ． （ 河 北 省 ， 年） CF、 简解 连 结 CM、 CH、 AF、 EH， 由 AC = CE 及 M 为 AE 中点， 得 CM ⊥ AE， 不难 ∠AFC = ∠AMC = 得 到， 90ʎ ， A、 M、 C、 F 四点共 从 而， 圆 ， 在 ⊙B 中， ∠FMA = 1 E、 M、 ∠FBA = 45ʎ ， 同 理， 2 C、 H 四点共圆， 在 ⊙D 中， ∠HME = 1 ∠HDE = 45ʎ ， 进 2 图3
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腰三角形也是常用的方法 ， 故“连结 AF ”比较自然 ， 进 而连结 AC 利用辅助圆证明 ， 其解法简约大方 ， 辅助线 “连结线 ” ， “全等三角形 ”添加的辅助 的类别是 比构造 由同线同侧张角相等获得四点共 线更直接 ． 本例中 ， 圆， 进而求解 ． 另外 ， 北京市 2011 年中考题 24 的 （ 2 ） 、 （ 3 ） 小题也是同类情形的案例 ． 上述案 例 求 解 时 大 体 上“挖 掘 隐 含 的 辅 助 圆 解 ： 问题的题设或图形本身隐含“点共圆 ” ， 题” 此时 ， 补 合理挖掘图形隐含的性质 ， 从而使题设和结 出辅助圆 ， 论的逻辑关系明朗化 ．
形分成两个等腰三角形 ， 则把这条对角线叫这个四边 AB = AD = BC ， 形的 和 谐 线 ． 若 四 边 形 ABCD 中， AC 是四边形 ABCD 的和谐线 ， ∠BAD = 90ʎ ， 求 ∠BCD 2013 年） 的度数 ． （ 宁波市 ，
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由 AC = CE， 得 ∠CAM = ∠CEM． 又 而 ∠FMH = 90ʎ ， ∠FAB = ∠HED = 45ʎ ， 则 ∠FAM = ∠HEM， 又 ⊙B 与 ⊙D 为等圆， 得 FM = HM， 故 △FMH 为等腰直角三角形． 小结 本题利用辅助圆求解 ， 主要运用圆周角定 理， 其思路直接 、 条理清晰 ， 从“圆 ”的角度解决了直线 型问题 ， 极大丰富了解决问题的策略 ， 事实上 ， 添加辅 助圆的依据可归结为 ： 同线异侧张角互补获得四点共 圆（ 即对角互补的四边形为圆内接四边形 ） ， 本例同线 2013 年宜兴市中考一 异侧张直角为其中的特殊情形 ， 模题 28 第 （ 1 ） 小题、 也是这种情况 ， 而 2011 年莆田中 考题 25 第 （ 2 ） ① 题亦可以利用“同线异侧张角互补 ” 获得四点共圆 ， 进而求解 ． 当然， 本例以“圆的定义 ”为 切入点亦可添加辅助圆 ⊙B 、 ⊙D． 例3 如图 4 ， 四边形 ABCD 是正方形 ， 点 E 是边 BC 上的点 ． ∠AEF = 90ʎ ， 且 EF 交正方形外角 ∠DCG 2009 年） 的平分线 CF 于点 F， 求证 ： AE = EF． （ 临沂市 ， AC ， 简解 连结 AF、 易得 ∠ ACF = 90ʎ = ∠ AEF ， E、 C、 F 四点共圆 ， 故 A、 从而 ∠AFE = ∠ACE = 45ʎ ， 进 而易得 AE = EF． 小结
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图9 图 10 D 为 OB 的中点， 证与解 （ 1） 在 Ｒt△OAB 中， 所以 DO = DA， 所以 ∠DAO = ∠DOA = 30ʎ． 因为 △OBC 为等 边三角形， 所以 ∠BCO = ∠COB = 60ʎ， 所以 ∠EOA = 90ʎ， 所以 OC ∥ AB， ∠AEO = 60ʎ = ∠BCO， 所以 BC ∥ AE， 所以四边形 ABCE 是平行四边形． （ 2 ） 由题意知 OC = OB = 8 ． AG = GC = 8 － x． 设 OG = x ， 则由折叠可知， 在 Ｒt△ABO 中， 因为 ∠OAB = 90ʎ ， ∠AOB = 30ʎ ， 3 OB= 4 槡 2
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AO， O、 D 三点 如图 8 所示， 连结 BD、 则 B、 1 BO = BD， AO ⊥ BD， AO 平 分 ∠BAD， 所以 共线， 2 解析 ∠BAO = 60ʎ ． 3 BO = AB·sin60ʎ = 2 ˑ 槡 = 槡 3cm． 在 Ｒt△AOB 中， 2 AO 垂直平分 EF， 由折叠知， 所以 EF ∥ BD， 所以 EF 1 3cm． 是 △ABD 的中位线， 所以 EF = BD = BO = 槡 2 4 翻折四边形的一角 例 6 （ 2013 兰州） 如图 9 所示， 在 △OAB 中， ∠OAB = 90ʎ， OB = 8． 以 OB 为边， ∠AOB = 30ʎ， 在 △OAB 外作