北京师范大学大兴附属中学数学高二下期末经典习题(含答案)

一、选择题
1．函数f (x )＝3sin(2x －6π
)在区间[0，2
π]上的值域为( ) A ．[32-，3
2
] B ．[3
2
-，3]
C ．[
D ．[3] 2．已知sin cos 1
sin cos 2
αααα-=+，则cos2α的值为（ ）
A ．45-
B ．
35
C ．
35
D ．
45
3．非零向量a b ，满足：a b a -=，()
0a a b ⋅-=，则a b -与b 夹角的大小为 A ．135° B ．120° C ．60°
D ．45°
4．在锐角ABC 中，4sin 3cos 5,4cos 3sin A B A B +=+=C 等于（ ）
A ．150
B ．120
C ．60
D ．30
5．已知a R ∈，则“cos 02πα⎛⎫
+> ⎪⎝⎭
”是“α是第三象限角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．若将函数y =cos2x 的图象向左平移π
12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） A ．x =kπ2−π
6(k ∈Z ) B ．x =kπ2
+π
6(k ∈Z )x C ．x =
kπ2
−
π12
(k ∈Z ) D ．x =
kπ2
+
π12
(k ∈Z )
7．将函数y =2sin （ωx +π6）（ω>0）的图象向右移2π3
个单位后，所得图象关于y 轴对称，则ω的最小值为 A ．2 B ．1 C ．
1
2
D ．
14
8．已知2sin()
3
,且(,0)2απ
∈-，则tan(2)πα-= （ ）
A B ． C D ．2
-
9．已知复数1cos 2()z x f x i =+，)
2cos z x x i =
++，x ∈R .在复平面上，设复
数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，若1290Z OZ ∠=︒，其中O 是坐标原点，则函数()
f x
的最大值为（） A ．14
-
B ．
14
C ．12
-
D ．
12
10．已知向量(3,4),(sin ,cos )a b αα==，且//a b ，则tan α=（ ） A ．
34
B ．34
-
C ．
43
D ．43
-
11．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ=+>>≤
⎛⎫
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，则函数()y f x =的表达式是（ ）
A ．()2sin 12f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭ B ．()2sin 23f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭ C ．()22sin 23
f x x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭
D ．()2sin 23f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
12．扇形OAB 的半径为1，圆心角为120°，P 是弧AB 上的动点，则AP BP ⋅的最小值为（ ） A ．
1
2
B ．0
C ．12
-
D ．2-
13．已知非零向量a ⃑ =(t,0),b ⃑ =(−1,√3)，若a ⃑ ⋅b ⃑ =−4，则a ⃑ +2b ⃑ 与b
⃑ 的夹角（ ） A ．π
3
B ．π
2
C ．π
6
D ．2π
3
14．已知单位向量,OA OB 的夹角为60，若2OC OA OB =+，则ABC ∆为（ ） A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
15．已知A ，B 2的⊙O 上的两个点，OA ·OB ＝1，⊙O 所在平面上有一点C 满足｜OA ＋CB ｜＝1，则｜AC ｜的最大值为（ ） A 2＋1
B ．
62
1 C ．2＋1
D 6 +1
二、填空题
16．若34
π
αβ+=
，则()()1tan 1tan αβ--=_____________．
17．已知24sin 225θ=
，02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则2cos 4πθ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值为_______________.
18．已知()1,3a =-，()1,b t =，若()
2a b a -⊥，则b =_________． 19．实数x ，y 满足2
2
3412x y +=，则23x y +的最大值______． 20．已知向量(12,)a k =，(1,14)b k =-，若a b ⊥，则实数k =__________． 21．已知向量a ，b 满足1a =，且()
2a a b b -==，则向量a 与b 的夹角是__________．
22．已知向量()1,3a =-，()3,b t =，若a b ⊥，则2a b +=__________．
23．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)
0,)2
π
ωφ><（的部分图象如下图所示，则φ＝
________.
24．已知A ，B ，C 是圆O 上的三点(点O 为圆的圆心），若1
()2
AO AB AC =
+，则AB 与AC 的夹角为______.
25．在平行四边形ABCD 中，2 ，AB=2，若BF FC = ，则AF DF ⋅ =_____．
三、解答题
26．已知向量a 、b 的夹角为2
,||1,||23
a b π==.
（1）求a ·b 的值
（2）若2a b -和ta b +垂直，求实数t 的值. 27．已知向量(1,2),(,1)a b x →
→
==
（1）当(2)(2)a b a b +⊥-时,求x 的值；（2）若,a b <>为锐角,求x 的范围. 28．已知向量x 、y 满足：1x =，2y =，且(2)?(2)5x y x y --=． （1）求x 与y 的夹角θ；
（2）若()x my y -⊥，求实数m 的值．
29．已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点为坐标原点，准线方程为1x =-，直线l 与抛物线相交于不同的A 、B 两点． （1）求抛物线的标准方程；
（2）如果直线l 过抛物线的焦点，求OA OB ⋅的值；
（3）如果4OA OB ⋅=-，直线l 是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．
30．已知函数(22(,0)4f x x x R πωω⎛⎫
++∈> ⎪⎝
⎭的最小正周期是2
π
． (1)求ω的值；
(2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合．
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题 1．B 2．A 3．A 4．D 5．B 6．C 7．B 8．A 9．B 10．A 11．D 12．C 13．A 14．C
15．A
二、填空题
16．2【解析】试题分析：即所以答案应填：考点：和差角公式
17．【解析】【分析】由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式求得再由两角差的余弦函数的公式即可求解【详解】由即则又由所以又由【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式以及正弦的倍角公式和两角差的余弦公式的
18．【解析】【分析】利用两个向量垂直的坐标表示列方程解方程求得的值进而求得【详解】由于故解得故【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算考查两个向量垂直的坐标表示考查向量的模属于基础题
19．【解析】分析：根据题意设则有进而分析可得由三角函数的性质分析可得答案详解：根据题意实数xy满足即设则又由则即的最大值5；故答案为：5点睛：本题考查三角函数的化简求值关键是用三角函数表示xy
20．【解析】由题意则
21．【解析】【分析】先根据条件得再根据向量夹角公式求结果【详解】因为且所以因此【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法从图形判断角的大小
22．【解析】【分析】【详解】故答案为
23．【解析】由图可知点睛：解决此类问题的关键是求首先根据函数的图象得到再根据最值点或者平衡点求出所有的进而根据的范围求出答案即可注意在代入已知点时最好代入最值点因为在一个周期内只有一个最大值一个最小值而
24．【解析】在圆中若=(+)即=+即+的和向量是过AO的直径则以ABAC为邻边的四边形是矩形则⊥即与的夹角为90°故答案为：90°
25．【解析】由知点F为BC中点
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【详解】
分析：由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求出26x π-的取值范围，从而求出26sin x π⎛
⎫- ⎪⎝⎭的范围，从而可得()f x 的值域.
详解：
[]0,,20,2x x ππ⎡⎤
∈∴∈⎢⎥⎣⎦
， 52,666x π
ππ⎡⎤∴-
∈-⎢⎥⎣⎦
， 12,162sin x π⎛
⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，
()332,362f x sin x π⎛
⎫⎡⎤∴=-∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，
即()f x 在区间0,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3,32⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，故选B. 点睛：本题考查了求三角函数在闭区间上的值域问题，意在考查解题时应考虑三角函数的单调性与最值，属于简单题.
2．A
解析：A 【解析】 ∵
sin cos 1sin cos 2αααα-=+，∴tan α11
tan α3tan α12
-==+，.
∴cos2α=222222
cos sin 1tan 4
cos sin 1tan 5
αααααα--==-++ 故选A
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
先化简()
0a a b ⋅-=得2
=a a b ⋅，再化简a b a -=得2b a =
，最后求a b -与b 的夹
角. 【详解】
因为()
0a a b ⋅-=，所以22
0=a a b a a b -⋅=∴⋅，，
因为a b a -=，所以2222a a a b b =-⋅+， 整理可得22b a b =⋅， 所以有2b a =
，
设a b -与b 的夹角为θ，
则()2
cos a b b a b b a b b
a b
θ-⋅⋅-=
==-22
2
22
2||a a =-
， 又0180θ︒≤≤︒，所以135θ=︒， 故选A ． 【点睛】
本题主要考查数量积的运算和向量夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
由题：()()2
2
4sin 3cos 25,4cos 3sin 12A B A B +=+=，两式相加即可求出
sin()A B +，进而求出A B +，角C 得解.
【详解】
由题：()()2
2
4sin 3cos 25,4cos 3sin 12A B A B +=+=，
2216sin 24sin cos 9cos 25A A B B ++=，
2216cos 24cos sin 9sin 12A A B B ++=，两式相加得：
()1624sin cos cos sin 937A B A B +++=，
1sin()2A B +=
，所以1
sin sin(())2
C A B π=-+=，且C 为锐角， 所以30C =. 故选：
D 【点睛】
此题考查同角三角函数基本关系与三角恒等变换综合应用，考查对基本公式的掌握和常见问题的处理方法.
5．B
解析：B 【解析】 【分析】 先化简“cos 02πα⎛⎫
+> ⎪⎝⎭
”，再利用充要条件的定义判断. 【详解】 因为cos 02πα⎛⎫
+> ⎪⎝⎭
，所以-sin 0,sin 0,ααα>∴<∴是第三、四象限和y 轴负半轴上的角.
α是第三、四象限和y 轴负半轴上的角不能推出α是第三象限角，
α是第三象限角一定能推出α是第三、四象限和y 轴负半轴上的角，
所以“cos 02πα⎛⎫
+>
⎪⎝⎭
”是“α是第三象限角”的必要非充分条件. 故答案为：B. 【点睛】
(1)本题主要考查充要条件的判断和诱导公式，考查三角函数的值的符号，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 判定充要条件常用的方法有定义法、集合法、转化法.
6．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由题意得，将函数y =cos2x 的图象向左平移π
12个单位长度，得到y =cos2(x +π
12)=cos (2x +π
6)，由2x +π
6=kπ,k ∈Z ，得x =kπ2
−π
12,k ∈Z ，即平移后的
函数的对称轴方程为x =
kπ2
−π
12(k ∈Z )，故选C ．
7．B
解析：B 【解析】
将函数y =2sin （ωx +
π6）（ω>0）的图象向右移2π3
个单位后，可得y =2sin （ωx –2π3ω+π6）的图象，再根据所得图象关于y 轴对称，∴–2π3ω+π6=kπ+π
2
，k ∈Z ，即ω=–31
–22
k ，∴当k =–1时，ω取得最小值为1，故选B ． 8．A
解析：A 【解析】 【分析】
由三角函数的诱导公式，求得2
sin
3
，再由三角函数的基本关系式，求得5cos α
3
， 最后利用三角函数的基本关系式，即可求解tan(2)πα-的值，得到答案. 【详解】
由三角函数的诱导公式，可得2sin()sin 3
παα-==-，
因为(,0)2απ∈-
，所以cos 3
α==，
又由sin tan(2)tan cos 5
απααα-=-=-=
，故选A. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的化简、求值问题，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解. 【详解】
据条件，()1cos ,2()Z x f x ，)
2cos ,1Z x x +，且12OZ OZ ⊥，
所以，)
cos cos 2()0x x x f x ⋅
++=，化简得，11()sin 2264
f x x π⎛
⎫=-+- ⎪⎝⎭，
当sin 216x π⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭时，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭取得最大值为14. 【点睛】
本题考查向量的数量积运算和三角函数的最值，属于基础题.
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
直接利用向量平行的充要条件列方程求解即可. 【详解】
由//a b 可得到sin 3
4sin 3cos 0tan cos 4
ααααα-=⇒==. 故选A 【点睛】
利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用
12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.
11．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据函数的最值求得A ，根据函数的周期求得ω，根据函数图像上一点的坐标求得ϕ，由此求得函数的解析式. 【详解】
由题图可知2A =，且11522122T πππ
=-=即T π=，所以222T ππωπ
===， 将点5,212π⎛⎫
⎪⎝⎭
的坐标代入函数()()2sin 2x x f ϕ=+， 得
()5262k k ππϕπ+=+∈Z ，即()23
k k π
ϕπ=-∈Z ， 因为2
π
ϕ≤
，所以3
π
ϕ=-
，
所以函数()f x 的表达式为()2sin 23f x x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
．故选D. 【点睛】
本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数的解析式，属于基础题.
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
首先以OA 与OB 作为一组向量基底来表示AP 和BP ，然后可得
()
1
2
AP BP OP OA OB ⋅=
-⋅+，讨论OP 与OA OB +共线同向时，()
OP OA OB ⋅+有最大值为1，进一步可得AP BP ⋅有最小值1
2
-.
【详解】 由题意得AP OP OA =-, BP OP OB =-， 所以()()()
()
2
AP BP OP OA OP OB OP
OA OB OP OA OB ⋅=-⋅-=+⋅-⋅+
()()
11
122
OP OA OB OP OA OB =--⋅+=-⋅+
因为圆心角为120°，所以由平行四边形法则易得1OA OB +=，所以当OP 与OA OB +共线同向时，()
OP OA OB ⋅+有最大值为1，此时()
1
2
AP BP OP OA OB ⋅=-⋅+有最小值12
-
. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积，选择合适的基底表示相关的向量是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
13．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据条件容易求出t=4，从而得出a ⃑ =(4,0)，从而得出a ⃑ +2b ⃑ =(2,2√3)可设a ⃑ +2b
⃑ 与b ⃑ 的夹角为θ，这样根据cosθ=(a ⃑ +2b ⃑ )·b ⃑ |a
⃑ +2b ⃑ ||b ⃑ | 即可求出cosθ，进而得出θ的值．
【详解】
因a ⃑ ⋅b
⃑ =−4=−t ∴t=4；
∴a ⃑ =(4,0)，b ⃑ =(−1,√3)，a ⃑ +2b
⃑ =(2,2√3) 设a ⃑ +2b ⃑ 与b ⃑ 的夹角为θ，则：cosθ=(a ⃑ +2b
⃑ )·b ⃑ |a ⃑ +2b ⃑ ||b ⃑ |=-2+6
4×2=1
2
， ∴θ=π
3 故答案为A ． 【点睛】
本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、余弦定理的应用，属于中档题.平面向量数
量积公式有两种形式，一是a ⃑ ⋅b ⃑ =|a ⃑ ||b ⃑ |cosθ，二是a ⃑ ⋅b ⃑ =x 1x 2+y 1y 2，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cosθ=a
⃑ ·b ⃑ |a ⃑ |·|b ⃑ | （此时a
⃑ ·b ⃑ 往往用坐标形式求解）；（2）求
投影，a ⃑ 在b ⃑ 上的投影是a
⃑ ⋅b ⃑ |b ⃑ |
；（3）a ⃑ ,b ⃑ 向量垂直则a ⃑ ⋅b ⃑ =0;(4)求向量ma ⃑ +nb ⃑ 的模（平方后需求a ⃑ ⋅b ⃑ ）. 14．C
解析：C 【解析】
2,2,OC OA OB BC OC OB OA AC OC OA OA OB =+∴=-==-=+，
22222,23BC OA AC OA OB OA OB ∴===++⋅=，3,AC OA ∴=与OB 夹角为60，且1,1OA OB AB ==∴=，2
2
2
,AB AC BC ABC +=∴∆为直角三角形，故选
C.
15．A
解析：A 【解析】 【分析】
先由题意得到2==
OA OB ，根据向量的数量积求出3
AOB π
∠=
，以O 为原点建立平
面直角坐标系，设A （2cos θ，2sin θ）得到点B 坐标，再设C （x ，y ），根据点B 的坐标，根据题中条件，即可求出结果. 【详解】
依题意，得：2==
OA OB ，
因为cos OA OB OA OB AOB ⋅=⋅∠， 所以，22cos AOB ⨯∠＝1，得：3
AOB π
∠=
，
以O 为原点建立如下图所示的平面直角坐标系，
设A 2cos θ2sin θ），则B 2cos 3πθ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭2sin 3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭） 或B 2cos 3πθ⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭
2sin 3πθ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
） 设C （x ，y ），
当B （2cos 3πθ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
，2sin 3πθ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
）时， 则OA CB +＝（2cos θ＋2cos 3πθ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
－x ，2sin θ＋2sin 3πθ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
－y ） 由｜OA ＋CB ｜＝1，
得：2
2
2cos 2cos 2sin 2sin 33x y ππθθθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-+++-++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦＝1，
即点C 在1为半径的圆上，
A （2cos θ，2sin θ）到圆心(2cos 2cos 2sin 2sin )33ππθθθθ⎛
⎫
⎛
⎫++
++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，的距离为：2
2 2cos (2sin )33d ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭＝2
｜AC ｜的最大值为2＋1 当B （2cos 3πθ⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭
，2sin 3πθ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
）时，结论一样． 故选A
【点睛】
本题主要考查向量模的计算，熟记向量的几何意义，以及向量模的计算公式，即可求解，属于常考题型.
二、填空题
16．2【解析】试题分析：即所以答案应填：考点：和差角公式 解析：2 【解析】
试题分析：34
π
αβ+=
，tan()1αβ∴+=-，tan tan 11tan tan αβαβ+∴
=--，即tan tan (1tan tan )αβαβ+=--，
()()1tan 1tan 1(tan tan )tan tan αβαβαβ∴--=-++
1(1tan tan )tan tan 2αβαβ=+-+=.所以答案应填：2．
考点：和差角公式．
17．【解析】【分析】由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式求得再由两角差的余弦函数的公式即可求解【详解】由即则又由所以又由【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式以及正弦的倍角公式和两角差的余弦公式的 解析：75
【解析】 【分析】
由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，求得2
49
(cos sin )25
θθ+=，再由两角差的余弦函数的公式，即可求解． 【详解】 由24sin 225θ=
，即242sin cos 25
θθ=， 则2
2
2
2449
(cos sin )cos 2sin cos sin 12525
θθθθθθ+=++=+=， 又由02
π
θ<<，所以cos 0,sin 0θθ>>，
7cos()cos sin 4
5
π
θθθ-=+=
． 【点睛】
本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及正弦的倍角公式和两角差的余弦公式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
18．【解析】【分析】利用两个向量垂直的坐标表示列方程解方程求得的值进而求得【详解】由于故解得故【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算考查两个向量垂直的坐标表示考查向量的模属于基础题
【解析】 【分析】
利用两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得t 的值，进而求得b . 【详解】
()23,32a b t -=--，由于()2a b a -⊥，故()23960a b a t -⋅=+-=，解得2t =，
故()221,212b b ==+=， 【点睛】
本小题主要考查向量减法的坐标运算，考查两个向量垂直的坐标表示，考查向量的模，属于基础题.
19．【解析】分析：根据题意设则有进而分析可得由三角函数的性质分析可得
答案详解：根据题意实数xy 满足即设则又由则即的最大值5；故答案为：5点睛：本题考查三角函数的化简求值关键是用三角函数表示xy
解析：【解析】
分析：根据题意，设2cos x θ=，y θ=，则有24cos 3sin x θθ+=+，进而分
析可得()25sin x θα+=+，由三角函数的性质分析可得答案．
详解：根据题意，实数x ，y 满足2
2
3412x y +=，即22
143
x y +=，
设2cos x θ=，y θ=，
则()24cos 3sin 5sin x θθθα=+=+，3tan 4α⎛⎫= ⎪⎝
⎭， 又由()15sin 1θα-≤+≤，
则525x -≤≤，
即2x +的最大值5； 故答案为：5．
点睛：本题考查三角函数的化简求值，关键是用三角函数表示x 、y ．
20．【解析】由题意则 解析：6-
【解析】
由题意，()121140k k -+=，则6k
=-．
21．【解析】【分析】先根据条件得再根据向量夹角公式求结果【详解】因为且所以因此【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法从图形判断角的大小 解析：120︒
【解析】 【分析】
先根据条件得a b ⋅，再根据向量夹角公式求结果. 【详解】
因为1a =，且()
2a a b ⋅-=，所以2
-2,121,a a b a b ⋅=∴⋅=-=- 因此112π
cos ,,1223
a b a b a b a b
⋅-==
=-∴=⨯⋅. 【点睛】
求平面向量夹角方法：一是夹角公式cos a b a b
θ⋅=
⋅；二是坐标公式
cos θ=
；三是几何方法，从图形判断角的大小.
22．【解析】【分析】【详解】故答案为
解析：【解析】 【分析】 【详解】
()330,1,21,7252a b a b t t a b a b ⊥⇒⋅=-+==+=+=，
，故答案为
23．【解析】由图可知点睛：解决此类问题的关键是求首先根据函数的图象得到再根据最值点或者平衡点求出所有的进而根据的范围求出答案即可注意在代入已知点时最好代入最值点因为在一个周期内只有一个最大值一个最小值而
解析：6
π-
【解析】
由图可知1A =，74123T πππ⎛⎫
=-=
⎪⎝⎭
()()
22sin 213f x x f π
πωϕπ
⎛⎫∴=
=∴=+= ⎪⎝⎭
2223
26
k k Z k k Z π
π
π
ϕπϕπ∴⨯
+=+
∈∴=-∈，， 2
π
ϕ<
，6
π
ϕ∴=-
点睛：解决此类问题的关键是求∅，首先根据函数的图象得到A ，ω，再根据最值点或者平衡点求出所有的∅，进而根据∅的范围求出答案即可．注意在代入已知点时最好代入最值点，因为在一个周期内只有一个最大值，一个最小值，而平衡点却有两个，假如代入的是平衡点则需要根据函数的单调性来判定∅的取值．
24．【解析】在圆中若=(+)即=+即+的和向量是过AO 的直径则以ABAC 为邻边的四边形是矩形则⊥即与的夹角为90°故答案为：90° 解析：90︒
【解析】 在圆中若AO =
1
2
(AB +AC )， 即2AO =AB +AC ，
即AB +AC 的和向量是过A ，O 的直径， 则以AB ，AC 为邻边的四边形是矩形， 则AC ⊥AB ，
即AB 与AC 的夹角为90°， 故答案为：90°
25．【解析】由知点F 为BC 中点 解析：
72
【解析】
由BF FC =知点F 为BC 中点
()()AF DF AB BF
DC CF AB DC AB CF BF DC BF CF ⋅=++=⋅+⋅+⋅+⋅
17422
AB DC AB FC BF DC BF FC =⋅-⋅+⋅-⋅=-
=
三、解答题 26．
（1）1-；（2）2. 【解析】 【分析】
（1）利用数量积的定义直接计算即可． （2）利用()()20t b a b a +=-可求实数t 的值．
【详解】
（1）21cos
12132a b a b π⎛⎫
⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
． （2）因为2a b -和ta b +垂直，故()()20t b a b
a +=-，
整理得到：()2
2
220ta t a b b +--=即()12212402t t ⎛⎫
+-⨯⨯⨯--= ⎪⎝⎭
， 解得2t =． 【点睛】
本题考查数量积的计算以及向量的垂直，注意两个非零向量,a b 垂直的等价条件是
0a b ⋅=，本题属于基础题． 27．
（1）x 72=
或x ＝﹣2；（2）x ＞﹣2且x 1
2
≠． 【解析】 【分析】
（1）利用向量的数量积为零列出方程求解即可．（2）根据题意得a •b ＞0且a ，b 不同向，
列出不等式，即可求出结果．
【详解】
（1）a +2b =（1+2x ，4），2a b -=（2﹣x ，3），（a +2b ）⊥（2a b -）， 可得（2x +1）（2﹣x ）+3×4＝0． 即﹣2x 2+3x +14＝0． 解得：x 7
2
=
或x ＝﹣2． （2）若a ＜，b ＞为锐角，则a •b ＞0且a ，b 不同向．
a •
b =x +2＞0，∴x ＞﹣2，当x 1
2
=
时，a ，b 同向． ∴x ＞﹣2且x 12
≠． 【点睛】
本题主要考查向量垂直的坐标表示，考查向量夹角为锐角的充要条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
28．
(1) 3
π
θ=
(2) 14
m =
【解析】 【分析】
（1）由(2)(2)5x y x y -⋅-=展开，可解出1x y ⋅=，根据向量夹角公式
1
cos 2
x y
x y
θ=
=
⋅，即可求出夹角θ的大小； （2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程即可求出m 的值． 【详解】 （1）∵(2)
(2)5x y x y --=
∴2
2
25251x x y y x y -⋅+=⇒⋅= ∵1cos 2x y x y
θ⋅=
=
⋅
∴3
π
θ=
．
（2）∵()x m y y -⊥
∴()0x m y y -⋅=，即2
0x y m y ⋅-= ∴11404
m m -=⇒=． 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的运算律，向量的夹角公式，向量垂直与数量积的关系的应用，属于基础题．
29．
（1）24y x =;（2）∴12123OA OB x x y y ⋅=+=-;（3）(2,0)． 【解析】
【试题分析】（1）借助题设与已知条件待定抛物线的参数即可；（2）依据题设条件，建立直线方程与抛物线方程联立方程组，运用向量的坐标形式求解：（3）先假设存在，再运用所学知识分析探求．
（1）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为1x =-， 所以
12
p
=，2p =． ∴抛物线的标准方程为2
4y x =．
（2）设l ：1my x =-，与24y x =联立，得2
440y my --=，
设()11,A x y ，()22,B x y ，∴124y y m +=，124y y =-， ∴()
()2
12121212113OA OB x x y y m y y m y y ⋅=+=++++=-．
（3）解：假设直线l 过定点，设l ：my x n =+与2
4y x =联立，得2
440y my n -+=，
设()11,A x y ，()22,B x y ，∴124y y m +=，124y y n =．
由()
()2
2
2
1212414OA OB m y y mn y y n n n ⋅=-=+-++=+，解得2n =-，
∴l ：2my x =-过定点()2,0．
点睛：本题的设置旨在考查抛物线的标准方程与直线与抛物线的位置关系等基础知识与基本方法的综合运用．求解第一问时，直接借助题设条件求出参数p 的值使得问题获解；解答第二问时，将直线方程与抛物线方程联立，借助向量的坐标形式的数量积公式求解，使得问题获解；第三问的求解则借助坐标之间的关系建立方程推得直线过定点，使得问题获解．
30．
(1) 2ω= (2) 函数f (x )的最大值是2＋
，此时x 的集合为{x |x ＝
16
π +2k π，
k ∈Z}．
【解析】
试题分析析：本题是函数sin()y A x ωϕ=+性质问题，可借助正弦函数的图象与性质去研究，根据周期公式可以求出ω，当函数的解析式确定后，可以令2y t =
，
24
t x π
ω=+
，根据正弦函数的最大值何时取得，可以计算出24
x π
ω+
为何值时，函数值
()f x 取得的最大值，进而求出x 的值的集合.
试题解析：
(1)∵f (x )＝2sin （24
x π
ω+ ＋2(x ∈R，ω＞0)的最小正周期是
2π，∴
222
ππ
ω=，所以ω＝2. (2)由(1)知，f (x )＝
sin 44x π⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
＋2. 当4x ＋
4π＝2π＋2k π(k ∈Z)，即x ＝16π＋2k π(k ∈Z)时，sin 44x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭取得最大值1，
所以函数f (x )的最大值是22x 的集合为{x |x ＝16π＋2
k π，(k ∈Z)}． 【点睛】函数sin()y A x ωϕ=+的最小正周期为2T π
ω
=
，根据公式求出ω，页有关函数
sin()y A x ωϕ=+的性质可按照复合函数的思想去求，可以看成sin y A t =与.复合而成的
复合函数，譬如本题求函数的最大值，可以令424
2
x k π
π
π+=+
，求出x 值，同时求出函
数的最大值2.。