高中数学第一章计数原理1.1两个基本计数原理学案苏教版选修

高中数学第一章计数原理1.1两个基本计数原
理学案苏教版选修
1、1 两个基本计数原理
1、掌握分类计数原理与分步计数原理、(重点)
2、会用两个基本计数原理解决一些简单的应用问题、(难点)[基础初探]教材整理1 分类计数原理阅读教材P5～P6“例1”以上部分，完成下列问题、如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法、判断(正确的打“√”，错误的打“”)(1)在分类计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同、(
)(2)在分类计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事、(
)(3)从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船有4班、若李先生从甲地去乙地，则不同的交通方式共有7种、(
)(4)某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务，安排方法共有14种、( )
【解析】
(1) 在分类计数原理中，分类标准是统一的，两类不同方案中的方法是不能相同的、(2)√在分类计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分类的，故每类方案中的每种方法都能完成这些事、(3)√由分类计数原理，从甲地去乙地共3＋4＝7(种)不同的交通方式、(4)√根据分类计数原理，担任星期一早晨升旗任务可以是高一年级，也可以是高二年级，因此安排方法共有8＋6＝14(种)、【答案】(1) (2)√(3)√
(4)√教材整理2 分步计数原理阅读教材P5～P6“例1”以上部分，完成下列问题、如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n 步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1m2…mn种不同的方法、判断(正确的打“√”，错误的打“”)(1)在分步计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的、( )(2)在分步计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事、(
)(3)已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，则xy可表示不同的值的个数为9个、(
)(4)在一次运动会上有四项比赛，冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有43种、(
)
【解析】
(1)√因为在分步计数原理中的每一步都有多种方法，而每种方法各不相同、(2) 因为在分步计数原理中，要完成某件事需分几个步骤，而每步都不能完成这件事，只有各步都完成了，这件事才算完成、(3)√因为x从集合{2,3,7}中任取一个值共有3个不同的值，y从集合{－3，－4,8}中任取一个值共有3个不同的值，故xy可表示33＝9个不同的值、(4) 因为每个项目中的冠军都有3种可能的情况，根据分步计数原理共有34种不同的夺冠情况、【答案】(1)√(2) (3)√(4)[质疑手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]分类计数原理(1)从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、
二、
三、四班分别为4人，5人，6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？(2)在所有的两位数中，个位数字大于位数字的两位数共有多少个？
【精彩点拨】
(1)按所选组长来自不同年级为分类标准、(2)按个位(或位)取0～9不同的数字进行分类、
【自主解答】
(1)分四类：从一班中选一人，有4种选法；从二班中选一人，有5种选法；从三班中选一人，有6种选法；从四班中选一
人，有7种选法、共有不同选法N＝4＋5＋6＋7＝22种、(2)法一按位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个、由分类计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)、法二按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝
36(个)、1、应用分类计数原理解题的策略(1)标准明确：明确分类标准，依次确定完成这件事的各类方法、(2)不重不漏：完成这件事的各类方法必须满足不能重复，又不能遗漏、(3)方法独立：确定的每一类方法必须能独立地完成这件事、2、利用分类计数原理解题的一般思路[再练一题]
1、(1)某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有________种、(2)有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个、若从三个袋子中任取1个小球，有________种不同的取法、
【解析】
(1)分两类：买1本或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，故购买方式共有2＋1＝3种、(2)有3类不同方案：第1类，从第1个袋子中任取1个红色小球，有6种不同的取法；第2类，从第2个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法；第3
类，从第3个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法、其中，从这三个袋子的任意一个袋子中取1个小球都能独立地完成“任取1个小球”这件事，根据分类计数原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15种、【答案】(1)3 (2)15分步计数原理一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共个数字，这4
个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)?
【精彩点拨】
根据题意，必须依次在每个拨号盘上拨号，全部拨号完毕后，才拨出一个四位数号码，所以应用分步计数原理、【自主解答】
按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10；第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10；第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10；第四步，有10种拨号方式，所以m4＝
10、根据分步计数原理，共可以组成N＝10101010＝10 000
个四位数的号码、1、应用分步计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可、2、利用分步计数原理解题的一般思路(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；(2)计数：求出每一步中的方法数；
(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果、[再练一题]
2、张涛大学毕业参加工作后，把每月工资中结余的钱分为两部分，其中一部分用来定期储蓄，另一部分用来购买国债、人民
币储蓄可以从一年期、二年期两种中选择一种，购买国债则可以从一年期、二年期和三年期中选择一种、问：张涛共有多少种不同的理财方式？
【解】
由题意知，张涛要完成理财目标应分步完成、第1步，将一部分钱用来定期储蓄，从一年期和二年期中任意选择一种理财方式；第2步，用另一部分钱购买国债，从一年期、二年期和三年期三种国债中任意选择一种理财方式、由分步计数原理，得23＝6种、[探究共研型]两个计数原理的辨析探究1 某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，试问要“完成的这件事”指的是什么？若配成“一荤一素”是否“完成了这件事”？
【提示】
“完成这件事”是指从6种荤菜中选出一种，再从5种素菜中选出一种，最后从3种汤中选出一种，这时这件事才算完成、而只选出“一荤一素”不能算“完成这件事”、探究2 在探究1中，要“完成配成套餐”这件事需分类，还是分步？为什么？
【提示】
要配成一荤一素一汤的套餐，需分步完成、只配荤菜、素菜、汤中的一种或两种都不能达到“一荤一素一汤”的要求，即都不能完成“配套餐”这件事、探究3 在探究1中若要配成“一素一汤套餐”试问可配成多少种不同的套餐？你能分别用分类计
数原理和分步计数原理求解吗？你能说明分类计数原理与分步计数原理的主要区别吗？
【提示】
5种素菜分别记为A，B，C，D，E、3种汤分别记为a，b，c、利用分类计数原理求解：以选用5种不同的素菜分类：选素菜A时，汤有3种选法；选素菜B时，汤有3种选法；选素菜C时，汤有3种选法；选素菜D时，汤有3种选法；选素菜E时，汤有3种选法、故由加法计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有3＋3＋3＋3＋3＝15(种)不同的套餐、利用分步计数原理求解：第一步：从5种素菜中，任选一种共5种不同的选法；第二步：从3种汤中，任选一种共3种不同的选法、由分步计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有53＝15(种)不同套餐、两个计数原理的主要区别在于分类计数原理是将一件事分类完成，每类中的每种方法都能完成这件事，而分步计数原理是将一件事分步完成，每步中的每种方法都不能完成这件事、有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑、从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有多少种？
【精彩点拨】
从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，首先将问题分类，可分为4类，然后每一类再分步完成、即解答本题可“先分类，后分步”、
【自主解答】
第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作电脑，有22＝4种方法；第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人操作电脑，有2种方法；第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人操作电脑只有1种方法；第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法、根据分类计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8种选派方法、1、能用分步计数原理解决的问题具有如下特点：(1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；(2)完成每一步有若干种方法；(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数、2、利用分步计数原理应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的、(2)“步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的，但也不能重复、交叉、(3)若完成某件事情需n 步，则必须依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成、[再练一题]
3、一个袋子里有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里有12张不同的中国联通手机卡、(1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？(2)某人手机是
双卡双待机，想得到一张移动和一张联通卡供自己使用，问一共有多少种不同的取法？
【解】
(1)第一类：从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；第二类：从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法、根据分类计数原理，共有10＋12＝22种取法、(2)第一步，从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；第二步，从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法、根据分步计数原理，共有1012＝120种取法、[构建体系]
1、一项工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法有________种、
【解析】
由分类计数原理知，有3＋5＝8种不同的选法、【答案】
82、有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有
________种、
【导学号：】
【解析】
分四步完成：第一步：第1位教师有3种选法；第二步：由第一步教师监考班的数学老师有3种选法；第二步：第3位教师
有1种选法；第四步：第4位教师有1种选法、共有3311＝9种监考的方法、【答案】
93、3名学生报名参加艺术体操、美术、计算机、游泳课外兴趣小组，每人选报一种，则不同的报名种数有______种、【解析】
第1名学生有4种选报方法；第2,3名学生也各有4种选报方法，因此，根据分步计数原理，不同的报名种数有444＝
64、【答案】 6
44、某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成、如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种、(用数字作答)
【解析】
分两类，第一棒是丙有124321＝48(种)；第一棒是甲、乙中一人有214321＝48(种)、根据分类计数原理得，共有方案48＋48＝96(种)、【答案】9
65、某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息、(1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？
【解】
(1)小明爸爸选凳子可以分两类：第一类：选东面的空闲凳
子，有8种坐法；第二类：选西面的空闲凳子，有6种坐法、根
据分类计数原理，小明爸爸共有8＋6＝14(种)坐法、(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：第一步，小明先就坐，从东西面
共8＋6＝14(个)凳子中选一个坐下，共有14种坐法；(小明坐下后，空闲凳子数变成13)第二步，小明爸爸再就坐，从东西面共
13个空闲凳子中选一个坐下，共13种坐法、由分步计数原理，小明与爸爸分别就坐共有1413＝182(种)坐法、我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) 学业分层测评(建议用时：
45分钟)[学业达标]
一、填空题
1、高一年级三好学生中有男生6人，女生4人，从中选一人
去领奖，共有________种不同的选法；从中选一名男生，一名女
生去领奖，则共有________种不同的选法、
【解析】
从中选一人去领奖有6＋4＝10(种)方法、从中选一名男生一
名女生去领奖有64＝24(种)选法、【答案】10 2
42、一名志愿者从沈阳赶赴南京为游客提供导游服务，但需
在北京停留、已知从沈阳到北京每天有7个航班，从北京到南京
每天有6列火车，该志愿者从沈阳到南京共有________种不同的
方法、
【导学号：】
【解析】
根据分步计数原理，此人可选择的行车方式共有67＝
42(种)、【答案】 4
23、(xx徐州高二检测)某乒乓球队里有男队员6人，女队员5人，从中选取男、女队员各一人组成混合双打队，不同的组队方法有________种、
【解析】
先选1男有6种方法，再选1女有5种方法，故共有65＝30种不同的组队方法、【答案】304、由1,2,3,4可以组
________个自然数、(数字可以重复，最多只能是四位数字) 【解析】
组成的自然数可以分为以下四类：第一类：一位自然数，共有4个、第二类：两位自然数，又可分两步来完成、先取出位上的数字，再取出个位上的数字，共有44＝16(个)、第三类：三位自然数，又可分三步来完成、每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有444＝64(个)、第四类：四位自然数，又可分四步来完成，每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有4444＝256(个)、由分类计数原理知，可以组成的不同的自然数为4＋16＋64＋256＝340(个)、【答案】3405、商店里有适合女学生身材的女上衣3种，裙子3种，裤子2种、若一位女生要买一套服装，则共有________种不同选法、
【解析】
3(3＋2)＝15(种)、【答案】 1
56、(xx无锡高二检测)设集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，可建立A→B的映射的个数为________、
【解析】
建立映射，即对于A中的每一个元素，在B中都有一个元素与之对应，故由分步计数原理得映射有222＝8(个)、【答案】
87、用4种不同的颜色涂入如图111所示的矩形A，B，C，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法共有______种、ABCD图111
【解析】
按A，B，C，D顺序涂色，共有4323＝72种方法、【答案】7
28、甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面、不同的安排方法共有________种、【解析】
分三类：若甲在周一，则乙丙有43＝12种排法；若甲在周二，则乙丙有32＝6种排法；若甲在周三，则乙丙有21＝2种排法、所以不同的安排方法共有12＋6＋2＝20种、【答案】20
二、解答题
9、已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，问：(1)P可表示平面上多少个不同的点？(2)P
可表示平面上多少个第二象限的点？(3)P可表示多少个不在直线y＝x上的点？
【解】
(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步确定a的值，共有6种确定方法；第二步确定b的值，也有6种确定方法、根据分步计数原理，得知P可表示平面上的点数是66＝
36(个)、(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a＜0，所以有3种确定方法；第二步确定b，由于b＞0，所以有2种确定方法、由分步计数原理，得到第二象限的点的个数是32＝6(个)、(3)点P(a，b)在直线y＝x上的充要条件是a＝b、因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y＝x上的点有6个、结合(1)得，不在直线y＝x上的点共有36－6＝30(个)、
10、由0,1,2,3这四个数字，可组成多少个？(1)无重复数字的三位数？(2)可以有重复数字的三位数？
【解】
(1)0不能做百位数字，所以百位数字有3种选择，位数字有3种选择，个位数字有2种选择，所以无重复数字的三位数共有332＝18(个)、(2)百位数字有3种选择，位数字有4种选择，个位数字也有4种选择、由分步计数原理知，可以有重复数字的三位数共有344＝48(个)、[能力提升]
1、将1,2,3填入33的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，如图112是一种填法，则不同的填写方法共有
___________________________________种、123312231图112 【解析】
假设第一行为1,2,3，则第二行第一列可为2或3，此时其他剩余的空格都只有一种填法，又第一行有321＝6(种)填法、故不同的填写方法共有62＝12(种)、【答案】 1
22、从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60的共有________对、
【导学号：】
【解析】
与正方体的一个面上的一条对角线成60角的对角线有8条，故共有8对，正方体的12条面对角线共有96对，且每对均重复计算一次，故共有＝48对、【答案】 4
83、将三种作物种在如图113所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有________种、图113
【解析】
分别用a，b，c代有3种作物，先安排第一块试验田有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块试验田有b或c两种方法，不防设放入b，第三块试验田也有a或c两种方法、(1)若第三块田放c：，则第四、五块田分别有2种方法，共22种方法、(2)若第
三块田放a：，第四块田放b或c有2种方法、①若第四块田放c：，第五块田仍有2种方法、②若第四块田放b：，第五块田只能放c，有1种方法、综上，共有32(22＋3)＝42(种)方法、【答案】 4
24、(1)从5种颜色中选出三种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每个顶点上染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异
色，求不同的染色方法总数、(2)从5种颜色中选出四种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每个顶点上染一种颜色，并使同一
条棱上的两端点异色，求不同的染色方法总数、
【解】
(1)如图，由题意知，四棱锥SABCD的顶点S，A，B所染色互不相同，则A，C必须颜色相同，B，D必须颜色相同，所以，共有54311＝60(种)、(2)法一由题意知，四棱锥SABCD的顶点S，A，B所染色互不相同，则A，C可以颜色相同，B，D可以颜色相同，并且两组中必有一组颜色相同、所以，先从两组中选出一组
涂同一颜色，有2种选法(如：B，D颜色相同)；再从5种颜色中，选出四种颜色涂在S，A，B，C四个顶点上，有5432＝120(种)涂法、根据分步计数原理，共有2120＝240(种)不同的涂法、法二分两类、第一类，C与A颜色相同、由题意知，四棱锥SABCD的顶点S，A，B所染色互不相同，它们共有543＝60(种)染色方法、共有54312＝120(种)方法；第二类，C与A颜色不同、由题意知，
四棱锥SABCD的顶点S，A，B所染色互不相同，它们共有543＝
60(种)染色方法、共有54321＝120(种)方法、由分类计数原理，共有120＋120＝240(种)不同的方法、。