二元一次方程组典型错解例析

二元一次方程组典型错解例析
“化多为少，由繁至简，各个击破，逐一解决”的“消元”思想是解方程组的“法宝”，代入法和加减法则是落实“消元”思想的具体措施，但在具体运用这两种方法对二元一次方程组进行求解时，不少同学都“犯了不该犯的错”：
错解一：错代入
例1：解方程组：
⎩⎨⎧=+=+②
40y 2x ① 22y x 错误解答： 由①得 x =22－y ③
把③代入①得 (22－y ) +y =22 ④
整理④得 0=0 ⑤
⑤是个恒等式，所以这个方程组有无数组任意解。

错解分析：利用代入消元法解二元一次方程组时，把其中一个系数较简单的方程变形为用其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后应该代入到这个方程组中的“另一个”方程，而不能代入到变形前的那个方程。

本题中③是由①变形得，因此应把③代入②，而不是把③代入①。

正确解答： 由①得 x =22－y ③
把③代入②得 2×(22－y )+y =40 ④
解④得 y =4
把y =4代入①得 x +4=22 ⑤
解⑤得 x =18
所以这个方程组的解是 ⎩
⎨⎧==418y x 警示一：利用代入消元法解二元一次方程组时，把其中一个系数较简单的方程变形为用其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后应该代入到这个方程组中的“另一个”方程，而不能代入到变形前的那个方程。

错解二：不完整
例2：解方程组：
⎩⎨⎧==②
48y -3x ① y -x 13
错误解答： 由①得 x = 3+y ③
把③代入②得 3×(3+y )－8y =14 ④
解④得 y =－1
所以这个方程组的解是 y =－1 。

错解分析：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

而此例只是求出一个未知数y 的值，没有求出另一个未知数x 的值，所以此题应继续求出另一个未知数x 的值。

正确解答： 由①得 x =y +3 ③
把③代入②得 3×(y +3)－8y =14 ④
解④得 y =－1
把y =－1代入①得 x －(－1)=3 ⑤
解⑤得 x =2
所以这个方程组的解是 ⎩⎨⎧==-1
y 2x 警示二：求方程组的解时必须求出两个未知数的值，而不应该只是求出一个未知数的值。

错解三：未变号
例3：解方程组：⎩⎨⎧==② 42y -5x ①
4y -5x 18
错误解答：①－②得 5x －4y －5x －2y =8－14 ③
解③得 y =1
把y =1代入①得 5x －4=8 ④
解④得 x =2.4
所以这个方程组的解是 ⎩⎨⎧==1
y 2.4x 错解分析：用减法消元时，忘记作为减式的每一项都要改变符号。

为防止出现类似错误，可以先用括号把每个方程左右两边的多项式分别括起来，然后再根据去括号法则去掉括号。

正确解答：①－②得 （5x －4y ）－（5x －2y ）=8－14 ③
整理③得 5x －4y －5x +2y =8－14 ④
解④得 y =3
把y =3代入①得 5x －4×3=8 ⑤
解⑤得 x =4
所以这个方程组的解是 ⎩⎨⎧==3
y 4x 警示三：用减法消元时，作为减式的每一项都要改变符号。

错解四： 漏乘
例4：解方程组：⎩⎨⎧=+=+② 3y 4x ①
y 2x 64
错误解答（一）：①×2得 4x +y =8 ③
③－②得 －2y =2
所以 y =－1
把y =－1代入①得 2x +（－1）=4 ④
解④得 x =2.5
所以这个方程组的解是 ⎩⎨⎧-==1
y 2.5x 错误解答（二）：①×2得 4x +2y =4 ③
③－②得 －y =－2
所以 y =1
把y =1代入①得 2x +1=4 ④
解④得 x =1.5
所以这个方程组的解是 ⎩
⎨⎧==1y 1.5x 错解分析：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数，那么就应根据等式的基本性质用适当的数同时乘方程的两边，使同一个未知数的系数相等或互为相反数，但在这个过程中漏乘：错误解答（一）漏乘了方程左边y 这项，而错误解答（二）漏乘了方程右边4这项。

为了防止此类错误发生，一是要记住根据等式的基本性质用适当的数同时乘方程的两边，而不只是乘一边，二是可以先用括号把每个方程左右两边的多项式分别括起来，然后再根据单项式与多项式相乘和去括号法则去掉括号。

正确解答：①×2得 （2x +y ）×2=4×2 ③
整理③得 4x +2y =8 ④
④－②得 －y =2
所以 y =－2
把y =－1代入①得 2x +（－2）=4 ⑤
解⑤得 x =3
所以这个方程组的解是 ⎩
⎨⎧-==2y 3x 警示四：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数，那么就应根据等式的基本性质用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数相等或互为相反数，但在这个过程中应注意不要漏乘。

其实，以上四种错误均可通过“检验”来自我发现。

例如：把例题1的错误解答中的任意
一组如⎩
⎨⎧==1y 1x 代入①即可发现①的左边和右边不相等，因此⎩⎨⎧==1y 1x 不是方程①的解也就肯定不是原方程组的解。

把例题3的错误解⎩
⎨⎧==1y 2.4x 代入①时，左边和右边相等，它是①的解，但是把⎩⎨⎧==1y 2.4x 代入②时，左边和右边不相等，它不是②的解，因此⎩⎨⎧==1y 2.4x 不是原方程组的解。

所以，解方程组时要注意检验所得的解是否是原方程组的解，这只要把所得的解分别代入原方程组的两个方程，看看原方程组的两个方程是否左右两边分别相等，如果原方程组的两个方程左右两边分别相等，则这组解是原方程组的解，否则这组解不是原方程组的解。