2025年广东省东莞市中考数学一轮复习：一次函数(附答案解析)

2025年广东省东莞市中考数学一轮复习：一次函数
一．选择题（共10小题）
1．在一次函数y=12ax﹣a中，y随x的增大而减小，则其图象可能是（）
A．B．
C．D．
2．如图，直线y=23x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB 的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为（）
A．（﹣3，0）B．（﹣6，0）C．（−32，0）D．（−52，0）3．如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（3，1），C（2，2），当直线=12+与△ABC有交点时，b的取值范围是（）
A．﹣1≤b≤1B．−12≤b≤1C．−12≤b≤12D．﹣1≤b≤12 4．如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等
式x+b＞kx+4的解集是（）
A．x＞﹣2B．x＞0C．x＞1D．x＜1
5．一次函数y＝mx+n与y＝mnx（mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象是（）A．B．
C．D．
6．如图，已知：函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（）
A．x＞﹣5B．x＞﹣2C．x＞﹣3D．x＜﹣2
7．若式子−1+（k﹣1）0有意义，则一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是（）A．B．
C．D．
8．已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y=−12x+2上，则y1，y2大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能比较9．已知一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，且kb＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是（）
A．B．
C．D．
10．设正比例函数y＝mx的图象经过点A（m，4），且y的值随x值的增大而减小，则m＝（）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
二．填空题（共5小题）
11．如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为．
12．已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m＝．
13．如图，直线y＝2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C′的坐标为．
14．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为．
15．已知m是整数，且一次函数y＝（m+4）x+m+2的图象不过第二象限，则m＝．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M沿路线O→A→C运动．
（1）求直线AB的解析式．
（2）求△OAC的面积．
（3）当△OMC的面积是△OAC的面积的14时，求出这时点M的坐标．
17．甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途经C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原路原速返回A 地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图，结合图象信息解答下列问题：
（1）乙车的速度是千米/时，t＝小时；
（2）求甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）直接写出乙车出发多长时间两车相距120千米．
18．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
19．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
20．在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x＝1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．
（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1），
①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标；
②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．
（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ＝PQ 时，试用含t的式子表示m．
2025年广东省东莞市中考数学一轮复习：一次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在一次函数y=12ax﹣a中，y随x的增大而减小，则其图象可能是（）
A．B．
C．D．
【考点】一次函数的图象．
【专题】几何直观；模型思想．
【答案】B
【分析】根据y＝kx+b，k＜0时，y随x的增大而减小，可得答案．
【解答】解：在y=12ax﹣a中，y随x的增大而减小，得a＜0，﹣a＞0，
故B正确．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象，利用一次函数的性质是解题关键．2．如图，直线y=23x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB 的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为（）
A．（﹣3，0）B．（﹣6，0）C．（−32，0）D．（−52，0）【考点】一次函数图象上点的坐标特征；轴对称﹣最短路线问题．
【答案】C
【分析】（方法一）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D关于x轴的对称点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y＝0即可求出x的值，从而得出点P的坐标．
（方法二）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D关于x轴的对称点D′的坐标，根据三角形中位线定理即可得出点P为线段CD′的中点，由此即可得出点P的坐标．
【解答】解：（方法一）作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．
令y=23x+4中x＝0，则y＝4，
∴点B的坐标为（0，4）；
令y=23x+4中y＝0，则23x+4＝0，解得：x＝﹣6，
∴点A的坐标为（﹣6，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（﹣3，2），点D（0，2）．
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，﹣2）．
设直线CD′的解析式为y＝kx+b，
∵直线CD′过点C（﹣3，2），D′（0，﹣2），
∴有2=−3+
−2=，解得：=−43=−2，
∴直线CD′的解析式为y=−43x﹣2．
令y=−43x﹣2中y＝0，则0=−43x﹣2，解得：x=−32，
∴点P的坐标为（−32，0）．
故选C．
（方法二）连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时P C+PD值最小，如图所示．
令y=23x+4中x＝0，则y＝4，
∴点B的坐标为（0，4）；
令y=23x+4中y＝0，则23x+4＝0，解得：x＝﹣6，
∴点A的坐标为（﹣6，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（﹣3，2），点D（0，2），CD∥x轴，
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，﹣2），点O为线段DD′的中点．
又∵OP∥CD，
∴点P为线段CD′的中点，
∴点P的坐标为（−32，0）．
故选：C．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是找出点P的位置．
3．如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（3，1），C（2，2），当直线=12+与△ABC有交点时，b的取值范围是（）
A．﹣1≤b≤1B．−12≤b≤1C．−12≤b≤12D．﹣1≤b≤12
【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征．
【答案】B
【分析】将A（1，1），B（3，1），C（2，2）的坐标分别代入直线=12+中求得b 的值，再根据一次函数的增减性即可得到b的取值范围．
【解答】解：直线y=12x+b经过点B时，将B（3，1）代入直线=12+中，可得32+ b＝1，解得b=−12；
直线y=12x+b经过点A时：将A（1，1）代入直线=12+中，可得12+b＝1，解得b=12；直线y=12x+b经过点C时：将C（2，2）代入直线=12+中，可得1+b＝2，解得b ＝1．
故b的取值范围是−12≤b≤1．
故选：B．
【点评】考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
4．如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（）
A．x＞﹣2B．x＞0C．x＞1D．x＜1
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【答案】C
【分析】观察函数图象得到当x＞1时，函数y＝x+b的图象都在y＝kx+4的图象上方，所以关于x的不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．
【解答】解：当x＞1时，x+b＞kx+4，
即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
5．一次函数y＝mx+n与y＝mnx（mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象是（）A．B．
C．D．
【考点】一次函数的图象．
【专题】分类讨论．
【答案】C
【分析】由于m、n的符号不确定，故应先讨论m、n的符号，再根据一次函数的性质进行选择．
【解答】解：（1）当m＞0，n＞0时，mn＞0，
一次函数y＝mx+n的图象一、二、三象限，
正比例函数y＝mnx的图象过一、三象限，无符合项；
（2）当m＞0，n＜0时，mn＜0，
一次函数y＝mx+n的图象一、三、四象限，
正比例函数y＝mnx的图象过二、四象限，C选项符合；
（3）当m＜0，n＜0时，mn＞0，
一次函数y＝mx+n的图象二、三、四象限，
正比例函数y＝mnx的图象过一、三象限，无符合项；
（4）当m＜0，n＞0时，mn＜0，
一次函数y＝mx+n的图象一、二、四象限，
正比例函数y＝mnx的图象过二、四象限，无符合项．
故选：C．
【点评】一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
6．如图，已知：函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（）
A．x＞﹣5B．x＞﹣2C．x＞﹣3D．x＜﹣2
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】推理填空题．
【答案】B
【分析】根据一次函数的图象和两函数的交点坐标即可得出答案．
【解答】解：∵函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），
则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是x＞﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了议程函数与一元一次不等式的应用，主要考查学生的观察能力和理解能力，题型较好，难度不大．
7．若式子−1+（k﹣1）0有意义，则一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是（）
A．B．
C．D．
【考点】一次函数图象与系数的关系；零指数幂；二次根式有意义的条件．
【答案】A
【分析】首先根据二次根式中的被开方数是非负数，以及a0＝1（a≠0），判断出k的取值范围，然后判断出k﹣1、1﹣k的正负，再根据一次函数的图象与系数的关系，判断出一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是哪个即可．
【解答】解：∵式子−1+（k﹣1）0有意义，
∴−1≥0−1≠0
解得k＞1，
∴k﹣1＞0，1﹣k＜0，
∴一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是：
．
故选：A．
【点评】（1）此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b ＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0＝1（a≠0）；②00≠1．
（3）此题还考查了二次根式有意义的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
8．已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y=−12x+2上，则y1，y2大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能比较
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【答案】A
【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的大小即可得出结论．
【解答】解：∵k=−12＜0，
∴y随x的增大而减小．
∵﹣4＜2，
∴y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出一次函数的增减性是解答此题的关键．
9．已知一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，且kb＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是（）
A．B．
C．D．
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【专题】模型思想．
【答案】A
【分析】利用一次函数的性质进行判断．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小
∴k＜0
又∵kb＜0
∴b＞0
∴此一次函数图象过第一，二，四象限．
故选：A．
【点评】熟练掌握一次函数的性质．k＞0，图象过第1，3象限；k＜0，图象过第2，4象限．b＞0，图象与y轴正半轴相交；b＝0，图象过原点；b＜0，图象与y轴负半轴相交．
10．设正比例函数y＝mx的图象经过点A（m，4），且y的值随x值的增大而减小，则m＝（）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
【考点】正比例函数的性质．
【答案】B
【分析】直接根据正比例函数的性质和待定系数法求解即可．
【解答】解：把x＝m，y＝4代入y＝mx中，
可得：m＝±2，
因为y的值随x值的增大而减小，
所以m＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了正比例函数的性质：正比例函数y＝kx（k≠0）的图象为直线，当k ＞0时，图象经过第一、三象限，y值随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过第二、四象限，y值随x的增大而减小．
二．填空题（共5小题）
11．如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为a＜c＜b．
【考点】正比例函数的图象．
【专题】一次函数及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据直线所过象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线陡的情况可判断出b＞c，进而得到答案．
【解答】解：根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0，
再根据直线越陡，|k|越大，则b＞c．
则b＞c＞a，
故答案为：a＜c＜b．
【点评】此题主要考查了正比例函数图象，关键是掌握：当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．同时注意直线越陡，则|k|越大
12．已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m＝﹣1．
【考点】正比例函数的定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】由正比例函数的定义可得m2﹣1＝0，且m﹣1≠0．
【解答】解：由正比例函数的定义可得：m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．
13．如图，直线y＝2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C′的坐标为（﹣1，2）．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质；坐标与图形变化﹣平移．【专题】数形结合．
【答案】见试题解答内容
【分析】先求出直线y＝2x+4与y轴交点B的坐标为（0，4），再由C在线段OB的垂直
平分线上，得出C点纵坐标为2，将y＝2代入y＝2x+4，求得x＝﹣1，即可得到C′的坐标为（﹣1，2）．
【解答】解：∵直线y＝2x+4与y轴交于B点，
∴x＝0时，
得y＝4，
∴B（0，4）．
∵以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，
∴C在线段OB的垂直平分线上，
∴C点纵坐标为2．
将y＝2代入y＝2x+4，得2＝2x+4，
解得x＝﹣1．
故答案为：（﹣1，2）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，坐标与图形变化﹣平移，得出C点纵坐标为2是解题的关键．
14．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为16．
【考点】一次函数综合题．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，线段BC扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是AC的长，底是点C平移的路程．求当点C落在直线y＝2x﹣6上时的横坐标即可．
【解答】解：如图所示．
∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），
∴AB＝3．
∵∠CAB＝90°，BC＝5，
∴AC＝4．
∴A′C′＝4．
∵点C′在直线y＝2x﹣6上，
∴2x﹣6＝4，解得x＝5．
即OA′＝5．
∴CC′＝5﹣1＝4．
∴S▱BCC′B′＝4×4＝16．
即线段BC扫过的面积为16．
故答案为16．
【点评】此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，难度中等．
15．已知m是整数，且一次函数y＝（m+4）x+m+2的图象不过第二象限，则m＝﹣3或﹣2．
【考点】一次函数的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于一次函数y＝（m+4）x+m+2的图象不过第二象限，则得到+4＞0+2≤0，然后解不等式即可m的值．
【解答】解：∵一次函数y＝（m+4）x+m+2的图象不过第二象限，
∴+4＞0+2≤0，
解得﹣4＜m≤﹣2，
而m是整数，
则m＝﹣3或﹣2．
故填空答案：﹣3或﹣2．
【点评】此题首先根据一次函数的性质，利用已知条件列出关于m的不等式组求解，然后取其整数即可解决问题．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M沿路线O→A→C运动．
（1）求直线AB的解析式．
（2）求△OAC的面积．
（3）当△OMC的面积是△OAC的面积的14时，求出这时点M的坐标．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）求得C的坐标，即OC的长，利用三角形的面积公式即可求解；（3）当△OMC的面积是△OAC的面积的14时，根据面积公式即可求得M的横坐标，然后代入解析式即可求得M的坐标．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式是y＝kx+b，
根据题意得：4+=2
6+=0，
解得：=−1=6，
则直线的解析式是：y＝﹣x+6；
（2）在y＝﹣x+6中，令x＝0，解得：y＝6，
S△OAC=12×6×4＝12；
（3）设OA的解析式是y＝mx，则4m＝2，
解得：m=12，
则直线的解析式是：y=12x，
∵当△OMC的面积是△OAC的面积的14时，
∴M的横坐标是14×4＝1，
在y=12x中，当x＝1时，y=12，则M的坐标是（1，12）；
在y＝﹣x+6中，x＝1则y＝5，则M的坐标是（1，5）．
则M的坐标是：M1（1，12）或M2（1，5）．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式．先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解即可得到函数解析式．当已知函数解析式时，求函数中字母的值就是求关于字母系数的方程的解．
17．甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途经C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原路原速返回A 地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图，结合图象信息解答下列问题：（1）乙车的速度是60千米/时，t＝3小时；
（2）求甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）直接写出乙车出发多长时间两车相距120千米．
【考点】一次函数的应用．
【专题】压轴题；推理填空题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）首先根据图示，可得乙车的速度是60千米/时，然后根据路程÷速度＝时间，用两地之间的距离除以乙车的速度，求出乙车到达A地用的时间是多少；最后根据路程÷时间＝速度，用两地之间的距离除以甲车往返AC两地用的时间，求出甲车的速度，再用360除以甲车的速度，求出t的值是多少即可．
（2）根据题意，分3种情况：①当0≤x≤3时；②当3＜x≤4时；③4＜x≤7时；分类讨论，求出甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式，并写出自变量的取值范围即可．
（3）根据题意，分3种情况：①甲乙两车相遇之前相距120千米；②当甲车停留在C 地时；③两车都朝A地行驶时；然后根据路程÷速度＝时间，分类讨论，求出乙车出发多长时间两车相距120千米即可．
【解答】解：（1）根据图示，可得
乙车的速度是60千米/时，
甲车的速度是：
（360×2）÷（480÷60﹣1﹣1）
＝720÷6
＝120（千米/小时）
∴t＝360÷120＝3（小时）．
故答案为：60；3．
（2）①当0≤x≤3时，设y＝k1x，
把（3，360）代入，可得
3k1＝360，
解得k1＝120，
∴y＝120x（0≤x≤3）．
②当3＜x≤4时，y＝360．
③4＜x≤7时，设y＝k2x+b，
把（4，360）和（7，0）代入，可得
42+=36072+=0
解得2=−120=840∴y ＝﹣120x +840（4＜x ≤7）．
综上所述：甲车距它出发地的路程y 与它出发的时间x 的函数关系式为y =120o0≤≤3)360(3＜≤4)−120+840(4＜≤7)
（3）①（480﹣60﹣120）÷（120+60）+1
＝300÷180+1
=53+1=83（小时）②当甲车停留在C 地时，
（480﹣360+120）÷60
＝240÷60
＝4（小时）
③两车都朝A 地行驶时，
设乙车出发y 小时后两车相距120千米，
则60y ﹣[120（y ﹣1）﹣360]＝120，
所以480﹣60y ＝120，
所以60y ＝360，
解得y ＝6．
综上，可得
乙车出发83小时、4小时、6小时后两车相距120千米．【点评】（1）此题主要考查了一次函数的应用问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要
明确：分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
（2）此题还考查了行程问题，要熟练掌握速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间．
18．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．
【专题】销售问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意列出方程组求解，
（2）①据题意得，y＝﹣50x+15000，
②利用不等式求出x的范围，又因为y＝﹣50x+15000是减函数，所以x取34，y取最大
值，
（3）据题意得，y＝（100+m）x+150（100﹣x），即y＝（m﹣50）x+15000，分三种情况讨论，①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，②m＝50时，m﹣50＝0，y＝15000，③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．
【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；
根据题意得
10+20=4000
20+10=3500
解得=100=150
答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元．
（2）①据题意得，y＝100x+150（100﹣x），即y＝﹣50x+15000，
②据题意得，100﹣x≤2x，解得x≥3313，
∵y＝﹣50x+15000，﹣50＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x＝34时，y取最大值，则100﹣x＝66，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
（3）据题意得，y＝（100+m）x+150（100﹣x），即y＝（m﹣50）x+15000，3313≤x≤70
①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，
∴当x＝34时，y取最大值，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
②m＝50时，m﹣50＝0，y＝15000，
即商店购进A型电脑数量满足3313≤x≤70的整数时，均获得最大利润；
③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝70时，y取得最大值．
即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况．
19．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先把A点和B点坐标代入y＝kx+b得到关于k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，从而得到一次函数的解析式；
+S△BOD进行（2）先确定D点坐标，然后根据三角形面积公式和△AOB的面积＝S
△AOD 计算．
【解答】解：（1）把A（﹣2，﹣1），B（1，3）代入y＝kx+b得−2+=−1
+=3，解得=43=53．
所以一次函数解析式为y=43x+53；
（2）把x＝0代入y=43x+53得y=53，
所以D点坐标为（0，53），
+S△BOD
所以△AOB的面积＝S
△AOD
=12×53×2+12×53×1
=52．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
20．在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x＝1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．
（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1），
①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标；
②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．
（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ＝PQ 时，试用含t的式子表示m．
【考点】一次函数综合题．
【专题】代数综合题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）①利用待定系数法求得直线OF与EA的直线方程，然后联立方程组==3−6，求得该方程组的解即为点P的坐标；
②由已知可设点F的坐标是（1，t）．求得直线OF、EA的解析式分别是y＝tx、直线E A的解析式为：y＝（2+t）x﹣2（2+t）．则tx＝（2+t）x﹣2（2+t），整理后即可得到y关于x的函数关系式y＝x2﹣2x；
（Ⅱ）同（Ⅰ），易求P（2−，2t−2）．则由PQ⊥l于点Q，得点Q（1，2t−2），则OQ2＝1+t2（2−）2，PQ2＝（1−）2，所以1+t2（2−）2＝（1−）2，化简得到：t（t﹣2m）（t2﹣2mt﹣1）＝0，通过解该方程可以求得m与t的关系式．
【解答】解：（Ⅰ）①∵点O（0，0），F（1，1），
∴直线OF的解析式为y＝x．
设直线EA的解析式为：y＝kx+b（k≠0）、
∵点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，
∴E（1，﹣3）．
又∵A（2，0），点E在直线EA上，
∴0=2+
−3=+，
解得=3=−6，
∴直线EA的解析式为：y＝3x﹣6．
∵点P是直线OF与直线EA的交点，则==3−6，
解得=3=3，
∴点P的坐标是（3，3）．
②由已知可设点F的坐标是（1，t）．
∴直线OF的解析式为y＝tx．
设直线EA的解析式为y＝cx+d（c、d是常数，且c≠0）．
由点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，得点E（1，﹣2﹣t）．又点A、E在直线EA上，
∴0=2+
−2−=+，
解得=2+=−2(2+p，
∴直线EA的解析式为：y＝（2+t）x﹣2（2+t）．
∵点P为直线OF与直线EA的交点，
∴tx＝（2+t）x﹣2（2+t），即t＝x﹣2．
则有y＝tx＝（x﹣2）x＝x2﹣2x；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，直线OF的解析式为y＝tx．
直线EA的解析式为y＝（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m）．
∵点P为直线OF与直线EA的交点，
∴tx＝（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m），
化简，得x＝2−．
有y＝tx＝2t−2．
∴点P的坐标为（2−，2t−2）．
∵PQ⊥l于点Q，得点Q（1，2t−2），
∴OQ2＝1+t2（2−）2，PQ2＝（1−）2，
∵OQ＝PQ，
∴1+t2（2−）2＝（1−）2，
化简，得t（t﹣2m）（t2﹣2mt﹣1）＝0．
又∵t≠0，
∴t﹣2m＝0或t2﹣2mt﹣1＝0，
解得m=2或m=2−12．
则m=2或m=2−12即为所求．
【点评】本题考查了一次函数的综合题型．涉及到了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与直线的交点问题．此题难度不大，掌握好两直线间的交点的求法和待定系数法求一次函数解析式就能解答本题．。