北京市东城区普通校2013届高三12月联考-数学理-Word版含答案

北京东城区普通校2012—2013学年高三第一学期联考
数学〔理〕试题
本试卷分第Ⅰ卷〔选择题〕和第Ⅱ卷〔非选择题〕两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．选出符合题目要求的一项填在机读卡上． 1． 假设集合{}
0A x x =≥，且A B B =，则集合B 可能是
A ．{}1,2
B ．{}
1x x ≤ C ．{}1,0,1- D ．R 2． 复数1
1i
+在复平面上对应的点的坐标是
A ．），（11
B ．），（11-
C ．）（1,1--
D ．）（1,1-
3． 已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，以下命题中正确的选项是 A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖ B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖
C ．,,m n m n αα若则‖‖‖
D ．,,m m αβαβ若则‖‖‖
4． 一个棱锥的三视图如图〔尺寸的长度单位为m 〕，
则该棱锥的体积是 A ．
3
4
B ．8
C ．4
D ．
3
8
正视图 侧视图 5．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ，
则目标函数x y z 32-=的最大值为 A ．3- B ．2
C ．4
D ．5
6．已知数列}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=⋅a a ，则101a a +的值为
A ．7
B ．5-
C ．5
D ．7-
7． 已知函数)(x f 在),0[+∞上是增函数，)()(x f x g -=，假设)1()(lg g x g >，则x 的取
值范围是
A ．),10(+∞
B ．)10,101
(
C ．)10,0(
D ．),10()10
1
,0(+∞
8．设1F 、2F 分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=＞＞的左、右焦点．假设在双曲线右支上存在
点P ，满足212PF FF =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 A ．340x y ±= B ．350x y ±= C ．540x y ±=
D ．430x y ±=
第Ⅱ卷〔非选择题，共110分〕
二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分． 9．已知5
3
sin =
α，且α为第二象限角，则αtan 的值为 ． 10．已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c ．假设λ为实数，()λ+a b ∥c ，则λ的值
为 ．
11．椭圆22
192
x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，假设1||4PF =，12F PF ∠的小大为 ． 12．假设曲线2
1
232-+=
x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，则切点坐标为 ，切线方程为 ．
13． 假设0,0,2a b a b >>+=，则以下不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的
是 ． 〔写出所有正确命题的编号〕．
①1ab ≤； ≤ ③ 222a b +≥；
④3
3
3a b +≥； ⑤
11
2a b
+≥ 14． 已知函数2
)1ln()(x x a x f -+=在区间)1,0(内任取两个实数q p ,，且q p ≠，不等式
1)
1()1(>-+-+q
p q f p f 恒成立，则实数a 的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
P
D
B A
C
E
已知：在ABC ∆中, a 、b 、c 分别为角A 、B 、
C 所对的边，且角C 为锐角，1
cos 24
C =- 〔Ⅰ〕求C sin 的值；
〔Ⅱ〕当2=a ，C A sin sin 2=时，求b 及c 的长．
16．〔本小题总分值13分〕
已知：函数()sin()(0,||)2
f x M x M π
ωϕϕ=+><
的部分图象如下图．
〔Ⅰ〕求 函 数()f x 的 解 析 式；
〔Ⅱ〕在△ABC 中，角C B A 、、的 对 边 分 别 是c b a 、、，假设(2)cos cos ,()2
A a c
B b
C f -=求 的 取 值 范 围． 17．〔本小题总分值13分〕
已知：如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为正方形，ABCD PA 面⊥，且
2==AB PA ，E 为PD 中点． 〔Ⅰ〕证明：PB //平面AEC ；
〔Ⅱ〕证明：平面⊥PCD 平面PAD ； 〔Ⅲ〕求二面角D AC E --的正弦值．
18．〔本小题总分值13分〕
已知：数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n a S n n -=2，)(*
N n ∈．
〔Ⅰ〕求：1a ，2a 的值； 〔Ⅱ〕求：数列{}n a 的通项公式；
〔Ⅲ〕假设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足n n na b =)(*
N n ∈，求数列{}n b 的
前n 项和n T ． 19．〔本小题总分值14分〕 已知：函数)1ln(2
1)(2
x ax x x f +--
=，其中R a ∈． 〔Ⅰ〕假设2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； 〔Ⅱ〕求)(x f 的单调区间；
〔Ⅲ〕假设)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围．
已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>
〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；
〔Ⅱ〕已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点． ①假设线段AB 中点的横
坐标为12-
，求斜率k 的值；②假设点7
(,0)3
M -，求证：MA MB ⋅为定值．
参考答案
〔以下评分标准仅供参考，其它解法自己根据情况相应地给分〕
一、选择题
1． A 2． D 3． B 4． A 5． C 6． D 7． B 8． D 二、填空题 9．4
3-
10． 21 11． 120
12．〔1，2〕，24-=x y 13．①③⑤ 14．),15[+∞ 15．〔本小题总分值13分〕
解：〔Ⅰ〕解：因为cos2C=1-2sin 2C=14-
，及2
0π
<<C
所以 ………………………… 4分 〔Ⅱ〕解：当a=2，2sinA=sinC 时，由正弦定理a c
sin A sin C
=，得c=4 ………7分 由cos2C=2cos 2C-1=14-
，及2
0π
<<C 得
………………………9分 由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC ，得
b 212=0 …………………… 12分
解得 ……………………13分 16．〔本小题总分值13分〕
解：〔Ⅰ〕由图像知1=M ，)(x f 的最小正周期ππ
π=-=)6
125(
4T ，故2=ω …… 2分 将点)1,6
(
π
代入)(x f 的解析式得1)3
sin(
=+ϕπ
，又2
||π
ϕ<
故6
π
ϕ=
所以)6
2sin()(π
+
=x x f ……………… 5分
〔Ⅱ〕由C b B c a cos cos )2(=-得C B B C A cos sin cos )sin sin 2=- 所以A C B B A sin )sin(cos sin 2=+=……………………8分
因为0sin ≠A 所以21cos =
B 3π=B 3
2π=+C A ………………9分 )6sin()2(π+=A A f 320π<<A 6566π
ππ<+<A ……………………11分
1)6sin()2(21≤+=<π
A A f ……………………13分 17．〔本小题总分值13分〕
O
E C A
B
D
P P D
B A
C E 解： 〔Ⅰ〕
证明：连结BD 交AC 于点O ，连结EO ． ……………………1分 O 为BD 中点，E 为PD 中点， ∴EO//P
B ． ……………………2分
EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， ……………………3分 ∴ PB//平面AE C ． 〔Ⅱ〕
证明：
PA ⊥平面ABC D ． ⊂CD 平面ABCD ，
∴CD PA ⊥． ……………………4分 又 在正方形ABCD 中AD CD ⊥且A AD PA =⋂， ……………………5分 ∴CD ⊥平面PA D ． ……………………6分 又 ⊂CD 平面PCD ，
∴平面⊥PCD 平面PAD ． ……………………7分 〔Ⅲ〕如图，以A 为坐标原点，AP AD AB ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空 间直角坐标系． ………8分
由PA=AB=2可知A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别为 A 〔0, 0, 0〕, B 〔2, 0, 0〕,C 〔2, 2, 0〕,
D 〔0, 2, 0〕, P 〔0, 0, 2〕,
E 〔0, 1, 1〕 ． ……………9分 PA ⊥平面ABCD ，∴AP 是平面ABCD 的法向量，AP =〔0, 0, 2〕． 设平面AEC 的法向量为),,(z y x n =, )0,2,2(AC 1),,1,0(AE ==,
则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.
0,
0AC n AE n 即⎩⎨⎧=++=++.0022,00y x z y ∴ ⎩
⎨⎧-=-=.,y x y z
∴ 令1-=y ,则)1,1,1(-=n ． ………………11分 ∴3
13
22|
|||,cos =
⨯=
⋅>=
<n AP n AP n AP , …………………12分
二面角D AC E --的正弦值为3
6
…………………13分 18．〔本小题总分值13分〕
解：〔Ⅰ〕
n a S n n -=2
令1=n ，解得11=a ；令2=n ，解得32=a ……………2分 〔Ⅱ〕
n a S n n -=2
所以)1(211--=--n a S n n ，〔*
,2N n n ∈≥〕
两式相减得121+=-n n a a ……………4分 所以)1(211+=+-n n a a ，〔*
,2N n n ∈≥〕 ……………5分 又因为211=+a
所以数列{}1+n a 是首项为2，公比为2的等比数列 ……………6分 所以n n a 21=+，即通项公式12-=n n a 〔*
N n ∈〕 ……………7分
〔Ⅲ〕n n na b =，所以n n n b n n n -⋅=-=2)12(
所以)2()323()222()121(321n n T n n -⋅++-⋅+-⋅+-⋅=
)321()2232221(321n n T n n ++++-⋅++⋅+⋅+⋅= ……9分 令n n n S 2232221321⋅++⋅+⋅+⋅= ① 13222)1(22212+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n n n S ② ①－②得
132122222+⋅-++++=-n n n n S
122
1)
21(2+⋅---=
-n n n n S ……………11分 112)1(22)21(2++⋅-+=⋅+-=n n n n n n S ……………12分 所以2
)
1(2)1(21
+-
⋅-+=+n n n T n n ……13分 19．〔本小题总分值14分〕
〔Ⅰ〕解：(1)
(),(1,)1
x a ax f x x x --'=∈-+∞+． 依题意，令(2)0f '=，解得 13a =．
经检验，1
3
a =
时，符合题意． ……4分 〔Ⅱ〕解：① 当0=a 时，()1
x
f x x '=+．
故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-． …………………5分 ② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或21
1x a
=-． 当10<<a 时，()f x 与()f x '的情况如下：
所以，()f x 的单调增区间是1(0,
1)a -；单调减区间是)0,1(-和1
(1,)a
-+∞． 当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-． 当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：
所以，()f x 的单调增区间是(
1,0)a -；单调减区间是(1,1)a
--和(0,)+∞． ③ 当0<a 时，)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-． 综上，当0a ≤时，)(x f 的增区间是(0,)+∞，减区间是)0,1(-； 当10<<a 时，()f x 的增区间是1(0,
1)a -，减区间是)0,1(-和1
(1,)a
-+∞； 当1=a 时，)(x f 的减区间是),1(+∞-； 当1a >时，()f x 的增区间是1(
1,0)a -；减区间是1
(1,1)a
--和(0,)+∞． ……11分
〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知 0a ≤时，)(x f 在(0,)+∞上单调递增，由0)0(=f ，知不合题意． 当10<<a 时，)(x f 在(0,)+∞的最大值是1
(1)f a
-， 由1(1)(0)0f f a
->=，知不合题意． 当1≥a 时，)(x f 在(0,)+∞单调递减，
可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ，符合题意．
所以，)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[1,)+∞． …………14分 20．〔此题总分值14分〕
解：〔Ⅰ〕因为22221(0)x y a b a b +=>>满足222
a b c =+， c a =，…………2分
152223
b c ⨯⨯=。

解得22
55,3a b ==，则椭圆方程为221553
x y += ……………4分 〔Ⅱ〕〔1〕将(1)y k x =+代入
22
155
3
x y +=中得 2222(13)6350k x k x k +++-=……………………………………………………6分 4222364(31)(35)48200k k k k ∆=-+-=+>
2
122631k x x k +=-+………………………………………… …………………7分
因为AB 中点的横坐标为12-，所以2261312k k -=-+，解得3
3
k =±…………9分
〔2〕由〔1〕知2122631k x x k +=-+，2122
35
31
k x x k -=+ 所以112212127777
(,)(,)()()3333
MA MB x y x y x x y y ⋅=+
+=+++ ……………11分 2121277
()()(1)(1)33
x x k x x =+++++
2221212749
(1)()()39
k x x k x x k =++++++………………………………………12分
222
2
2
22357649(1)()()313319
k k k k k k k -=+++-++++。