【精品高考数学】2020年高考数学金榜冲刺卷(北京专版)(二)+答案

2020年高考数学金榜冲刺卷（二）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．测试范围：高中全部内容．
一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合{|(1)(3)0}A x x x =--<，{|24}B x x =<<，则A B =I （ ）
A ．()1,3
B ．()1,4
C ．()2,3
D ．()2,4
2．sin390︒的值为（ ）
A ．12
B ．12-
C ．2-
D ．2
3．已知复数21i z i =
-，则z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．i - C ．1 D ．i
4．设0.7log 0.8a =，11log 0.9b =，0.91.1c =，那么（ ）
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．b a c <<
D ．c a b <<
5．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是（ ）
A ．56
B ．84
C ．112
D ．168
6．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1AD =，点,,E F G 分别是1DD ， AB ，1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成的角是
A ．90o
B ．60o
C ．45o
D ．30o
7．已知两条直线260x a y ++=和(2)320a x ay a -++=互相平行，则a 等于（ ）
A ．0或3或-1
B ．0或3
C ．3或-1
D ．0或-1
8．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P -ABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（
）
A ．P A ，P
B ，P
C 两两垂直 B ．三棱锥P -ABC 的体积为8
3
C ．||||||PA PB PC ===
D ．三棱锥P -ABC 的侧面积为9．已知P ，Q 是边长为1的正方形ABCD 边上的两个动点，则AP CQ BP DQ ⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 的取值范围为（ ）
A ．[]1,1-
B ．[]1,2-
C ．⎡⎤⎣⎦
D ．⎡⎣
10．已知函数()32e ,0461,0
x x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，其中e 为自然对数的底数，则函数 ()()()2
310g x f x f x ⎡⎤=-⎣⎦3+的零点个数为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．3 二、填空题共5题，每题5分，共25分． 11．已知双曲线2
2
1y x m -=的一条渐近线方程为2x y =，则m =__________. 12
．函数())0,2f x x πωϕϕϕπ⎛
⎫=+><< ⎪⎝⎭
的图像如图所示，则该函数的最小正周期为________.
13．已知函数()221x f x x =-，数列{}n a 的通项公式为()2019n n a f n N ⎛⎫=∈* ⎪⎝⎭
，则2019a =____．此数列前2019项的和为____．
14．已知函数()()(
)()1231,1log 1,1x x f x x x +⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，若()2f m =，则()2f m -=______. 15．设,a b 是两个实数，给出下列条件：
①1a b +>；②2a b +=；③2a b +>；④222a b +>；⑤1ab >.
其中能推出：“,a b 中至少有一个大于1”的条件是____________．
三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（本小题14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，8a =，2b c -=，1cos 4
A =-. （1）求sin
B 的值；
（2）求cos(2)6A π
+的值.
17．（本小题14分）如图，在四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 和侧面BCC 1B 1都是矩形，E 是CD 的中点，D 1E ⊥CD ，AB =2BC =2．
（Ⅰ）求证：BC ⊥D 1E ．
（Ⅱ）求证：BC ∥平面BED 1．
（Ⅲ）若平面BCC 1B 1与平面BED 1所成的锐二面角的大小为π3，求线段D 1E 的长度．
18．（本小题14分）改革开放以来，中国快递行业持续快速发展，快递业务量从上世纪80年代的153万件提升到2018年的507.1亿件，快递行业的发展也给我们的生活带来了很大便利.已知某市某快递点的收费标准为:首重(重量小于等于1kg )收费10元，续重5元/kg (不足1kg 按1kg 算). (如:一个包裹重量为2.5,kg 则需支付首付10元，续重10元，一共20元快递费用)
（1）若你有三件礼物,,A B C 重量分别为0.4 1.2 1.9kg kg kg ，
，，要将三个礼物分成两个包裹寄出(如:,A B 合为一个包裹，C 一个包裹)，那么如何分配礼物，使得你花费的快递费最少？
（2）为了解该快递点2019年的揽件情况，在2019年内随机抽查了30天的日揽收包裹数(单位:件)，得到如下表格:
现用这30天的日揽收包裹数估计该快递点2019年的日揽收包裏数.若从2019年任取4天，记这4天中日揽收包裹数超过200件的天数为随机变量,X 求X 的分布列和期望
19．（本小题15分）已知函数()ln f x ax x =+()a R ∈．
（1）若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率；
（2）求()f x 的单调区间；
（3）设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值
范围．
20．（本小题14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)F ，动点Q 到点F 的距离比到直线2x =-的距离小1个单位长度
（1）求动点Q 的轨迹方程C ；
（2）若过点F 的直线l 与曲线C 交于,A B 两点，8FA FB ⋅=-u u u v u u u v
，求直线l 的方程．
21．（本小题14分）
定义：给定整数i ，如果非空集合满足如下3个条件：
①A N *⊆；②{}1A ≠；③,x y N *∀∈，若x y A +∈，则xy i A -∈. 则称集合A 为“减i 集”
（1）{}1,2P =是否为“减0集”？是否为“减1集”？
（2）证明：不存在“减2集”；
（3）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有“减1集”；如果不存在，说明理由.
2020年高考数学金榜冲刺卷（二）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．测试范围：高中全部内容．
一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合{|(1)(3)0}A x x x =--<，{|24}B x x =<<，则A B =I （ ） A ．()1,3
B ．()1,4
C ．()2,3
D ．()2,4
【答案】C
【解析】根据题意，{|13}A x x =<<，则{|23}(2,3)A B x x ⋂=<<=. 故本题正确答案为C.
2．sin390︒的值为（ ）
A ．12
B ．12-
C ．2-
D ．2
【答案】A
【解析】
试题分析： 因为()()0000000sin 600sin 360240sin 240sin 18060sin 60=+==+=-=故选择C
3．已知复数21i z i =
-，则z 的虚部为（ ） A ．－1
B ．i -
C ．1
D ．i
【答案】A 【解析】2i 2i(i 1)22i 1i i 1(i 1)(i+1)2
z +-+====----，故z 的虚部为1-. 故选：A.
4．设0.7log 0.8a =，11log 0.9b =，0.91.1c =，那么（
） A ．a b c << B ．a c b <<
C ．b a c <<
D ．c a b
<<
【答案】C
【解析】
【分析】
利用指数函数和对数函数的单调性得出结论.
【详解】
解：Q 0.70.70.7log 1log 0.8log 0.7<<，
∴0.7log 00.81<<
Q 1111log 0.9log 1<
∴11log 0.90<
Q 0.901.1 1.1>
∴0.91.11>
综上，c a b >>.
故选：C.
5．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是（ ）
A ．56
B ．84
C ．112
D ．168 【答案】D
【解析】
因为8(1)x +的展开式中2x 的系数为28C ，4(1)y +的展开式中2y 的系数为24C ，所以22
x y 的系数为
2284168C C =.故选D.
6．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1AD =，点,,E F G 分别是1DD ， AB ，1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成的角是
A ．90o
B ．60o
C ．45o
D ．30o
【答案】A 【解析】由题意：ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是长方体，E ，F ，G 分别是DD 1，AB ，CC 1的中点，连接B 1G ， ∵A 1E ∥B 1G ，
∴∠FGB 1为异面直线A 1E 与GF 所成的角或其补角．
连接FB 1，
在三角形FB 1G 中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，
B 1F ==
B 1G ==，
FG ==
B 1F 2＝B 1G 2+FG 2．
∴∠FGB 1＝90°，
即异面直线A 1E 与GF 所成的角为90°．
故选A ．
7．已知两条直线260x a y ++=和(2)320a x ay a -++=互相平行，则a 等于（ ） A ．0或3或-1 B ．0或3 C ．3或-1 D ．0或-1
【答案】D
【解析】Q 两条直线260x a y ++=和()2320a x ay a -++=互相平行 216
232a a a a -∴=≠--，或121k a =-和22
3a k a -=-同时不存在
解得：1a =-或0a =
本题正确选项：D
8．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P -ABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（ ）
A ．P A ，P
B ，P
C 两两垂直 B ．三棱锥P -ABC 的体积为8
3
C ．||||||PA PB PC ===
D ．三棱锥P -ABC 的侧面积为【答案】C 【解析】根据三视图，可得三棱锥P -ABC 的直观图如图所示，
其中D 为AB 的中点，PD ⊥底面AB C.
所以三棱锥P -ABC 的体积为114222323
⨯⨯⨯⨯=，
2AC BC PD ∴===，AB ∴=
=，||||||DA DB DC ∴===
||||||PA PB PC ∴==== 222PA PB AB +≠Q ，PA ∴、PB 不可能垂直，
即,PA ,PB PC 不可能两两垂直，
1
22PBA S ∆=⨯=Q 1
22PBC PAC S S ∆∆===Q
∴
三棱锥P -ABC 的侧面积为
故正确的为C.
故选：C.
9．已知P ，Q 是边长为1的正方形ABCD 边上的两个动点，则AP CQ BP DQ ⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 的取值范围为（ ）
A ．[]1,1-
B ．[]1,2-
C ．⎡⎤⎣⎦
D ．⎡⎣
【答案】A
【解析】以点A 为原点，建立直角坐标系，如图所示：
则()0,0A ，()10B ,，()1,1C ，()0,1D ，设点()11,P x y ，()22,Q x y ，
∴()11,AP x y =u u u r ，()221,1CQ x y =--u u u r ，()111,BP x y =-u u u r ，()22,1DQ x y =-u u u r
，
∴()()()()12122112211111AP CQ BP DQ x x y y x x y y x x ⋅-⋅=-+-----=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，
又∵P ，Q 是边长为1的正方形ABCD 边上的两个动点，则101x ≤≤，201x ≤≤，
∴2111x x -≤-≤.
10．已知函数()32e ,0461,0
x x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，其中e 为自然对数的底数，则函数 ()()()2
310g x f x f x ⎡⎤=-⎣⎦3+的零点个数为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．3 【答案】A
【解析】当x ≥0时，f （x ）＝4x 3﹣6x 2+1的导数为f ′（x ）＝12x 2﹣12x ，
当0＜x ＜1时，f （x ）递减，x ＞1时，f （x ）递增，
可得f （x ）在x ＝1处取得最小值，也为最小值﹣1，且f （0）＝1，
作出函数f （x ）的图象，
g （x ）＝()()23103f x f x ⎡⎤-+⎣⎦，可令g （x ）＝0，t ＝f （x ）
， 可得3t 2﹣10t +3＝0，解得t =3或13
， 当t 13=，即f （x ）13
=，g （x ）有三个零点； 当t ＝3，可得f （x ）＝3有一个实根，
综上g （x ）共有四个零点；
二、填空题共5题，每题5分，共25分．
11．已知双曲线2
2
1y x m -=的一条渐近线方程为2x y =，则m =__________. 【答案】14
【解析】因为渐近线方程为2x y =，且双曲线焦点在x 轴上，
故可得102b m a ==>，解得14m =.故答案为：14
.
12．函数())0,2f x x πωϕϕϕπ⎛
⎫=+><< ⎪⎝⎭
的图像如图所示，则该函数的最小正周期为________.
【答案】8
【解析】由(0)f ϕ=，得sin 2
ϕ=， Q 2ϕπ<<π，34
πϕ∴=，
则3())4
f x x πω=+，
Q ()3104f π
ω⎛⎫=+= ⎪⎝
⎭， 34πωπ∴+=，即4
πω=，
则函数的最小正周期2284T π
π
π
ω===，
故答案为：8
13．已知函数()221x f x x =-，数列{}n a 的通项公式为()2019n n a f n N ⎛⎫=∈* ⎪⎝⎭
，则2019a =____．此数列前2019项的和为____．
【答案】20192a = 2020 【解析】由题可知，2220192019120192201922019212019n n
n n a f n n n ⋅
⎛⎫====+ ⎪--⎝⎭⋅- 则2019201912220192019
a =+=⨯- 201920192019201911 (12201942019220192019)
S =++++++--⨯- 即()()()20191201822017100910102019...S a a a a a a a =+++++++
2100922020=⨯+=
故答案为：20192a = 2020
14．已知函数()()()()12
31,1log 1,1x x f x x x +⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，若()2f m =，则()2f m -=______. 【答案】23
-或1 【解析】()112312m m f m +<⎧=⇒⎨-=⎩或(
)210log 12m m m ≥⎧⇒=⎨+=⎩或3m =， ∴22m -=-或21m -=，
∴()()2223
f m f -=-=-或()()211f m f -==. 故答案为：23
-或1 15．设,a b 是两个实数，给出下列条件：
①1a b +>；②2a b +=；③2a b +>；④222a b +>；⑤1ab >.
其中能推出：“,a b 中至少有一个大于1”的条件是____________．
【答案】③. 【解析】若12,23
a b ==，则1a b +>，但1,1a b <<，故①推不出； 若1a b ==，则2a b +=，故②推不出；
若2,3a b =-=-，则222a b +>，故④推不出；
若2,3a b =-=-，则1ab >，故⑤推不出；
对于③，即2a b +>，则,a b 中至少有一个大于1，
反证法：假设1a ≤且1b ≤，
则2a b +≤与2a b +>矛盾，
因此假设不成立，,a b 中至少有一个大于1.
故答案为：③.
三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（本小题14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，8a =，2b c -=，1cos 4
A =-. （1）求sin
B 的值；
（2）求cos(2)6A π
+的值.
【答案】（1；（2.
【解析】（1）Q 由1cos 4A =-，可得sin A = ∴由22642cos 2
b c bc A b c ⎧=+-⎨-=⎩，可得：64b c =⎧⎨=⎩，
∴由sin sin b a B A
=得sin B =；
（2）Q 27cos22cos 1,sin 22sin cos 8A A A A A =-=-==
71
cos(2)cos 2cos sin 2sin 66682A A A πππ⎛∴+=-=-⨯ ⎝⎭=.
17．（本小题14分）如图，在四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 和侧面BCC 1B 1都是矩形，E 是CD 的中点，D 1E ⊥CD ，AB =2BC =2．
（Ⅰ）求证：BC ⊥D 1E ．
（Ⅱ）求证：BC ∥平面BED 1．
（Ⅲ）若平面BCC 1B 1与平面BED 1所成的锐二面角的大小为π3，求线段D 1E 的长度．
【答案】（1）证明过程详见解析；（2）D 1E =1.
【解析】（1）证明：∵底面和侧面是矩形，
∴，
又∵
∴平面3分
∵平面∴BC⊥D1E．6分
（2）
解法1：延长，交于，连结，
则平面ADD1A1平面BED1
底面ABCD是矩形，E是CD的中点，，∴连结，则
又由（1）可知BC⊥D1E
又∵D1E⊥CD，
∴底面ABCD，∴D1E⊥AE∴平面BED19
过E作于，连结，则是平面ADD1A1与平面BED1即平面BCC1B1与平面BED1所成锐二面角的平面角，所以
又，∴
又易得，，从而由，求得D 1E =1． 12分
解法2：由（1）可知BC ⊥D 1E
又∵D 1E ⊥CD ，∴底面ABCD 7分
设为的中点，以E 为原点，以，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图． 8分
设，则，，，，
设平面的一个法向量
∵，
由，得
令，得9分
设平面BCC 1B 1法向量为m ⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，因为CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,a)，
由{m ⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗ ⋅CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0
得{x 1=0,x 1+y 1+az 1=0. 令z 1=−1，得m ⃗⃗ =(0,a,−1)． 10分
由平面BCC 1B 1与平面BED 1所成的锐二面角的大小为π3
， 得|cos <m ⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=a √2⋅√a 2+1=cos π3，解得a =1． 即线段D 1E 的长度为．
18．（本小题14分）改革开放以来，中国快递行业持续快速发展，快递业务量从上世纪80年代的153万件提升到2018年的507.1亿件，快递行业的发展也给我们的生活带来了很大便利.已知某市某快递点的收费标准为:首重(重量小于等于1kg )收费10元，续重5元/kg (不足1kg 按1kg 算). (如:一个包裹重量为2.5,kg 则需支付首付10元，续重10元，一共20元快递费用)
（1）若你有三件礼物,,A B C 重量分别为0.4 1.2 1.9kg kg kg ，
，，要将三个礼物分成两个包裹寄出(如:,A B 合为一个包裹，C 一个包裹)，那么如何分配礼物，使得你花费的快递费最少？
（2）为了解该快递点2019年的揽件情况，在2019年内随机抽查了30天的日揽收包裹数(单位:件)，得到如下表格:
现用这30天的日揽收包裹数估计该快递点2019年的日揽收包裏数.若从2019年任取4天，记这4天中日揽收包裹数超过200件的天数为随机变量,X 求X 的分布列和期望
【答案】（1）, A B 一个包裹，C 一个包裹时花费的运费最少，为30元；（2）详见解析.
【解析】（1） ,
A B 一个包裹，C 一个包裹时，需花费151530+=(元)， A C ，一个包裹，B 一个包裹时，需花费201535+=(元)，
B C ，一个包裹，A 一个包裹时，需花费251035+=(元)，
综上，, A B 一个包裹，C 一个包裹时花费的运费最少，为30元.
（2）由题意知，每日揽包裹数超过200件的概率为
13
X 可取10,1,2,3,4,4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，()()44120,1,23,3,,43k k
k
P X k C k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭
== 则X 的分布列为
()14
433
E X =⨯=
所以这4天中日揽收包裹数超过200件的天数期望为43
.
19．（本小题15分）已知函数()ln f x ax x =+()a R ∈． （1）若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率； （2）求()f x 的单调区间；
（3）设2
()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值
范围． 【答案】(Ⅰ).
(Ⅱ)当0a ≥时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞
当0a <时，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1
(,)a
-
+∞ （Ⅲ）3
1a e <-
. 【解析】(Ⅰ)由已知1
()2(0)f x x x
=+
>'，
(1)213f '=+=.
曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为. (Ⅱ)11'()(0)ax f x a x x x
+=+
=>. ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x > 所以，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. ②当0a <时，由'()0f x =，得1
x a
=-
. 在区间1(0,)a
-上，()0f x '>，在区间1
(,)a
-
+∞上()0f x '<， 所以，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a
-，单调递减区间为1
(,)a
-
+∞. （Ⅲ）由已知，转化为max max ()()f x g x <.
max ()2g x =
由(Ⅱ)知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意. (或者举出反例：存在33()32f e ae =+>，故不符合题意.)
当0a <时，()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1
(,)a
-
+∞上单调递减， 故()f x 的极大值即为最大值，11
()1ln(
)1ln()f a a
a
-=-+=----， 所以21ln()a >---，
解得3
1a e <-
.
20．（本小题14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)F ，动点Q 到点F 的距离比到直线2x =-的距离小1个单位长度
（1）求动点Q 的轨迹方程C ；
（2）若过点F 的直线l 与曲线C 交于,A B 两点，8FA FB ⋅=-u u u v u u u v
，求直线l 的方程．
【答案】（1）24y x =（2）1y x =-或1y x =-+
【解析】（1）根据抛物线的定义，知动点Q 的轨迹是以(1,0)F 为焦点，以1x =-为准线的抛物线， 所以动点Q 的轨迹方程C 为：2
4y x =；
（2）①当l 的斜率不存在时，可知48FA FB ⋅=-≠-u u u r u u u r
，不符合条件； ②当l 的斜率存在且不为0时，设l ：(1)y k
x =-，
则2(1)4y k x y x
=-⎧⎨=⎩，联立可得()2222240k x k x k -++=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则21212224
,1k x x x x k ++=⋅=．
因为向量,FA FB u u u r u u u r
方向相反，
所以()()()12121224||||11148FA FB FA FB x x x x x x k ⎛⎫
⋅=-=-++=-+++=-+=- ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r ，
所以21k =，即1k =±，
所以直线l 的方程为1y x =-或1y x =-+．
21．（本小题14分）
定义：给定整数i ，如果非空集合满足如下3个条件：
①A N *⊆；②{}1A ≠；③,x y N *
∀∈，若x y A +∈，则xy i A -∈.
则称集合A 为“减i 集”
（1）{}1,2P =是否为“减0集”？是否为“减1集”？ （2）证明：不存在“减2集”；
（3）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有“减1集”；如果不存在，说明理由.
【答案】（1）是“减0集”；不是“减1集”（2）证明见解析；（3）存在；{1，3}，{1，3，5}，{1，3，5，
7}，⋯⋯{1，3，5，⋯⋯，21n -，}⋯⋯，*()n N ∈
【解析】（1）*P N ⊆Q ，{1}P ≠，112P +=∈，110P ⨯-∈，P ∴是“减0集”
同理，*P N ⊆Q ，{1}P ≠，112P +=∈，111P ⨯-∉，P ∴不是“减1集”．
（2）假设存在A 是“减2集”，则若x y A +∈， 那么2xy A -∈，当2x y xy +=-时，有(1)(1)3x y --=， 则x ，y 一个为2，一个为4，所以集合A 中有元素6，
但是33A +∈，332A ⨯-∉，与A 是“减2集”，矛盾，故不存在“减2集” （3）存在“减1集”A ．{1}A ≠．
①假设1A ∈，则A 中除了元素1以外，必然还含有其它元素． 假设2A ∈，11A +∈，而111A ⨯-∉，因此2A ∉． 假设3A ∈，12A +∈，而121A ⨯-∈，因此3A ∈． 因此可以有{1A =，3}．
假设4A ∈，13A +∈，而131A ⨯-∉，因此4A ∉．
假设5A ∈，14A +∈，141A ⨯-∈，235+=，231A ⨯-∈，因此5A ∈．
因此可以有{1A =，3，5}．
以此类推可得：{1A =，3，5，⋯
⋯，21n -，}⋯⋯，*()n N ∈， 以及A 的满足以下条件的非空子集：{1，3}，{1，3，5}，{1，3，5，7}，⋯
⋯。