高三数学第三次模拟考试试题 理含解析

一中高三年级下学期第三次模拟考试
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

数 学〔理 科〕 试 题
第一卷 选择题
一、选择题：本大题一一共 12 小题，每一小题 5 分，一共 60 分．在每一小题给出的 4 个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．
()12i z +=，那么复数z 的虚部为〔 〕
A. 1
B. 1-
C. i
D. i -
【答案】B 【解析】 设
,,z a bi a b R =+∈（） ，由
()1i 22z z i z +=⇒=-
-（）2a bi i a bi ⇒+=--（） ，
2a bi b a i ⇒+=-+-（） ,
2a b b a =-⎧⇒⎨
=-⎩
1b ⇒=- ，应选B.
{(){}
2,log 2M x y N x y x ====-∣∣ ，那么M
N =〔 〕
A. []0,1
B. [)1,2
C. []1,2
D. [)0,2
【答案】B 【解析】 【分析】
化简集合M 和集合N ，根据集合的交集计算即可.
【详解】由10x -≥得1x ≥ ，所以[1,)M =+∞，由20x ->得2x <，所以(,2)N =-∞， 故[1,2)M
N =，所以选B.
【点睛】此题主要考察了集合的概念，集合的交集运算，涉及函数定义域的相关知识，属于中档题.
222
:12x y C a a
-=-的离心率为2，那么实数a 的值是( ) A. 1 B. 2-
C. 1 或者2-
D. 1-
【答案】C 【解析】
分析：可用排除法，验证1a =与2a =-是否符合题意即可得结果.
详解：可用排除法，当1a =时，22
2
12x y a a
-=-化为221x y -=， 离心率为
11
21
+=，符合题意； 当2a =-时，22212x y a a -=-化为22
122
y x -=，
离心率为
22
22
+=，符合题意, a 的值是1,2-，应选C.
点睛：用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进展检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 假设结果为定值，那么可采用此法. 特殊法是“小题小做〞的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以进步做题速度和效率.
4.执行如下图的程序框图，输出S 的值是〔 〕
A. 5
B. 6
C. 8
D. 13
【答案】A 【解析】 【分析】
根据框图，结合条件分支构造和循环构造，即可求出结果.
【详解】第一次执行程序后，1,1,1,1i t S P ====，第二次执行程序后，2,1,2,1i t S P ====，第三次执行程序后3,2,3,2i t S P ====，第四次执行程序后4,3,5,3i t S P ====，因为44<不成立，跳出循环，输出5S =，应选A.
【点睛】此题主要考察了框图，涉计循环构造和条件分支构造，属于中档题.
{}n a 中，2201720182019220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且20182018b a =，那么()220172019log b b ⋅的
值是〔 〕 A. 1 B. 2
C. 4
D. 8
【答案】C 【解析】 【分析】
根据等差数列的性质可知2017201920182a a a +=，代入方程可求出2018a ，再根据等比数列的性质
2201720192018=b b a ⋅ 即可代入()220172019log b b ⋅求解.
【详解】因为等差数列{}n a 中2017201920182a a a +=，所以22
20172018201920182018224=0a a a a a -+=-，
因为各项不为零，所以2018=4a ，
因为数列{}n b 是等比数列，所以2
201720192018==16b b a ⋅
所以()2201720192log =log 16=4b b ⋅，应选C.
【点睛】此题主要考察了等差数列中，当m n p q +=+时，m n p q a a a a +=+，等比数列中，当
m n p q +=+时，m n p q b b b b ⋅=⋅，属于中档题.
sin a xdx π
=⎰
，那么6
1a x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭ 的展开式中的常数项是〔 〕
A. 160-
B. 160
C. 20-
D. 20
【答案】A 【解析】
【解析】ππ
a sinxdx cos |2==-=⎰,所以66
11a x 2x x x ⎛
⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开式的通项为：
6631661(2)()(1)2r r r r r r r r T C x C x x
---+=-
=- ，令3r = ，常数项是3
336(1)2160C -=-，应选A.
ABCD 中，4,3AB AD ==.假如向该矩形内随机投一点P ，那么使得ABP ∆与ADP ∆的面积都不小
于2的概率为〔 〕 A.
14
B.
13
C.
47
D.
49
【答案】D 【解析】
，
由题意知此题是一个几何概型的概率， 以AB 为底边，要使面积不小于2， 由于1
22
ABP
S
AB h h =
⨯=， 那么三角形的高要h ⩾1,同样,P 点到AD 的间隔 要不小于
4
3
，满足条件的P 的区域如图，
其表示的区域为图中阴影局部,它的面积是()416
43133
⎛
⎫-
-= ⎪⎝⎭， ∴使得△ABP 与△ADP 的面积都不小于2的概率为：16
43439
=⨯. 应选D.
8.某函数的图象如下图，那么以下解析式与此图象最为符合的是〔 〕
A. ()2ln x
f x x
=
B. ()2ln x f x x
=
C. ()21
1
f x x =
- D.
()11f x x x
=
-
【答案】B 【解析】 对于A ，()2ln x
f x x
=为奇函数，图象显然不关于原点对称，不符合题意； 对于C ，()21
1
f x x =
-在()1
∞+，上单调递减，不符合题意； 对于D ，
()11f x x x
=
-
在()1∞+，上单调递减，不符合题意； 应选：B
点睛：识图常用的方法
(1)定性分析法：通过对问题进展定性的分析，从而得出图象的上升(或者下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
()f x 满足()()11f x f x +=-，假设当()1,1x ∈-时，()1lg
1x
f x x
+=-，且()20181f a -=，那么实数a 的值可以是〔 〕 A. 47.0810-⨯ B.
9
11 C. 911
-
D. 119
-
【答案】C 【解析】 【分析】
根据奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-可知函数周期4T =，因此()2018()1f a f a -=-=，当
()1,1x ∈-时，令()1lg
=11x f x x
+=-，可得9
11x =，故可得a 的可能取值.
【详解】由()()11f x f x +=-可得()()2f x f x =-，因为()f x 为奇函数， 所以()()2()f x f x f x -=+=-，故()()4f x f x =+，函数周期为4T =， 所以()2018()1f a f a -=-=， 当()1,1x ∈-时，令()1lg
=11x f x x +=-，可得9
11x =，所以911a -=可以，即911
a =-，应选C.
【点睛】此题主要考察了函数的奇偶性、周期性，属于中档题.函数中一些常见结论需要理解记忆： 假设1
()(),()()
f x f x a f x f x -=+-=
可知函数的周期2T a =， 假设()()1f x a f a +=-，可知函数对称轴x a =.
的个数是〔 〕
〔1〕“函数2
2
cos sin y ax ax =-的最小正周期是π〞的充分不必要条件是“1a = 〞；
〔2〕设11,1,,32a ⎧
⎫∈-⎨
⎬⎩
⎭，那么使函数a y x = 的定义域是R 且为奇函数的所有a 的值是1,1,3-; 〔3〕函数()2ln f x x a x =+在定义域上为增函数，那么0a ≥.
A. 1
B. 2
C. 3.
D. 0
【答案】B 【解析】 【分析】
根据给出的命题，逐个分析即可.
【详解】〔1〕因为22cos sin cos 2y ax ax ax =-=，所以最小正周期=||
T a π
π=
，所以1a =±，所以1
a =是充分不必要条件正确；
〔2〕因为a y x = 的定义域是R ，所以1a ≠-，故所有a 的值是1,1,3-错误； 〔3〕因为函数()2ln f x x a x =+在定义域上为增函数，所以()0f x '≥恒成立，即20a
x
+≥恒成立，由2,0a x x ≥->恒成立可知0a ≥，命题正确. 应选B.
【点睛】此题主要考察了充分必要条件，函数的定义域、奇偶性，利用导数确定函数的增减性及恒成立问题，属于中档题.
ABC ∆中，2
39,AB AC AC AB AC ==⋅=，
点P 是ABC ∆所在平面内一点，那么当222
PA PB PC ++ 获得最小值时，PA BC ⋅= ( )
A. 24-
B.
C.
92
D. 24
【答案】D 【解析】
2
AC AB AC ⋅=
以C 为坐标原点，直线CB,CA 分别为x,y 轴建立直角坐标系，那么(0,3),A B ，设
(,),P x y 222PA PB PC ++22222222=(3)(3(3(1)54x y x y x y x y +-+-+++=-+-+
当22,1x y ==时2
2
2
PA PB PC ++获得最小值，PA BC ⋅=(22,2)(62,0)24-⋅-=，选D. 点睛：(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.
(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或者求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
()ln f x x x x =+，假设k Z ∈，且()()1k x f x -<对任意的>1x ，那么k 的最大值为〔 〕
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】B 【解析】
因为()f x x xlnx =+，假设k Z ∈，且()()k x 1f x -<对任意的x 1>恒成立， 即(1)ln k x x x x -<+ ，因为1x > 即ln 1
x x x
k x +<
- ，对任意x 1>恒成立，
令ln ()1
x x x g x x +=-，那么'
2ln 2()(1)x x g x x --=-
令()ln 2(1)h x x x x =--> ，那么()1110x h x x x
='-=-> 所以函数()h x 在(1,)+∞ 上单调递增. 因为(3)1ln30,(4)22ln 20h h =-<=->
所以方程()0h x = 在(1,)+∞上存在唯一实根0x ，且满足0(3,4)x ∈
当01x x << 时，()0h x < ，即'
()0g x < ，当0x x > 时，()0h x > ，即'()0g x >
所以函数ln ()1
x x x
g x x +=
-在0(1.)x 上单调递减，在0(,)x +∞ 上单调递增
所以00min 000(12)
()()(3,4)1
x x g x g x x x +-==
=∈-
所以
=
所以min 0()k g x x <= ，因为0(3,4)x ∈ ，故整数k 的最大值为3 ，应选B.
点睛：不等式恒成立问题常用变量别离的方法，即将变量与参数分开来看，转化为参数与函数与最值的不等式即可，此题中通过求导找到的极值点是不可求的，此时，利用导数等于零的方程代入最值中化简即可解决此题.
第二卷 非选择题
二、填空题：本大题一一共 4小题，每一小题 5分，一共 20分，把答案填在题中横线上．
X 服从正态分布()2
2,N σ
且()40.88X P ≤=，那么()04P X <<=_____________
【答案】 【解析】 【分析】
由条件可知数据对应的正态曲线的对称轴，根据对称性即可得到结果.
【详解】随机变量X 服从正态分布()
2
2,N σ,
那么曲线的对称轴为2X =，()20.5P X ≤=，
由()40.88X P ≤=可得()40.880.0825.3P X ==<-<， 那么()()204240.76P P X X <=<<<= 故答案为：0.76．
【点睛】此题考察根据正态曲线的对称性求在给定区间上的概率，求解的关键是把所求区间用区间表示；正态曲线的主要性质是：〔1〕正态曲线关于x μ=对称；〔2〕在正态曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为1.
()1,2P 和圆222:20C x y kx y k ++++=，过点P 作圆C 的切线有两条，那么实数k 的取值范围是
______
【答案】( 【解析】 【分析】
由过点P 可作圆的两条切线知，点P 在圆的外部，根据点与圆的位置关系可得关于k 的不等式，结合
22220x y kx y k ++++=为圆的一般方程，可知k 满足的不等式，联立即可求解.
【详解】因为222:20C x y kx y k ++++=为圆，所以22440k k +->，解得33
k -
<<
, 又过点P 作圆C 的切线有两条，所以点P 在圆的外部，故21440k k ++++>，解得k ∈R ,综上可知
33k -
<<.故k 的取值范围是(33
-.
【点睛】此题主要考察了点与圆的位置关系的应用，圆的一般方程，圆的切线的条数，属于中档题.
()()sin 2f x x ϕ=+，假设521212f f ππ⎛⎫
⎛⎫
--=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，那么函数()f x 的单调递增区间为_______
【答案】5ππ
(π,π),1212
k k k -+∈Z 【解析】 因为π5π2111212f f ⎛⎫⎛⎫
--==--
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（），所以()12(),1262f k k Z πππϕπ=∴+=+∈
所以=
+2()()sin(2+2)sin(2)333k k Z f x x k x π
ππ
ϕππ∈∴=+
=+，
由52(2,2)()(,)()3221212x k k k Z x k k k Z πππππ
ππππ+∈-++∈⇒∈-
++∈得单调增区间为5πππ,π,1212k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭
.
【点睛】函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质 (1)max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2π
.T ω
=
(3)由 π
π()2
x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴
(4)由ππ
2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间;
由π3π
2π2π()22
k x k k ωϕ+≤+≤
+∈Z 求减区间
{}n a 的前n 项积为n T ，
且()*
1112
22,>2,3
n n n n T T T T n N n a --+=∈=. 假设1n n n b a a =+ ，那么数列{}n b 的前n 项和n S 为________． 【答案】11
222
n n -
++ 【解析】
1122n n n n T T T T --+=111113112(1)22222
n n n n n n T T T T n --⇒
-=⇒=+-=⇒=+ 11131
(2),1,222
n n n n T n n a n n a a T n n -++=
=≥==∴=++ 211111
22121222
n n n n b S n n n n n n ++∴=
+=-+∴=-++++++ 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间假设干项的
方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
(其中{}n a 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂
项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如
1
(1)(3)
n n ++或者1
(2)
n n +.
三、解答题：(本大题一一共6小题，一共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤.)
17.ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c ，，，假设cos sin a b C c B =+ 〔Ⅰ〕求B ；
〔Ⅱ〕假设2b = ，求ABC ∆面积的最大值。

【答案】〔Ⅰ〕4
π
1+
【解析】 【分析】
〔Ⅰ〕根据正弦定理将条件转化为只含角的等式，再利用三角形内角和为180︒，消去多余的变量，可得B; 〔Ⅱ〕根据三角形的面积公式1
sin 2
S ac B =,余弦定理及根本不等式关系可求得ABC ∆面积的最大值.
【详解】〔Ⅰ〕由正弦定理可得：sin sin cos sin sin A B C C B =+
sin()sin cos cos sin sin cos sin sin B C B C B C B C C B ∴+=+=+ sin 0C ≠ cos sin B B ∴=
又(0,)B π∈
4
B π
∴=
.
〔Ⅱ〕
1sin 24
S ac B =
= 由余弦定理可得2
2
42cos 4
a c ac π
=+-，又222a c ac +≥
故
ac ≤
，当且仅当a c =时，等号成立.
所以14
S ac =
≤. 【点睛】此题主要考察了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，根本不等式，属于中档题.解题时要根据详细的条件，利用正弦定理或者余弦定理，将条件统一成只含边或者角的等式.
18.某品牌服装店为了庆贺开业两周年，特举办“你敢买，我就送〞的回馈活动，规定店庆当日进店购置指定服装的消费者可参加游戏，赢取奖金，游戏分为以下两种： 游戏 1：参加该游戏赢取奖金的成功率为0.6，成功后可获得200元奖金；
游戏 2：参加该游戏赢取奖金的成功率为()01p p <<，成功后可得300元奖金；
无论参与哪种游戏，未成功均没有收获，每人有且仅有一次时机，且每次游戏成功与否均互不影响，游戏完毕以后可到收银台领取奖金。

〔Ⅰ〕甲参加游戏 1，乙参加游戏 2，记甲与乙获得的总奖金为ξ，假设()>3000.24P ξ=，求
()200P ξ≤的值；
〔Ⅱ〕假设甲、乙、丙三人都选择游戏 1或者都选择游戏 2，问：他们选择何种规那么，累计得到奖金的数学期望值最大？ 【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕见解析 【解析】 【分析】
〔Ⅰ〕根据甲、乙参加游戏会有4种结果，列出方程求出p 的值，再计算P 〔ξ≤200〕的值；〔Ⅱ〕分别计算甲、乙、丙都选游戏1和都选游戏2时，累计得到的奖金，再比拟它们的大小即可． 【详解】〔Ⅰ〕甲、乙参加游戏，会有4种结果；
那么P 〔ξ＞300〕＝P 〔ξ＝500〕＝p ＝，解得p ＝；
所以P 〔ξ≤200〕＝P 〔ξ＝0〕+P 〔ξ＝200〕＝×〔1﹣〕×〔1﹣〕＝； 〔Ⅱ〕都选游戏1时，设赢的人数为X ，那么X ～B 〔3，〕，
E 〔X 〕＝np ＝3×＝；
累计赢取的奖金为J 〔X 〕＝×200＝360〔元〕；
都选游戏2时，设赢的人数为Y，那么Y～B〔3，〕，
E〔Y〕＝np＝3×＝；
累计得到的奖金为J〔Y〕＝×300＝360〔元〕；
甲、乙、丙三人都选择游戏1或者都选择游戏2，累计得到奖金的数学期望值一样多．
【点睛】此题考察概率、随机变量的数学期望、二项分布的计算问题，考察推理才能与计算才能，是中档题．
P ABCD
—的底面是菱形，PO⊥底面ABCD，O，E分别是,
AD AB的中点，6,5,60
AB AP BAD
==∠=︒.
〔Ⅰ〕求证：AC PE
⊥；
〔Ⅱ〕求直线PB与平面POE所成角的正弦值；
〔III〕在DC边上是否存在点F，使BF与PA 33
，假设存在，确定点F的位置；
假设不存在，说明理由.
【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕3129
86
；〔Ⅲ〕见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意结合几何关系可证得AC⊥平面POE，据此证明题中的结论即可；
(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求得直线PB的方向向量与平面POE的一个法向量，然后求解线面角的正弦
值即可；
(Ⅲ)假设满足题意的点F 存在，设(01)DF DC λλ=<<，由直线BF 与PA 的方向向量得到关于λ的方程，解方程即可确定点F 的位置.
【详解】(Ⅰ)由菱形的性质可得：AC BD ⊥，结合三角形中位线的性质可知：OE BD ，故OE AC ⊥，
PO ⊥底面ABCD ，AC ⊆底面ABCD ，故AC OP ⊥，
且OP OE O ⋂=，故AC ⊥平面POE ，
PE ⊆平面POE ，AC PE ∴⊥
(Ⅱ)由题意结合菱形的性质易知OP OA ⊥，OP OB ⊥，OA OB ⊥， 以点O 为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系O xyz -，
那么：()()
()330,0,4,0,33,0,00,0,0,3,022P B E ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
设平面POE 的一个法向量为(),,m x y z =,
那么：40
33
3022m OP z m OB x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+
=⎪⎩
， 据此可得平面POE 的一个法向量为(
)
3,1,0m =-，
而()
0,33,4PB =-，
设直线PB 与平面POE 所成角为θ，
那么33sin 213PB m PB m
θ⋅=
=
=⨯
⨯(Ⅲ)由题意可得：()()
()3,0,0,
,3,0,0D C A --，假设满足题意的点F 存在， 设(),,F x y z ，(01)DF DC λλ=<
<，
据此可得：()()
3,,x y
z λ+=
-，即：330x y z λ=--⎧⎪
=⎨⎪=⎩
,
从而点F 的坐标为()
3,0F λ--，
据此可得：()
3BF λ=---,()3,0,4PA =-，
结合题意有：
5BF PA
BF PA
⋅=
=
⨯⨯
，解得：1
2
λ=. 故点F 为CD 中点时满足题意.
【点睛】此题主要考察线面垂直的断定定理与性质定理，线面角的向量求法，立体几何中的探究性问题
等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.
()2222:1>>0x y C a b a b +=的离心率2
e =
10x +-=被以椭圆C 的短轴为直径的圆截得的〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；
〔Ⅱ〕假设过点() 4,0M 的直线交椭圆于 ,A B 两点，且=?
MA MB λ⋅，求λ的取值范围。

【答案】(1)2
214
x y +=；(2)39(12]4，. 【解析】 试题分析：
〔1〕由直线与圆的位置关系可得1b =.由椭圆的离心率可得2a =，那么椭圆C 的方程为2
214
x y +=.
〔2〕当直线l 的斜率为0时，12MA MB λ=⋅=，当直线l 的斜率不为0时，设直线l 在y 轴上的截距
式方程为4x my =+，()11A x y ，
，()22B x y ，，联立方程可得()
2
2
48120m y my +++=，满足题意时212m >，结合韦达定理可知2
31214MA MB m λ⎛
⎫=⋅=-
⎪+⎝⎭，据此可知39
124
λ<<.综上可得39124λ⎛⎤
∈
⎥⎝⎦
，. 试题解析：
〔1
〕因为原点到直线10x +-=的间隔 为
1
2
，
所以2
2
2
12b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎝⎭
〔0b >〕，解得1b =. 又222
223
14
c b e a a ==-=，得2a =
所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=.
〔2〕当直线l 的斜率为0时，12MA MB λ=⋅=，
当直线l 的斜率不为0时，设直线l ：4x my =+，()11A x y ，，()22B x y ，， 联立方程组22
4
14
x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22
48120m y my +++=， 由(
)
2
2
=644840m m ∆-+>，得212m >， 所以122
12
4
y y m =
+，
(
)21222
12131214
4m MA MB y y m m λ+⎛⎫
=⋅==
=-
⎪++⎝
⎭
， 由212m >，得2
330416m <
<+，所以39
124
λ<<. 综上可得：
39124λ<≤，即39124λ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
，
.
点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或者y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，必须考虑全面，不要忽略直线斜率为0或者不存在等特殊情形．
()1
ln f x x x
=
+ 〔Ⅰ〕求()f x 的最小值； 〔Ⅱ〕设()*21
n n a n N n
-=
∈，证明：()123ln 1n a a a a n ++++<+.
【答案】〔Ⅰ〕1〔Ⅱ〕证明见解析 【解析】 【分析】
〔Ⅰ〕求导后利用导数求函数的极值即可得到最小值； 〔Ⅱ〕根据〔Ⅰ〕可得1()ln 1f x x x =+
≥，令1
,(2)n x n n
+=≥，结合放缩，可得22
111
ln(1)ln 1111n n n n n n a n n n n --+-≥-==>=++-，累加即可证明不等式成立.
【详解】〔Ⅰ〕函数的定义域为(0,)+∞
2
1
()x f x x -'=
，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在(0,1)x ∈时单调递减，在(1,)x ∈+∞时单调递增， 故当1x =时，函数有唯一极小值，所以函数有最小值(1)1f =. 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得1
()ln 1f x x x
=+≥， 令1,(2)n x n n +=
≥可得22111
ln(1)ln 1111n n n n n n a n n n n
--+-≥-==>=++- 当1n =时，10,ln 2ln1ln 2a =-=
1ln 2ln1a ∴-> 2ln 3ln 2a ->，…， ln(1)ln n n n a +->
123ln(1)n n a a a a ∴+>+++
+
【点睛】此题主要考察了导数的应用，数列不等式的证明，属于难题.在证明不等式时，往往要根据函数的特点，构造新的函数或者不等式，利用函数的增减性，极值或者者不等式的放缩法，来证明所给不等式，技巧性比拟强，需要多加练习总结.
请考生在第 22、23二题中任选一题做答，假如多做，那么按所做的第一题记分. 22.选修 4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3cos 3sin x t y t α
α
=+⎧⎨
=+⎩ ，〔t 为参数〕 ，以坐标原点为极点，
以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
2cos 3ρρθ+=. 〔Ⅰ〕求曲线C 的直角坐标方程，并说明它为何种曲线；
〔Ⅱ〕点P 的坐标为()3, 3，直线l 与曲线C 交于 ,A B 两点，求PA PB +的最大值.
【答案】〔Ⅰ〕2
2
(1)4x y ++=,曲线C 是一个以(1,0)-为圆心，2为半径的圆〔Ⅱ〕【解析】 【分析】
〔Ⅰ〕由曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，可知曲线C 是一个以(1,0)-为圆心，2为半径的圆.
〔Ⅱ〕直线l 过定点P ()3, 3，把3cos 3sin x t y t αα
=+⎧⎨=+⎩代入22(1)4x y ++=，得
2(8cos 6sin )90t t αα+++=，由此根据参数t 的几何意义可求出PA PB +的最大值.
【详解】〔Ⅰ〕
曲线C 的极坐标方程为2
2cos 3ρρθ+=
∴ 曲线C 的直角坐标方程为2223x y x ++=，即22(1)4x y ++= ∴ 曲线C 是一个以(1,0)-为圆心，2为半径的圆.
〔Ⅱ〕
直线l 的参数方程为3cos 3sin x t y t α
α
=+⎧⎨
=+⎩ ，〔t 为参数〕
∴ 直线l 过定点P ()3, 3
直线l 与曲线C 交于 ,A B 两点，由题意知其倾斜角α为锐角，
把3cos 3sin x t y t αα
=+⎧⎨=+⎩代入22(1)4x y ++=，得2(8cos 6sin )90t t αα+++= 由∆>0，得2(8cos 6sin )360αα+->，
8cos 6sin 6αα+> 或者8cos 6sin 6αα+<- 〔舍去〕
又由于点,A B 均在点P 的下方，由参数t 的几何意义得：
12()8cos 6sin 10sin()PA PB t t αααϕ+=-+=+=+，其中4tan 3
ϕ=
， 当+2
π
αϕ=
时，PA PB +的最大值为10.
【点睛】此题考察了曲线的直角坐标方程与极坐标方程的互化，考察利用直线参数的几何意义求两线段和的最值，涉及三角函数的变形化简，考察了运算才能，属于中档题.
23.选修 4－5：不等式选讲 函数()3f x x m x =--.
〔1〕假设2m =，解不等式()5f x <的解集；
〔2〕假设关于x 的不等式()1f x ≥在R 上恒成立，务实数m 的取值范围. 【答案】〔1〕2
(,2)3-〔2〕1(,]3
-∞- 【解析】 【分析】
〔1〕分类讨论去掉绝对值符号，分别求解取并集即可．
〔2〕分别作出|3|,||1y x y m x =-=+的图象，观察可求解m 的范围． 【详解】〔1〕依题意，|3|2||5x x -+<. 当0x <时，325x x --<，即23x >-
，故2
03
x -<<； 当03x ≤≤时，即325x x -+<，即2x <，故02x ≤<；
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

当3x >时，325x x -+<，即83x <，故无解. 综上所述，不等式()5f x <的解集为2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭
. 〔2〕依题意，|3|||1x m x --≥，故|3|||1x m x -≥+〔*〕，
显然0m ≥时，〔*〕式不恒成立，
当0m <时，在同一直角坐标系中分别作出|3|,||1y x y m x =-=+的图象如以下图所示，
观察可知，13m ≤-，即实数m 的取值范围为1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦
. 【点睛】此题考察绝对值不等式的解法，含绝对值的函数图像的应用，考察转化思想以及计算才能，属于中档题．
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。