大学物理实验A1弹性模量的测量实验报告

清华大学
测量弹性模量试验物理实验完整报告班级姓名学号
结稿日期：
弹性模量的测量实验报告
一.拉伸法测弹性模量
1 •实验LI 的
（1） ・学习用拉伸法测量弹性模量的方法； （2） •掌握螺旋测微计和读数显微镜的使用。

2. 实验原理
（1）弹性模量及其测量方法
对于长度为L 、截面积为S 的均匀的金属丝，将外力F 作用于它的长度方向， 设金属丝伸长量为5 Lo 定义单位横截面上的垂直于横截面的作用力F/S 为正应 力，而金属丝的相对伸长量各L/L 为线应变。

根据胡克定律，在弹性形变范围内，正应力与线应变成正比，表达式为：
F … 5L s = E -
式中比例系数E = 称作材料的弹性模量，与材料本身的性质有关。

在本实验
中，设钢丝的直径为D,则钢丝的弹性模量可进一步表示为：
4 FL irD 2
§ L
公式（2）即为本实验的计算公式。

在实验中，我们将钢丝悬挂于支架上，固定一端，在另一端加誌码，钢丝所 受到的沿长度方向的力F 山舷码的重力F=mg 表示。

用读数显微镜可以测岀钢丝 相应地伸长量5L （微小量）。

此外，钢丝长度L 用钢尺测量（本实验中钢丝长度 数据已给岀），钢丝直径用螺旋测微讣测量。

3. 实验仪器
竖直金属支架，读数显微镜，支架底座，螺旋测微讣。

4. 实验步骤
（1） 调整钢丝竖直。

钢丝下端应先挂硅码钩，用以拉直钢丝。

调节底座螺钉，使 得底座
水平，保持钢丝以及下端夹具不与周圉碰蹭。

（2） 调节读数显微镜。

首先粗调显微镜高度，使得显微镜与标记线（细铜丝）同 高。

然后进行细调，先调节LI 镜看到义丝清晰的像，再前后移动镜筒看清标记线， 使标记线的像与义丝无视差。

⑶测量：测量钢丝长度L 及其伸长量§ L 。

先读出无耘码，仅有耘码钩（质量为 0. 200kg ）时标记线的位置（反映在鼓轮上），然后在琏码钩上每加一个碓码（质 量均为0. 200kg ）,
(1)
(2)
读下一个位置yi。

先从无舷码逐步增加到九个琏码，增加完
毕后，消除空程影响后，再依次递减到无祛码，乂得一组数据。

用螺旋测微计在钢丝的不同地方测量直径D共6次，测量前后记录下螺旋测微计的零点d各3 次。

5.数据记录
⑴测量钢丝的长度L及其伸长量§L 仪器编
号：8钢丝长度L=100. Ocm
另外，也可以采用逐差法分析数据，数据整理如下:
r=x+5 - “ 1.238 1. 281 1.269 1. 335 1. 315 减舷码时
” (mm)
0. 540
0. 870 1. 113 1. 382 1.590 九5 (
mm)
1.882
2. 152
2. 389
2.649
2.925
K = x+5 一 x
1. 342
1.282 1.276 1.267 1. 335 •
1
1 2 3 4 5 /* +/• L 2 '伽)
1.290
1.282
1.273
1. 301
1.325
（2）铜丝直径D
mm ）
测量前 -0. 005 -0. 007 平均值
d 。

-0.007/WH
测量后
-0. 009
-0. 008
序号
1 2 3 4 5 6 口（mm ） 0.210
0. 209
0.210
0. 211
0.211
0. 209
（1）钢丝的直径
6
-工U
山表中数据，D =上」= 0.210,对已定系差进行修正，得钢丝直径测量值
6
已知螺旋测微讣的示值误差△仪=0.0040切八故
所以钢丝直径的测量值为D = （0.2170±0.0040）/H /»。

» =万一厂=0・217・标准偏差切
^8.944X 10"4//?/7? o
A D
=0.004108600709 心 4.0x
（2） &•最小二乘法作图处理钢丝长度数据
5
10
狂码重力Fi （ N ）
Figure 1钢丝长度（通过标记线位置反应）与琏码重力的关系图 选取经验公式y
= a + hx 对斥和刀做最小二乘法分析，山表中数据计算出:
gO ・2978,必0.1319,而直线拟合的相关系数
. _______ _ ______ «0.9996,可见斥和儿线性关系良好。

根据拟合曲线的
竝（△叭
*）2
性质有比=理=巴=b,所以k 的不确定度可用b 的不确定度表示。

F dF
由公式=
代入数据计算得256936764xlO-3,故
A Z) Q 9J81748843X10-1 «0.9xl03,故
3
2.5
2
1.5
15 °
由本实验的计算公式E = 吾，可令k = -,则计算公式化为E = t nD* o L p
〜 以坊为自变量，儿为因变量，用Mat lab 绘制图像如下：
EE
二一惡燧紹擂
20
>[n V10 /? = (131・9±0・9”10刁(〃伽/“) b •逐差法处理钢丝长度数据对表中的数据进行处理，山公式:
- / (v)
代入数据得Z = 1.294, 5Z ^0.02019,则△八=斗二® = 0.0250356 a0.025
考虑仪器的误差，本实验读数显微镜测位置开的仪器误差为0. 004mm,用它测 \ = X+5 -)「则= J △畑仪？+△”仪2=逅 x 0.0040mm ，故
A z = +A/ «0.025******* « 0.025 , 乂因为 1 = 5刃,所以 J/ = l/= 0.2588 且 △刃=1A / 2 0.005 ,故测量得出的刃=(0.259± 0.005)〃m 。

(3) 钢丝弹性模量
a.最小二乘法计算弹性模量
山推导得出的计算公式E 匕，代入数据得 eb
4x1.000
又因为0①3mm ，故
皆
WWW
所以「誓“04%2。

5"心曲 最终结果E = (205±8)GPa b.逐差法计算弹性模量 对钢丝施加的力 F=mg=0. 200X9. 80=1. 96(X)
(4)
AT
E = 一丁 = .............. 丁 ---------- 乂 205GPa
兀小 ^x (0.217xl0"3yxl31.9xl0-6
(5)
2x4
217 yuooo Q 0.0376123195". 040 0.9
131.9 (6)
屯=
由实验计算公式,得
4FL __________ E = 一「= ------------------ ； 心 \02GPa
兀DPI ^x (0.217xl0-3y x0.518xl0"3
实验室给出半=0.5%, a 故而
故斗誓“04E02G 吩4.S 最终结果E = (102・0±4・1)GP“
7・i 吴差分析
为了研究实验精度如何提高，下面讨论计算公式中各个物理量的误差对于最 终误差的贡献。

a.最小— •乘法拟合直线：
山”盏得瞥於2+存卜（汀各部分相对不确定度计算如下:
0 L
2A D ~D^ h 0. 00300
0. 03687
0. 00068
由肛籀得瞥® +（牛）+（營）彳第，各部分的相对不确定 ~F L 4 D
61 0. 005 0. 003
0. 036
0.019
故直径测量对于弹性模量最终的准确度影响较大。

因而测量钢丝直径时，必 须正确使用螺旋测微讣的棘轮，并且要选定多个测量点进行测量，并且避免弄弯 钢丝带来误差的加大。

另外在逐差法中，口的测量对于最终的测量精确度也有 不小影响，因此，在每次转动鼓轮时，一方面要注意避免空程带来误差，一方面 要使得每次义丝对准标记线中央，尽量避免读数误差。

8 •关于本实验其他方面的思考和问题讨论
4xl.96xl.000 (7)
(8)
（1）螺旋测微计使用注意事项是什么？棘轮如何使用？测微计用毕后应作何处置？
答：使用前后都应检查零点；测量时手握在螺旋测微计的绝热板部分，尽量少接触被测工件，以免热胀冷缩影响测量精度；测量时必须使用棘轮，当测微螺杆端面将要接触到被测物之前，应旋转棘轮，直至接触上被测物时，棘轮自动打滑，听到三声“嗒”的声音后应停止旋转棘轮读数；螺旋测微计用毕将螺杆回转儿圈，留出空隙，防止因为热胀，螺杆变形。

（2）在本实验中读数显微镜作测量时哪些情况下会产生空程误差？应如何消除它？
答：当手轮改变转动方向时产生空程，在连续测量的过程中如果反方向转手轮，便会产生空程误差。

消除的办法是：在增（减）確码的测量过程中始终按一个方向转动手轮，从增祛码变为减祛码的时候，在开始读取减誌码数据之前应保证手轮已经在减舷码方向转过儿圈。

（3）本实验如果改用光杠杆法测量微小伸长量，实验装置应作何考虑？
答:光杠杆的平面镜两个前尖足放在支架平台上，后尖足应放在待测钢丝的下夹具平台上，这样便可通过望远镜和标尺观察平面镜的微小变化以测量钢丝的微小伸长量了。

具体的实验装置和原理图见下：
Figure 2光杠杆法测量弹性模量原理图
9.实验心得与体会
（1）•通过本实验，我掌握了螺旋测微讣和读数显微镜的使用，初步了解了拉伸法测量弹性模量的方法，提高了动手能力和对理论知识的理解。

（2）・在本次实验中，舷码应该轻拿轻放，螺旋测微计的读数也要注意规则，不然会带来较大的误差。

（3）・通过对实验结果的数据处理和分析，让我加深了对于最小二乘法和逐差法的理解，运用更加熟练。

-X动力学法测弹性模量1 •实验LI的
（1）・学习用动力学法测量弹性模量；
（2）・学习用实验方法研究与修正系统误差.
2.实验原理
考察一根细长棒（长度1远大于比横向半径d）的横振动。

沿x方向建立一维坐标系，使得棒的轴线与坐标轴重合，棒的一端与坐标原点重合，将棒上距离左端X处截面的
Z方向位移设为〃，E为该棒的弹性模量，P为材料密度，S为棒的横截面面积，"JJz'dS
为某一横截面的惯性矩。

根据动力学规律可以列出方程：
列+旦空=0
dr pS dx（9）假设棒中每点作简谐振动，可得方程（9）的通解为
j］（x,/） = （cosh Kx+sinh Kx+B y cos Kx+B4sin Kx） Acos（co（ + （p）（⑹丄式中。

彳「为频率公式，3对任意形状截面的试样，不同的边界条件均成立。

常数尺由边界条件确定。

已知根据本实验的边界条件，有
cos AVxcosh KI = \（11）用数值解法可以得上述方程的一系列根，它们分别为
K丿二0, 4.730, 7.853, 10.996, 14.137, ...
其中K（）/ = °对应静止状态。

将© =4.730记做第一个根，对应的振动频率称为基振频率。

于是试样在做基频振动时，存在两个节点，分别位于距离端面0.224/ 和0.7761 处。

我们将X帘代入频率公式，得到基频掘动的固有频率为
4.730E/ 2
CD = ---- --
L以$」，解出棒的弹性模量为：
E = 1.9978 x 10~3以丄ccr = 7.8870xW2—f2
1 1 ' （12）其中m = plS为棒的质量，f为棒的基振频率。

/=ffz2JS = —
对于直径为d的圆棒，惯量矩表达式为，64 ,代入上式得：
— 1.6067 畀厂小（⑶但是，山于在实际实验测量时，常常不能满足d《I“的细长棒''假设条件，故应在上式乘上修正系数人（人可以根据d/1的不同数值和材料的泊松比查表知）, 即得：
E = 1.6067 伴厂7；
“（14）式（14）将作为本实验的计算公式。

3.实验仪器
如下图，本实验中，用两根细线将被测试样悬挂在换能器1、2下面。

两个换能器分别为激振器和拾振器。

信号发生器输出的信号加在激振器上，激发试样振动，拾振器将振动转变为电信号。

拾振器和信号发生器输出的信号分别加在示波器两个通道上，通过示波器波形和峰值示数判断样品发生基频共振的频率，并记录这一频率，进而计算弹性模量。

实验中还需要使用的仪器有：游标卡尺（测量棒的长度）和螺旋测微计（测量棒的直径）。

Figure 3实验装置图
4.实验步骤
（1）・连接线路，把信号发生器和示波器调节至工作状态；
（2）・用游标卡尺测量样品的长度，螺旋测微讣测量样品的直径（在不同部位测6次），并在读数前后记录螺旋测微仪的零点以修正已定系差。

用电子天平测量样品的质量；（3） .理论上，样品作基频共振时，悬点应置于节点处，即距棒的两端面分别为0.224/和
0.7761的地方。

但这种情况下，棒的振动无法被激发，即传送给示波器的信号很弱。

所以，若欲激发棒的振动，悬点必须离开距棒的两端面分别为0.224/和0.7761处。

这样与理论条件不一致从而导致系统误差。

在实验中采用外推的思想，在两个基频节点处左右30mm范围内同时对称地改变两悬线的位置，每隔齐10mm测量一次共振频率。

画出共振频率f与悬线位置x 的关系曲线。

山该图可准确求出悬点在节点位置的基频共振频率。

（4）•注意事项
[1]・轻放轻动，防止损坏悬线；
[2]. 信号发生器与示波器要共地；
[3]. 激振器上加的正弦信号幅度限制在5V'6V （峰峰值）；
[4]・寻找共振点时，调节信号发生器频率要极其缓慢。

注意判断假共振信号。

5.数据记录
（1）被测棒的长度L二209.72mm;
（2）被测棒的质量m=35. 75g;
（3）被测棒的直径
测定螺旋测微计的零点/（单位：mm）
以棒的左端点为原点建立一维坐标系，计算得节点位置=46.98/n/z/, x2 = 162.74〃〃“ ,
在节点两侧对称位置测量共振频率
序号
1 2 3 4 5 选线位置x(mm) 16. 98 26. 98 36. 98 41.98 43. 98 共振频率f(Hz) 377. 08 374.80 372.34 371. 29 371.71 序号
6 7 8 9 10 选线位置x(nun) 49. 98 51.98 56. 98 66. 98 76. 98 共振频率f(Hz.)
370. 71
371.47
372.20
373. 20
375. 19
6. 数据处理
(1)被测样品基频共振频率
通过MATLAB 的科学计算，作出“f -x”曲线(f 是铜棒的基频共振频率，x 是左悬线的位
置)，
III Figure 3可知「f-x”曲线最低点坐标是(48. 20, 371. 30)确定铜棒的本征基 频= 371.30Hz ,
在棒上位于距两端X 。

=48.2〃〃”处取得。

(2)棒的直径
378
\ 匚
击 实验数据 ----- 多项式拟合・
、
\
\
/
\
\
/
4
370 10
20 30
40 50
60 70 80
悬线位置(mm )
Figure 4铜棒的基频共振频率与悬线的位置关系图
通过计算机编程，得到多项式 / = -3・4x 1 (TV + O.OOO63%3 -O.O36.V 2 +
377
375 374 373 372
37
1 (仝
)盼很竖
#
376
由表中数据，％ = 宁 =4.944/H/n ,得铜棒直径测量值d = 4= 4.944mm. 6
已知螺旋测微计的示值误差△仪=0・004〃皿,故
4.368192726 x 10* 0・004〃〃〃
所以铜棒直径的测量值为J= (4.944 ±0.004>/«。

(3)查表得人
本实验中用的样品为标准规格为d = 5mmJ = 210mm的紫铜圆杆，查表知
7； =1.0031
(4)计算样品弹性模量E
E = 1.6067 ^/2T,
“.6。

67十。

9・72皿)"・75皿8.3“.阴(⑸
进一步计算E的不确定度。

在本实验中，亠=0・10H乙亠=0・05g，d =0・02〃〃儿由以上计算得，△才=O.OO4/7Z77Z，故
3.57789969 xlO3
进而求的厶严主E Q 0.4387719215GPa = OAGPa
E
最终结果E = (122・6±0・4)GPd
标准偏差％ =
立4-
可2
(4.944 xlO"3)4
a 122.633936GP。

a 122.6GP"
3x0.02
209.72
0.05
+ ------
135.75
4x0.004 \
4.944 ；
[2x0.10]
371.3 > (16)
0.001673〃〃
“ o
7.误差分析
(1)物理量误差分析
由计算公式E = 1.6067
由各项物理量分别的误差可知，本实验中对于铜棒直径的测量对于最终结果的精确度影响较大，因此使用螺旋测微计的时候应该尽量减小误差。

同时，质量测量对于最终的精度影响也较大，因此，为获取更高精确度的最终结果，可以采用精确度更高的天平。

同时、从样品规格层面考虑，如果选择直径更大，质量更大的样品，即更粗的铜棒，可以减小如和牛,
m a
但是在本实验中应要求棒尽量接近细长棒，所以增大半径不能无限制，可以通过计算选择实际可容忍误差范围内最细的样品。

(2)拟合曲线误差分析
Figure 5多项式拟合残差图
山上图可知，多项式拟合时误差分布相对均匀，同时数值相对较小，均在0.6 以下。

因
此，本次实验的实验结果与多项式的拟合理论值吻合度较好，多项式的表达式误差较小，可以比较准确得描述基频共振频率与悬线的位置的关系。

8.心得与体会
（4）.通过本次试验，我对于将动力学量转化为电信号的换能器的工作特点有了初步的了解，并了解了示波器的部分基本功能。

（5）・通过本次试验的学习，我乂掌握了两种测试材料弹性模量的方法，对比以往学过的光杠杆-拉伸法，发现了不同方法的优缺点和针对不同材料的不同适用性。

在实验中感受到理论学习和实验探索的区别。

（6）•通过对于数据的处理，理解和掌握了利用多项式进行趋势拟合的图像处理方法，通过对本次实验设计的感悅收获了测量不易测量的量的一种方法：通过测量两侧的值，利用其变化的连续性推出不易测量点的相应物理量的值。

附：原始数据记录表格:。