成都高新顺江学校选修一第二单元《直线和圆的方程》测试(包含答案解析)

一、选择题
1．下列命题中，正确的是（ ）
A ．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α
C ．若直线倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，则斜率k 的取值范围是(,[1,)-∞⋃+∞ D ．当直线的倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢
⎥⎣⎦时，直线的斜率在这个区间上单调递增. 2．若圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离为
k 的值是（ ）
A ．2-
B ．2
C ．2-或2
D ．2-或0 3．如果实数x 、y 满足22640x y x +-+=，那么
y x 的最大值是（ ）
A ．23
B
C
D 4．已知圆22:3C x y +=，从点()2,0A -观察点()2,B a ，要使视线不被圆C 挡住，则a 的取值范围是 （ ）
A ．⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭
B ．()(),22,-∞-+∞
C ．((),23,-∞-+∞
D ．(()
,-∞-⋃+∞ 5．直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，那么点(),a b 与圆22+1x y =的位置关系是（ ）
A ．点在圆外
B ．点在圆内
C ．点在圆上
D ．不能确定 6．光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（ ）
A ．5270x y -+=
B ．310x y +-=
C ．3240x y -+=
D ．230x y --= 7．夹在两平行直线1:340l x y -=与2:34200l x y --=之间的圆的最大面积等于（ ） A ．2π B ．4π C ．8π D ．12π
8．赵州桥，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵具古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面上涨2米后，桥在水面的跨度为（ ）
A ．10米
B ．米
C ．米
D ． 9．已知点()1,0A m -，()()1,00B m m +>，若圆C ：2288280x y x y +--+=上存
在一点P ，使得PA PB ⊥，则实数m 的取值范围是( )
A ．3m ≥
B ．3m 7≤≤
C ．27m -<≤
D ．46m ≤≤ 10．直线210y x -+=关于30y x -+=对称的直线方程是（ ） A ．280x y --= B ．2100x y --= C ．2120x y +-= D ．2100x y +-= 11．已知圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>，若圆C 上至少有3个点到直线20x y ++=
，则实数r 的取值范围为（ ）
A
．(0,
B
． C
．)+∞ D
．+∞[) 12．曲线21
4y x 与直线(2)4y k x =-+有两个相异交点，则k 的取值范围是（ ）
A ．50,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．13,34⎛⎤
⎥⎝⎦ C ．53,
12
4 D ．5,12⎛⎫+∞
⎪⎝⎭ 二、填空题
13．直线:20l mx y m --+=与圆22:6O x y +=交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则AOB 面积的最大值为__________.
14．已知圆O ：221x y +=，圆M ：22()(2)2x a y -+-=．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得PA PB ⊥，则实数a 的取值范围为______． 15．若直线0x y m +-=
与曲线2y =没有公共点，则实数m 所的取值范围是______.
16．设()11,M x y 、()22,N x y 为不同的两点，直线:0l ax by c ++=，
1122ax by c ax by c
δ++=++，以下命题中正确的序号为__________． （1）存在实数δ，使得点N 在直线l 上；
（2）若1δ=，则过M 、N 的直线与直线l 平行；
（3）若1δ=-，则直线l 经过MN 的中点；
（4）若1δ>，则点M 、N 在直线l 的同侧且直线l 与线段MN 的延长线相交； 17．若M 是直线cos sin 10x y θθ++=上到原点的距离最近的点，则当θ在实数范围内变化时，动点M 的轨迹方程是______．
18．如图，已知圆22:16,,O x y A B +=是圆O 上两个动点，点(2,0)P ，则矩形PACB 的顶点C 的轨迹方程是___________．
19．已知圆C 的方程是2220x y y +-=，圆心为点C ，直线:20λλ+-=l x y 与圆C 交于A 、B 两点，当ABC 面积最大时，λ=______．
20．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+，曲线2C 的方程为22(1)4x y ++=，若1C 与2C 有且仅有三个公共点，则实数k 的值为_____．
三、解答题
21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 过点A （1，2），B （7，－6），且圆心在直线x ＋y －2＝0上.
（1）求圆M 的标准方程；
（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于C ，D 两点，且CD =2OA ，求直线l 的方程. 22．已知圆C 过A （1，5）、B （4，2）两点，且圆心在直线2y x =上，直线l 过点()3,2P --且与AB 平行．
（1）求直线l 及圆C 的方程；
（2）设点M 、N 分别是直线l 和圆C 上的动点，求|MN |的取值范围．
23．已知关于x ，y 的方程22:240C x y x y m +--+=．
（1）若圆C 与圆22812360x y x y +--+=外切，求m 的值；
（2）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于M ，N 两点，且5||5
MN =，求m 的值． 24．已知圆心为C 的圆经过A （1，1）和B （2，－2），且圆心C 在直线l ：10x y -+=上.
（1）求圆心为C 的圆的一般式．．．
方程； （2）是否存在过原点的直线l ′与⊙C 交于E 、F 两点且使EF 为直径的圆过点M （230），若存在，求出直线l ′方程，若不存在说明理由.
25．（1）如图，已知直线l ： 0mx ny r ++=（0mn ≠）外一点P （a ，b ），请写出点P
到直线l 的距离PH 的公式及公式的推导过程．．．．
.
（2）一质点从点(4,0)A 处沿向量(1,1)a =-方向按每秒2个单位速度移动，求几秒后质点与点(2,4)B 距离最近.
26．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的方程为22(1)4x y -+=，M 点的坐标为(3，-
3).
（1）求过点M 且与圆C 相切的直线方程.
（2）已知圆222:420Q x y x ay a +-++=，若圆Q 与圆C 14，求圆Q
的方程.
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据直线斜率与倾斜角存在的关系tan k α=对每个选项逐一分析，需要注意直线有倾斜角但不一定有斜率.
【详解】 倾斜角的范围为0,2π⎛
⎫ ⎪⎝⎭时，直线斜率0k >，倾斜角的范围为,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
时，直线斜率0k <，故A 错误；直线的倾斜角=2π
α时，直线斜率不存在，故B 错误；直线倾斜角
2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，则斜率tan k α=的范围为(,3][1,)-∞⋃+∞，故C 正确；斜率tan k α=在,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭和2,23
ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，故D 错误. 故选：C.
【点睛】
关于直线的倾斜角与直线斜率之间的关系需要注意：
（1）当直线倾斜角为=2π
α时，直线的斜率不存在；
（2）倾斜角的范围为0,2π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
时，直线斜率0k >，直线斜率随着倾斜角增大而增大；倾斜角的范围为,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
时，直线斜率0k <，直线斜率随着倾斜角增大而增大； （3）利用倾斜角的范围研究斜率的范围，或者利用斜率的范围研究倾斜角的范围，需要利用函数tan k α=分析定义域与值域的关系.
2．B
解析：B
【分析】
将圆的方程化成标准方程，求出圆心及半径r ，圆心到直线的距离为d ，则圆上的点到直线的最大距离为d r +
【详解】
圆22220x y x y k +---=化成标准形式()()22
112x y k -+-=+，圆心()1,1，半径
r =2k >-；
圆心()1,1到直线100x y +-=的距离
===d
圆上的点到直线的最大距离为+==d r
=，
解得：2k =或2k =-（舍去）
故选：B
【点睛】
结论点睛：本题考查直线与圆的位置关系，求圆上点到直线的最大距离与最小距离常用的结论：设圆的半径r ，圆心到直线的距离为d ，
（1）当d r 时，圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小距离为d r -；
（2）当d r ≤时，圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小距离为0；
3．D
解析：D
【分析】 本题首先可求出圆的圆心与半径，然后将y x
看作圆上一点(),x y 与()0,0连线的斜率，并结合图像得出当过原点的直线与圆相切时斜率最大，最后根据直线与圆相切即可得出结果.
【详解】
22
640x y x +-+=，即()2
235x y -+=，圆心为()3,0 y x
的几何意义是圆上一点(),x y 与()0,0连线的斜率， 如图，结合题意绘出图像：
结合图像易知，当过原点的直线与圆相切时，斜率最大，即
y x 最大， 令此时直线的倾斜角为α，则5tan 2
α=，y x 5， 故选：D.
【点睛】 关键点点睛：本题考查直线的斜率的几何意义的应用，考查直线与圆相切的相关性质，能否将
y x
看作点(),x y 与()0,0连线的斜率是解决本题的关键，考查数形结合思想，是中档题. 4．D
解析：D
【分析】
设过点与圆相切的直线为()2y k x =+，则圆心到直线的距离解得3k =，可得切线方程为)32y x =±+，由A 点向圆C 引2条切线，只要点B 在切线之外，那么就不会被遮挡，
即a 大于B 点在x 轴上方的纵坐标或者小于B 点在x 轴上方的纵坐标即可.
【详解】
设过点()2,0A -与圆22
:3C x y +=相切的直线为()2y k x =+，则圆心()0,0到直线的2231k k =+3k =∴切线方程为)32y x =±+，由A 点向圆C 引
2条切线，只要点B 在切线之外，那么就不会被遮挡，
B 在2x =的直线上，在)32y x =±+中，取2x =，得43y =±，
从A 点观察B 点，要使视线不被圆C 挡住，需43a >43a <-，
∴a 的取值范围是(()
,4343,-∞-⋃+∞，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，关键点是求过A 点且与圆相切时的直线方程，考查分析问题解决问题的能力.
5．A
解析：A
【分析】
直线1ax by +=与圆221x y +=||
221a b <+，即为
221a b +>，由此可得点与圆的位置关系．
【详解】
因为直线1ax by +=与圆22
1x y +=有两个公共点， ||221a b <+， 221a b +>，
因为点(,)b a 与22
1x y +=22a b +
圆224x y +=的半径为1，所以点P 在圆外.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是将直线与圆的位置关系的判断式和点与圆的关系的判断式联系起来. 6．A
解析：A
【分析】
根据题意做出光线传播路径，求()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --，点(1,6)D -关于x 轴的对称点()'1,6D ，进而得BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程，再根据两点式求方程即可.
解：根据题意，做出如图的光线路径，
则点()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --，
点(1,6)D -关于y 轴的对称点()'1,6D ，
则BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程，
由两点是方程得''A D 直线方程为：436413
y x ++=++，整理得：5270x y -+= 故选：A.
【点睛】
本题解题的关键在于做出光线传播路径，将问题转化为求A 关于x 轴的对称点'A 与D 关于y 轴的对称点'D 所在直线''A D 的方程，考查运算求解能力，是中档题.
7．B
解析：B
【分析】
夹在两平行直线之间的面积最大的圆与这两条直线都相切，求出直径即可得到面积
【详解】
两平行直线1:340l x y -=与2:34200l x y --=之间的距离：
20
4916d ==+，
夹在两平行直线1:340l x y -=与2:34200l x y --=之间的圆半径最大值为2， 所以该圆的面积为4π.
【点睛】
此题考查求两条平行直线之间的距离，关键在于熟记距离公式正确求解.
8．C
解析：C
【分析】
根据题意，建立圆拱桥模型，设圆O 半径为R , 当水面跨度是20米，拱顶离水面4米，分
析可得22100(4)R R =--，求出R ，当水面上涨2米后，可得跨度2CD CN =，计算可得解. 【详解】 根据题意，建立圆拱桥模型，如图所示： 设圆O 半径为R ,当水面跨度是20米，拱顶离水面4米，此时水面为AB ，M 为AB 中点，即20AB =，4OM R =-，
利用勾股定理可知，2
2222AB AM OA OB ==-，即22100(4)R R =--，解得292
R =， 当水面上涨2米后，即水面到达CD ，N 为CD 中点，此时2ON R =-，
由勾股定理得2222(2)66CD CN R R ==--=.
故选：C
【点睛】
关键点睛：本题考查圆的弦长，解题的关键是利用已知条件建立模型，利用数形结合求解，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于基础题.
9．B
解析：B
【分析】
根据题意，分析圆C 的圆心坐标以及半径，设AB 的中点为M ，由AB 的坐标分析M 的坐标以及|AB |的值，可得以AB 为直径的圆；进而分析，原问题可以转化为圆C 与圆M 有公共点，结合圆与圆的位置关系，分析可得答案．
【详解】
根据题意，圆2288280C x y x y +--+=：，即()()22
444x y -+-=； 其圆心为()4,4，半径2r =，
设AB 的中点为M ，
又由点()()1,0,1,0,A m B m -+则()1,0,2M AB m =，
以AB 为直径的圆为()2221x y m -+=，
若圆2288280C x y x y +--+=：上存在一点P ，使得PA ⊥PB ，则圆C 与圆M 有公共点，
又由5MC ==，
即有25m -≤且25m +≥,即37m ≤≤，
又0,37m m >∴≤≤，
故选：B.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，注意将圆问题转化为圆与圆的位置关系，属于基础题． 10．A
解析：A
【分析】
设所求直线上任意一点()()11,,,P x y Q x y 是P 关于直线30y x -+=的对称点，根据对称
关系求得11
33x y y x =+⎧⎨=-⎩,代入直线210y x -+=的方程整理即得所求. 【详解】
解：设所求直线上任意一点()()11,,,P x y Q x y 是P 关于直线30y x -+=的对称点， 则11111302
2y y x x y y x x -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪-+=⎪⎩，解得1133x y y x =+⎧⎨=-⎩, 由对称性得Q 在直线210y x -+=上，()()23310x y ∴--++=,
即280x y --=,
故选：A.
【点睛】
根据“一垂直二中点”列出方程组，求得11
33x y y x =+⎧⎨=-⎩是解决问题的关键，利用轨迹方程思想方法求直线的方程也是重要的思想之一.
11．D
解析：D
【分析】
根据题意，得到直线不过圆心，且求得圆心到直线的距离，结合题中条件，得到实数r 的取值范围. 【详解】
圆2
2
2
:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>的圆心(1,1)到直线20x y ++=为：
d =
=，
且直线20x y ++=不过圆心，
若圆2
2
2
:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>上至少有3个点到直线20x y ++=
，
则有r ≥= 所以实数r
的取值范围为+∞[)， 故选：D. 【点睛】
思路点睛：该题考查的是有关直线与圆的相关问题，解决该题的思路如下： （1）求得圆心到直线的距离，并且发现直线不过圆心； （2）结合题中条件，得到r 的取值范围.
12．C
解析：C 【分析】 曲线214y x 表示半圆，作出半圆，直线过定点(2,4)，由直线与圆的位置关系，通
过图形可得结论．
【详解】 曲线21
4y x 是半圆，圆心是(0,1)C ，圆半径为2，直线(2)4y k x =-+过定点
(2,4)P ，作出半圆与过P 的点直线，如图，
PD
2=，解得5
12k =
，即512
PD k =， (2,1)A -，413
2(2)4
PA k -=
=--，
∴53,124k ⎛⎤
∈
⎥⎝
⎦． 故选：C ．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，数形结合思想是解题关键，由于题中曲线是半圆，因此作出图形，便于观察得出结论．
二、填空题
13．3【分析】设出圆心到直线的距离为利用几何法求出表示出面积再利用二次函数的性质即可求出【详解】可得直线的定点在圆内则设圆心到直线的距离为则当即即时取得最大值为3故答案为：3【点睛】关键点睛：本题考查圆
解析：3 【分析】
设出圆心O 到直线的距离为d ，利用几何法求出AB ，表示出面积，再利用二次函数的性质即可求出. 【详解】
可得直线:20l mx y m --+=的定点()1,2在圆内，则m R ∈ 设圆心O 到直线的距离为d ，则221
m d m -=
+226AB d =-，
∴()224221
66392
AOB
S
AB d d d d d d =⨯⨯=-=-+=--+ 当23d =，即
()2
2
231
m m -=+，即26
m -±=
时，AOB
S 取得最大值为3.
故答案为：3. 【点睛】
关键点睛：本题考查圆内三角形面积的最值问题，解题的关键是利用几何法求出AB ，表示出三角形面积，利用二次函数性质求解.
14．【分析】将转化为由圆与圆：有公共点可解得结果【详解】因为所以所以所以圆与圆：有公共点所以所以得所以故答案为：【点睛】关键点点睛：转化
为圆与圆：有公共点求解是解题关键 解析：22a -≤≤
【分析】
将PA PB ⊥转化为PO =，由圆222x y +=与圆M ：22
()(2)2x a y -+-=有公共
点可解得结果. 【详解】
因为PA PB ⊥，所以4
APO BPO π
∠=∠=，
所以1PA PB ==，PO =
，
所以圆2
2
2x y +=与圆M ：22()(2)2x a y -+-=有公共点，
所以OM PO PM ≤+=
=
≤24a ≤，所以22a -≤≤. 故答案为：22a -≤≤ 【点睛】
关键点点睛：转化为圆22
2x y +=与圆M ：22
()(2)2x a y -+-=有公共点求解是解题
关键.
15．【分析】根据题意作出曲线的图象然后采用平移直线的方法求解出的临界值由此求解出的取值范围【详解】如下图所示：即为表示圆心在半径为的半圆当直线与曲线在左下方相切时此时所以此时（舍）或；当直线经过点时所以
解析：((),12,-∞⋃+∞
【分析】
根据题意作出曲线2y =的图象，然后采用平移直线的方法求解出m 的临界值，由此求解出m 的取值范围. 【详解】
如下图所示：2y =()()()2
2
12112x y y ++-=≤≤，表示圆心在
()1,2-，半径为1的半圆，
当直线与曲线在左下方相切时，此时0m <1=，此时1m （舍）
或1m =
当直线经过点()0,2时，020m +-=，所以2m =，
综上可知：当直线与曲线2y =((),12,m ∈-∞⋃+∞，
故答案为：((),12,-∞⋃+∞.
【点睛】
思路点睛：根据直线与半圆的交点数求解参数范围的思路： （1）根据条件画出半圆的图象确定好圆心和半径； （2）采用平移直线的方法确定出直线的临界位置；
（3）利用圆心到直线的距离公式以及直线经过某点求解出参数的临界值，由此确定出参数的取值范围.
16．②③④【分析】①点在直线上则点的坐标满足直线方程从而得到进而可判断①不正确②若则进而得到根据两直线斜率的关系即可判断②③若即可得到即可判断③④若则或根据点与直线的位置关系即可判定④【详解】解：若点在
解析：②③④ 【分析】
①点在直线上，则点的坐标满足直线方程，从而得到220ax bx c ++=，进而可判断①不正确．
②若1δ=，则1122ax by c ax by c ++=++，进而得到1221y y a
x x b
-=--，根据两直线斜率的关系即可判断②．
③若1δ=-，即可得到1212
(
)()022
x x y y a b c ++++=，即可判断③． ④若1δ>，则11220ax by c ax by c ++>++>，或11220ax by c ax by c ++<++<，根据点与直线的位置关系即可判定④． 【详解】
解：若点N 在直线l 上则220ax bx c ++=，
∴不存在实数δ，使点N 在直线l 上，故①不正确；
若1δ=，则1122ax by c ax by c ++=++， 即
1221y y a
x x b
-=--， MN l k k ∴=， 即过M 、N 两点的直线与直线l 平行，故②正确；
若1δ=-，则11220ax by c ax by c +++++= 即，1212
(
)()022
x x y y a b c ++++=， ∴直线l 经过线段MN 的中点，即③正确；
若1δ>，则11220ax by c ax by c ++>++>，或12220ax by c ax by c ++<++<， 即点M 、N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段MN 不平行．故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】
本题考查两直线的位置关系，点与直线的位置关系，直线的一般式方程等知识的综合应用，若两直线平行则两直线的斜率相等．
17．【分析】直线上到原点的距离最近的点就是过原点作直线的垂线垂足即为又原点到直线的距离为定值所以可知动点的轨迹【详解】∵原点到直线的距离为∴当在实数范围内变化时动点的轨迹为以原点为圆心半径为1的圆即其轨 解析：221x y +=
【分析】
直线cos sin 10x y θθ++=上到原点的距离最近的点，就是过原点作直线的垂线，垂足即为M ，又原点到直线的距离为定值，所以可知动点M 的轨迹. 【详解】
∵原点()0,0到直线cos sin 10x y θθ++=
1=，
∴当θ在实数范围内变化时，动点M 的轨迹为以原点()0,0为圆心，半径为1的圆， 即其轨迹方程为2
2
1x y +=． 故答案为：2
21x y += 【点睛】
本题主要考查轨迹方程，解决与直线有关的轨迹问题时，要充分考虑到图形的几何性质，属于中档题.
18．【分析】设点连接交于可写出的坐标再在直角中利用勾股定理列方程可得xy 的关系式即顶点的轨迹方程【详解】设点如图连接交于由矩形可知为的中点连接在直角中则即整理得所以顶点的轨迹方程是故答案为：【点睛】关键 解析：2228x y +=
【分析】
设点(,)C x y ，连接,AB PC 交于M ，可写出M 的坐标，再在直角OMB △中，
OM MB ⊥，利用勾股定理列方程可得x, y 的关系式，即顶点C 的轨迹方程.
【详解】
设点(,)C x y ，如图连接,AB PC 交于M ，
由矩形PACB 可知M 为PC 的中点，2,22x y M +⎛⎫
⎪⎝
⎭，PM MB = 连接,OB OM ，在直角OMB △中，OM MB ⊥，则22222OB OM BM OM MP =+=+
即222
2
221622222x y x y +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，整理得2228x y +=，
所以顶点C 的轨迹方程是2
2
28x y += 故答案为：2
2
28x y +=
【点睛】
关键点睛：本题考查求轨迹方程，解题的关键是求谁设谁，设点(,)C x y ，然后再利用图像的几何关系找到x, y 的关系式，即求得轨迹方程，考查学生的直观想象能力与运算求解能力，属于中档题.
19．或【分析】由三角形面积公式知当面积最大时即为等腰直角三角形再利用点到直线的距离公式和半径的关系可得答案【详解】圆C 的方程即圆心半径由面积公式知当时面积最大即为等腰直角三角形此时圆心C 到直线的距离为则
解析：1λ=或1
7
λ=. 【分析】
由三角形面积公式in 1
2
s S ab C =
知，当ABC 面积最大时，90ACB ∠=，即ABC 为等腰直角三角形，再利用点到直线的距离公式和半径的关系可得答案. 【详解】
圆C 的方程即2
2
(1)1x y +=-，圆心(0,1)C ，半径1R =，
由面积公式2
1sin 2
ABC
S
R ACB =
∠知，当90ACB ∠=时面积最大， 即ABC 为等腰直角三角形，此时
圆心C 到直线:20λλ+-=l x y 的距离为21
d λ=+
2|12|
22
11
d λλ-==+，解得1λ=或17λ=，
故答案为：1λ=或17
λ=. 【点睛】
本题考查了直线和圆的位置关系及求三角形面积最大值的问题.
20．【分析】利用是过点B(02)且关于y 轴对称的两条射线将C1与C2有且仅有三个公共点等价转化为l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点验证即可
解析：4
3
-
【分析】
利用1C 是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线,将C 1与C 2有且仅有三个公共点等价转化为l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点,或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点，验证，即可得出答案. 【详解】
易知2C 是圆心为A (-1,0),半径为2的圆.
由题设知,1C 是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线，记y 轴右边的射线为l 1,y 轴左边的射线为l 2，由于B 在圆C 2的外面,故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点,或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点. 当l 1与C 2只有一个公共点时,A 到l 1所在直线的距离为2,
2=,
故4
3k =-
或k =0.经检验，当k =0时，l 1与C 2没有公共点； 当4
3
k =-时，l 1与C 2只有一个公共点,l 2与C 2有两个公共点
当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2
2=,
故k =0或43k =,经检验，当k =0时，l 1与C 2没有公共点，当4
3
k =时，l 2与C 2没有公共点. 故答案为：43
- 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.
三、解答题
21．（1）()()2
2
4225x y -++=；（2）2200x y --=. 【分析】
（1）联立线段AB 的垂直平分线所在的方程与圆心所在直线方程，可得圆心坐标，进而求
出圆的半径以及圆M 的标准方程；
（2）设出直线l 的方程，由CD =2OA 可得弦长，利用点到直线的距离公式结合勾股定理列出方程，可得直线l 的方程． 【详解】
（1）由题意可解得线段AB 的垂直平分线所在的方程为：y +2=
34
(x －4)，即3
54y x =-，因
为圆心在直线x ＋y －2＝0上，且圆M 过点A （1，2），B （7，－6），则圆心为直线
3
54y x =-与直线x ＋y －2＝0的交点，联立20
354
x y y x +-=⎧⎪⎨=-⎪
⎩
，解得42x y =⎧⎨=-⎩，即圆心M 为（4，－2），半径为MA
5=，所以圆M 的标准方程为
()()
22
4225x y -++=.
（2）由直线l 平行于OA ，可设直线l 的方程为：20y x m m =+≠，，则圆心M
到直线l
的距离为d =
=
CD =2OA =25
25d +=
，所以
d ==
，则解得m =－20或m =0（舍去），
则直线l 的方程为2200x y --=. 【点睛】
关键点点睛：本题考查圆的标准方程，考查圆的性质，解决本题的关键点是由已知求出弦长CD ，利用圆的弦长的一半，圆心到直线的距离和圆的半径构造直角三角形，结合勾股定理计算出参数的值，进而可得直线的方程，考查了学生计算能力，属于中档题． 22．（1）x +y +5=0，(x -1)2+(y
-2)2=9；（2）)
3,⎡+∞⎣. 【分析】
（1）求出AB 的斜率，利用点斜式可得直线l 的方程，求出AB 的中垂线的方程，结合圆心在直线2y x =上可得圆心坐标，求出半径后可得所求的圆的方程. （2）求出圆心到直线l 的距离后可得|MN |的取值范围． 【详解】
（1）∵1AB k =-， 直线l:y +2=-(x +3)，即l:x +y +5=0，
AB 的中点为57,22⎛⎫
⎪⎝⎭
，故AB 的中垂线方程为57122y x x =-+=+，
由21y x y x =⎧⎨=+⎩解得1
2x y =⎧⎨=⎩
，
∴圆心C (1，
2)，半径3r CA ===，
∴圆C 的方程为：(x -1)2+(y -2)2=9.
(2) ∵圆心C 到直线l 的距离为3d =
=>，
∴直线l 与圆C 相离,∴|MN |的最小值为
3-，无最大值，
∴|MN |的取值范围为)
3,⎡+∞⎣. 【点睛】 方法点睛：
（1）求圆的方程，关键是确定圆心坐标和圆的半径，前者的确定需要利用一些几何性质，如果圆心在弦的中垂线上，也在过切点且垂直于切线的直线上.
（2）直线与圆的位置关系中的最值问题，往往转化为圆心到几何对象的距离问题. 23．（1）4；（2）4. 【分析】
（1）利用圆心距等于半径之和求参数；
（2）求出圆心C 到直线l 的距离d ，由勾股定理列出关于m 的方程解之可得． 【详解】
（1）把圆22
812360x y x y +--+=，
化为标准方程得22
(4)(6)16x y -+-=， 所以圆心坐标为()4,6，半径为4R =，
则两圆心间的距离5d ==， 因为两圆的位置关系是外切，
所以d R r =+，即45=，解得4m =， 故m 的值为4；
（2）因为圆心C 的坐标为()1,2，
所以圆心C 到直线l 的距离
5d ==，
所以222221(
)2MN d =+=+， 即51m -=，解得4m =， 故m 的值为4． 【点睛】
方法点睛：本题考查两圆位置关系，求直线与圆相交弦长．求弦长方法： （1）代数法，求出直线与圆交点坐标，由两点间距离公式计算；
（2）几何法：求出圆心到弦所在直线的距离d ，由勾股定理求得弦长l = 24．(1) 2264120x y x y +++-= (2)存在，0x =或3
2
y x =- 【分析】
（1）设圆心(),1C a a +，由AC BC =可求出a ，从而得出答案.
（2）当直线l '的斜率不存在，即0x =时,满足条件，当直线l '的斜率存在时，设直线l '的
方程为y kx =，由方程联立，得出韦达定理，由以EF 为直径的圆过点M （0），则
0ME MF ⋅=，将韦达定理代入，求出k 的值，得到答案. 【详解】
（1）由圆心C 在直线l ：10x y -+=上，设圆心(),1C a a + 圆C 经过A （1，1）和B （2，－2），则AC BC =
=
，解得3a =-
所以5AC =
=
所以圆心()3,2C --，半径为5，所以圆的方程为()()2
2
3225x y +++= 所以圆心为C 的圆的一般式方程：2
2
64120x y x y +++-=
（2）当直线l '的斜率不存在，即0x =时，则()()0,2,0,6E F -,满足0ME MF ⋅=
即满足EF 为直径的圆过点M （0）.
当直线l '的斜率存在时，设直线l '的方程为y kx =，()()1122,,,E x y F x y
22
64120y kx x y x y =⎧⎨+++-=⎩ ，得()()22
164120k x k x +++-= ()()2
2644810k k ∆=+++>
21212
22
6412
,11k x x x x k k ++=-⋅=-++
由以EF 为直径的圆过点M （0），则0ME MF ⋅=
()()(
11221212ME MF x y x y x x y y ⋅=--=--+ (
())
212
121212112x x
y y k x x x x =--+=+-++
()
2
21211201k k -=+++=+ 解得3
2
k =-
，且满足0∆> 所以存在满足条件的直线l '方程为：0x =或32
y x =- 【点睛】
关键点睛：本题考查求圆的方程和根据条件求直线方程，解答本题的关键是由以EF 为直径
的圆过点M （0），则0ME MF ⋅=，得到
ME MF ⋅=(
))212121120k x x x x +-++=，再由方程联立韦达定理代入解出参数k 得到答案,属于中档题.
25．（1
）PH =
2
）2. 【分析】
（1）根据直线PH 的斜率与l 的斜率的关系得到方程，再将l 的方程与所得方程联立并化简，即可推导出P 到直线l 的距离PH 的公式；
（2）先确定出质点的运动轨迹对应的直线方程，然后根据点到直线的距离公式求解出最近距离，由此确定出质点的运动时间.
【详解】
（1）P 到直线l
的距离PH =
设(),H x y ，所以1PH l k k ⋅=-，所以1y b m x a n -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭
， 所以10y b m x a n mx ny r ⎧-⎛⎫⋅-=-⎪ ⎪-⎝⎭⎨⎪++=⎩
，所以()()()()()0m y b n x a m x a n y b ma nb r ⎧---=⎪⎨-+-=-++⎪⎩， 所以
()()()()()()()222222+=m y b n x a m x a n y b m n x a y b ⎡⎤----+-+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦
()2
ma nb r =++，
所以()()()22222ma nb r x a y b m n
++⎡⎤-+-=⎣⎦+
=
又因为P H
=PH =
（2）由条件可知：质点运动轨迹所在直线方程为()1041
y x -=--，即40x y +-=， 如下图，作BC l ⊥，垂足为C ，显然质点运动到C 时离B
点最近，
又BC ==
AB =
=
所以AC
=2秒.
【点睛】
关键点点睛：解答问题的关键是选用合理的方法推导出点到直线的距离公式，第二问即可使用点到直线的距离公式进行分析求解.
26．（1）过点(3,3)M -且与圆C 相切的直线方程为：3x =或512210x y ++=；（2）圆Q 的方程为224210x y x y +-++=或224210x y x y +--+=.
【分析】
（1）当直线l 的斜率不存在时，显然成立，当直线l 的斜率存在时，设切线方程为：3(3)y m x +=-，利用圆心到直线的距离等于半径列出方程，解出m 得到直线； （2）两圆方程相减得出公共弦所在直线方程l ，由点线距公式求出C 到直线l 的距离为d ，利用勾股定理列方程求出a ，可得圆Q 的方程．
【详解】
（1）当直线l 的斜率不存在时，显然直线3x =与圆C 相切，
当直线l 的斜率存在时，设切线方程为：3(3)y m x +=-， 221m =+，解得512
m =-， 切线方程为：512210x y ++=，
综上，过点(3,3)M -且与圆C 相切的直线方程为：3x =或512210x y ++=.
（2）圆22:(1)4C x y -+=与圆222:420Q x y x ay a +-++=，
相减得圆C 与圆Q 的公共弦所在直线方程2:2230l ay x a -++=，
圆C 的圆心为(1，0)，2r ，
设C 到直线l 的距离为d ， ∴22223
(2)(2)a d a -++=+-，
又∵圆C 与圆Q 14 ∴2
22142d r ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，
即()222174442
a a ++
=+， 解得1a =±， ∴圆Q 的方程为224210x y x y +-++=或224210x y x y +--+=.
【点睛】
关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，考查圆与圆的位置关系，解决本题的关键点是利用圆的弦长的一般，圆心到直线的距离和圆的半径组成直角三角形，列出勾股定理解出参数，得到圆的方程，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．。