抓住本质边“破”边“立”——《倍的认识》教学实践与反思
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三、拓展到几倍 练习一：第一行吟 吟 吟。 画一画：第二行的吟是第一 行的 3 倍。 师：如果第二行的吟是第一 行的 5 倍、10 倍，又怎么画？ 师：如果是 1 倍呢？ 练习二： 第一行吟 吟 吟 第二行吟 吟 吟 吟 吟 吟
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另一种量的 2 倍。并且尽量画得 与众不同。
3.反馈交流。 （1）出示学生的各种画法。
（2）比 较 这 些 图 ：为 何 都 可 以说一种物体是另一种物体的 2 倍？
4.提炼。 师：只要一种物体的个数为 一份，另一种有这样的两份，都 可以说两份的物体个数是一份物 体个数的 2 倍。 师：一份的如果是 20 个、50 个、100 个，两份的分别是多少？ 师：一份的如果是 a 个，那么 两份的有多少个？ 生：b 个。 师 ：很 好 ，能 用 字 母 来 表 示 ，
二、着力构建 2 倍 1.课件把物体隐去，留下第一 行一个圈圈，第二行两个圈圈。 师：这两样比较的东西除了 作业纸上的这些，还可以是什么？ 生 ：还 可 以 是 铅 笔 、书 本 、男
生、女生…… 师：个数除了 1、2、3、4，还可
以是几个？ 生：5、6、7、8…… 2.画一画。 要求：画的两种量，一种量是
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数学能力培养
数也不一样，为什么都可以说第 二行的个数是第一行的 2 倍呢？
生 ：因 为 都 是 以 第 一 行 的 个 数为一份，第二行都有这样的 两份。
师 ：对 啊 ，不 管 什 么 物 体 ，有 几个，只要以第一行为一份，第二 行有这样的两份，都可以说第二 行的个数是第一行的 2 倍。
一、初步认识“倍” 1.出示题目。 第一题：说说第一行的吟和 第二行的茵有什么关系？ 第一行：吟 吟 吟 第二行：茵 茵 茵 茵 茵 茵
图1 生：第一行比第二行少 3 个。 生：第二行比第一行多 3 个。 师：它们除了相差关系还有 什么关系呢？这是我们这节课要 研究的内容。 第二题：出示下图，要求根据 前三幅图的规律，画出第四幅图 第二行的图形。 第一行： 第二行：
【设计意图：1. 课始出示第一 行 3 个吟和第二行 6 个茵的图 片，让学生说说第一行的吟和第 二行茵的关系，学生说出相差关 系后，教师引导学生说“除了相差 关系还有什么关系呢？”打破学生 的 认 知 平 衡（相 差 关 系），激 发 学 生学习的兴趣 （除了相差关系还 有什么 关系），为“破”加 法 结 构 “立”乘法结构做好了准备。2.学生 根据前三幅图画图时已初步体会 到“倍”的结构，也就是第一行都 有一份，第二行都有这样的两份。 引出“倍”后，再让学生异中求 同———“每组图东西不一样，个数 也不一样，为什么都可以说第二 行的个数是第一行的 2 倍呢？”这 样逐步剥离“倍”的非本质属性 （与 是 什 么 物 体 、 个 数 有 几 个 无 关），显现倍的本质特征—— —只要 以第一行为一份，第二行有这样 的两份，都可以说第二行的个数 是第一行的 2 倍。】
小学教学 计·数学 2021/07
文 | 倪斌强
———《倍的认识》教学实践与反思
在一次和新思维教育科学研 究院共同开展的教研活动中，我们 连续听了几节《倍的认识》，课后感 觉到学生学习“倍”有点困难，根本 原因在哪里呢？经过与教研员的讨 论，认识到主要原因有三点。
第一，认识“倍”是学生从“加 法结构”到“乘法结构”的一次质 的转化，而认知结构的转变是学 生学习的最大困难。
第二，“倍”在刻画两个量的 关系时，要从绝对数量的多少比 较转变到相对数量的关系认识， 这是很多学生不易想通的地方。
第 三 ，日 常 的“ 倍 ”与 数 学 上 的“倍”稍有区别。日常的“倍”，商 一般大于 1，而数学上的“倍”，商 大于、等于或小于 1 都可以。
找到了学生学习“倍”的困难 之处，教学中应设计哪些有效教 学活动来突破学生学习的障碍呢？ 我们对《倍的认识》进行了重新设 计，并进行实践，取得了较好的 效果。
图2 第一行： 第二行：
图3 第一行：阴 阴 阴 阴 第二行：
图4
2.反馈交流。 师：说说你是怎么想的。 生：我画生：我画了 8 个阴，第一行的 个数乘 2 就是第二行的个数。 师：如果把第一幅图中第一 行三个吟看为一份 （边说边圈）， 那么第二行有这样的几份？ 生：2 份！ 师：另外几幅图，像老师这样 圈一圈，看看是不是都一样。 （学生动手圈画） 师：比较这几幅图有什么共 同点？ 生：都是第一行的个数为一 份，第二行的个数有这样的两份。 师：那我们就可以说：第二行 的个数是第一行的 2 倍。 师：按“（ ）为一份，（ ）有 这样的（ ）份，（ ）是（ ）的 2 倍。”说一说。 3.提炼。 师：每组图的东西不一样，个
但 b 个能看出有这样的两份吗？ 生：不能。 师：那到底怎么表示呢？ 生：2 个 a。 【设计意图：1. 由于要求画得
不一样，学生就会存同求异，出现 了以第二行为标准量、不工整排 等几种变式情况，也就“破”了一 定以第一行为标准量的思维定 势，更好地建立了“2 倍”的模型。 然后又进行了异中求同的比 较———“ 为 何 都 可 以 说 一 种 物 体 是另一种物体的 2 倍”，使学生明 白“只要一种物体的个数为一份， 另一种有这样的两份，都可以说 两份的物体个数是一份物体个数 的 2 倍”。2“. 一份的如果是 a 个， 那么两份的有多少个？”尝试在三 年级就渗透用字母表示数，让学 生体会符号的含义。经过实践，学 生完全能够接受，一开始很多学 生会想到用“b”来表示，“但 b 个 能看出有这样的两份吗？”经教师 提醒，有部分学生会想到用“2 个 a”来 表 示 ，这 样 也 就 突 破 了 低 段 学生只局限于具体数量的问题， 出现了用代数符号表达的“2 倍” 概念。】
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另一种量的 2 倍。并且尽量画得 与众不同。
3.反馈交流。 （1）出示学生的各种画法。
（2）比 较 这 些 图 ：为 何 都 可 以说一种物体是另一种物体的 2 倍？
4.提炼。 师：只要一种物体的个数为 一份，另一种有这样的两份，都 可以说两份的物体个数是一份物 体个数的 2 倍。 师：一份的如果是 20 个、50 个、100 个，两份的分别是多少？ 师：一份的如果是 a 个，那么 两份的有多少个？ 生：b 个。 师 ：很 好 ，能 用 字 母 来 表 示 ，
二、着力构建 2 倍 1.课件把物体隐去，留下第一 行一个圈圈，第二行两个圈圈。 师：这两样比较的东西除了 作业纸上的这些，还可以是什么？ 生 ：还 可 以 是 铅 笔 、书 本 、男
生、女生…… 师：个数除了 1、2、3、4，还可
以是几个？ 生：5、6、7、8…… 2.画一画。 要求：画的两种量，一种量是
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数也不一样，为什么都可以说第 二行的个数是第一行的 2 倍呢？
生 ：因 为 都 是 以 第 一 行 的 个 数为一份，第二行都有这样的 两份。
师 ：对 啊 ，不 管 什 么 物 体 ，有 几个，只要以第一行为一份，第二 行有这样的两份，都可以说第二 行的个数是第一行的 2 倍。
一、初步认识“倍” 1.出示题目。 第一题：说说第一行的吟和 第二行的茵有什么关系？ 第一行：吟 吟 吟 第二行：茵 茵 茵 茵 茵 茵
图1 生：第一行比第二行少 3 个。 生：第二行比第一行多 3 个。 师：它们除了相差关系还有 什么关系呢？这是我们这节课要 研究的内容。 第二题：出示下图，要求根据 前三幅图的规律，画出第四幅图 第二行的图形。 第一行： 第二行：
【设计意图：1. 课始出示第一 行 3 个吟和第二行 6 个茵的图 片，让学生说说第一行的吟和第 二行茵的关系，学生说出相差关 系后，教师引导学生说“除了相差 关系还有什么关系呢？”打破学生 的 认 知 平 衡（相 差 关 系），激 发 学 生学习的兴趣 （除了相差关系还 有什么 关系），为“破”加 法 结 构 “立”乘法结构做好了准备。2.学生 根据前三幅图画图时已初步体会 到“倍”的结构，也就是第一行都 有一份，第二行都有这样的两份。 引出“倍”后，再让学生异中求 同———“每组图东西不一样，个数 也不一样，为什么都可以说第二 行的个数是第一行的 2 倍呢？”这 样逐步剥离“倍”的非本质属性 （与 是 什 么 物 体 、 个 数 有 几 个 无 关），显现倍的本质特征—— —只要 以第一行为一份，第二行有这样 的两份，都可以说第二行的个数 是第一行的 2 倍。】
小学教学 计·数学 2021/07
文 | 倪斌强
———《倍的认识》教学实践与反思
在一次和新思维教育科学研 究院共同开展的教研活动中，我们 连续听了几节《倍的认识》，课后感 觉到学生学习“倍”有点困难，根本 原因在哪里呢？经过与教研员的讨 论，认识到主要原因有三点。
第一，认识“倍”是学生从“加 法结构”到“乘法结构”的一次质 的转化，而认知结构的转变是学 生学习的最大困难。
第二，“倍”在刻画两个量的 关系时，要从绝对数量的多少比 较转变到相对数量的关系认识， 这是很多学生不易想通的地方。
第 三 ，日 常 的“ 倍 ”与 数 学 上 的“倍”稍有区别。日常的“倍”，商 一般大于 1，而数学上的“倍”，商 大于、等于或小于 1 都可以。
找到了学生学习“倍”的困难 之处，教学中应设计哪些有效教 学活动来突破学生学习的障碍呢？ 我们对《倍的认识》进行了重新设 计，并进行实践，取得了较好的 效果。
图2 第一行： 第二行：
图3 第一行：阴 阴 阴 阴 第二行：
图4
2.反馈交流。 师：说说你是怎么想的。 生：我画生：我画了 8 个阴，第一行的 个数乘 2 就是第二行的个数。 师：如果把第一幅图中第一 行三个吟看为一份 （边说边圈）， 那么第二行有这样的几份？ 生：2 份！ 师：另外几幅图，像老师这样 圈一圈，看看是不是都一样。 （学生动手圈画） 师：比较这几幅图有什么共 同点？ 生：都是第一行的个数为一 份，第二行的个数有这样的两份。 师：那我们就可以说：第二行 的个数是第一行的 2 倍。 师：按“（ ）为一份，（ ）有 这样的（ ）份，（ ）是（ ）的 2 倍。”说一说。 3.提炼。 师：每组图的东西不一样，个
但 b 个能看出有这样的两份吗？ 生：不能。 师：那到底怎么表示呢？ 生：2 个 a。 【设计意图：1. 由于要求画得
不一样，学生就会存同求异，出现 了以第二行为标准量、不工整排 等几种变式情况，也就“破”了一 定以第一行为标准量的思维定 势，更好地建立了“2 倍”的模型。 然后又进行了异中求同的比 较———“ 为 何 都 可 以 说 一 种 物 体 是另一种物体的 2 倍”，使学生明 白“只要一种物体的个数为一份， 另一种有这样的两份，都可以说 两份的物体个数是一份物体个数 的 2 倍”。2“. 一份的如果是 a 个， 那么两份的有多少个？”尝试在三 年级就渗透用字母表示数，让学 生体会符号的含义。经过实践，学 生完全能够接受，一开始很多学 生会想到用“b”来表示，“但 b 个 能看出有这样的两份吗？”经教师 提醒，有部分学生会想到用“2 个 a”来 表 示 ，这 样 也 就 突 破 了 低 段 学生只局限于具体数量的问题， 出现了用代数符号表达的“2 倍” 概念。】