高二数学竞赛班二试

高二数学竞赛班二试
第一讲 组合计数与极端原理
班级 姓名
一、知识要点：
1．定理1（容斥原理）（也称逐步淘汰公式）设12,,,n S S S ⋅⋅⋅是S 的子集，则
1
2112111
11(1)k k n
k
n i i i i i i i i n
i i n
S S S S S S S S =≤<≤≤<⋅⋅⋅<≤⋅⋅⋅=-+
-⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅∑∑
∑
1(1)n n S S +⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅．
定理2（容斥原理的对偶形式）设12,,,n S S S ⋅⋅⋅是S 的子集，则
1
211211
11
11(1)k k n
k n i i i i i i i i n
i i n
S S S S S S S -=≤<≤≤<⋅⋅⋅<≤⋅⋅⋅=-
+⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅∑∑
∑
11(1)n n S S -+⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅
（因为1
1()n S n S S C S S ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，所以11n n S S S S S ⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅）
2．极端原理
极端原理就是通过讨论“极端”对象来解题的方法，它考虑的是极端情况——最大或最小。

因此，它往往在题目中增加一个（最大或最小）条件，从而使问题巧妙地得以解决。

同时， 它常跟反证法结合，通过与“最大”与“最小”的矛盾来解决问题。

3．通常考虑的极端情况，可以是边最长（最短），最大数（或最小数）等，其在不等式、不定方程、图论及一些组合问题（特别是一些存在性问题）中都经常被用到。

二、经典例题
例1．求k 个红球m 个白球()k m ≥的满足下列条件：在每个位置前的红球数不少于白球数
的排列数。

例2．由数码1,2,3构成n 位数，使n 位数中数码1,2,3都至少出现一次，求所有这种n 位数
的个数。

例3．设n 个点，它们之间至少有214n ⎡⎤
+⎢⎥⎣⎦
条连线，则至少有一个三角形。

例4．设{}1,2,,1990S =⋅⋅⋅，若S 的一个51元的子集的元素之和被5整除，则称其为S 的
好子集，求S 的好子集的个数。

三、精选习题：
1．（2013年浙江省数学竞赛）某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含第一象限,x y 轴上的整点），其运动规律为(,)(1,1)m n m n →++或(,)(1,1)m n m n →+-。

若该动点从原点出发，经过6步运动到（6,2）点，则有_______________种不同的运动轨迹。

2．2n 个人到同一台自动售货机去各买一罐饮料，饮料每罐5元，假设这2n 个人中，有n 人
持5元面值的钞票，有n 人持10元面值的钞票，售货机内无零钱。

求这2n 个人各自买好饮料而售货机未出现找不出零钱的排列总数。

3．在,,,,,a b c d e f 六个字母的全排列中，求不出现abc 和ef 的排列的个数。

4．设S 是一个有限集合，S n =，k 是正整数。

求S 的满足1k S S ⋅⋅⋅=∅的k 个有序
子集组1(,,)k S S ⋅⋅⋅的个数。

5．设集合{}1,2,3,,21A n =⋅⋅⋅+，求一个包含元素个数最多的集合A 的子集B ，使得集合B
中的任意三个元素,,a b c ，都有a b c +≠。

6．在某种比赛中，每一个选手都恰与其他选手比赛一局，每局赢者得1分，输者得0分，平局各得0.5分。

比赛结束后，发现每个选手所得的分数中恰好有一半是在他同10位得分最低的选手的对局中得到的（10位得分最低的选手所得的分数有一半是在他们彼此对局中得到的）。

求参加比赛的选手的总数。

7．出席某会议共12k 个人()k Z +∈，其中每个人均恰好同其余36k +个人相识；对任何两
个人，均有n 个人同他们相识，问共有多少人出席会议？
第一讲 组合计数与极端原理
例1．1
m m m k m k C C -++-
如果不考虑附加条件，排列数为m m k C +。

以下证明不满足附加条件的排列数为1
m m k C -+。

任取一个不满足条件的且有k 个红球，m 个白球的排列，必定存在一个位置21S +，这里0S ≥，使得排列在这一位上正好是白球，且在这一位前有S 个红球和S 个白球。

我们取满足这个条件的S 中的最小的一个，且在这个排列的最前面加一个红球，这样就得到一个m 个白球，1k +个红球的排列。

这个排列的第一个是红球，且在前面22S +个球红白球数相同。

现在，再在前22S +个位置上将红球换成白球，白球换成红球，得到一个m 个白球，1k +个红球的、且第一个是白球的排列。

这个排列同每个不满足条件的排列相对应，现证明这是个一一映射：
{}k m 个红，个白的不满足条件的排列{}+1m k →白球在首，个白、个红的排列，
由以上构造可得，这是一个单射。

反之，对于每一个以白球开始，m 个白球，1k +个红球的排列，由于+1m k <，因此从首位开始，总有一个位置红白球数相等（因为首位是白球，开始白球球数多，但总的红球数多于白球数）。

在从首位到第一个这样的位置，将红白球交换，再去掉第一个红球，就得到k 个红球，m 个白球的不满足条件的排列了，映射为一一映射。

因此，不满足条件的排列数为1
m m k C -+。

故满足条件的排列数为1m m m k m k C C -++-
例2．记由数码1,2,3构成的n 位数的全体是S ，并记{|,k S x x S x =∈中不含数码k }，
1,2,3k =，则
12123
12
31
2
31
13
3323n n i i i i i i S S S S S S S S S S =≤<≤=-+
-=-⋅+∑∑
例3．证明：用反证法，设不存在三角形，要证边数小于214n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦
设这n 个点为12,,,n A A A ⋅⋅⋅，不妨设从1A 引出的边数最多，共有k 条，适当调整下标，可认为是11111,,,n n n k A A A A A A --+⋅⋅⋅。

由于不存在三角形，则11,,,n n n k A A A --+⋅⋅⋅之间无线段相连，从而每条连线至少有一个端点是12,,,n k A A A -⋅⋅⋅中的点，以
(1,2,,)i A i n k =⋅⋅⋅-为一个端点的边至多为k 条，故连线总数≤2()()2
n
k n k -≤，连
线总数为整数，故连线总数24n ⎡⎤
≤⎢⎥⎣⎦
，矛盾！
例4．这一解法基于一一对应，我们将S 的全部51个元素分成5个类014,,,S S S ⋅⋅⋅，其中i S 是元素和被5除余i 的51元子集构成的集合（0,1,2,3,4i =）
易知，对于任意的,(0,4,)i j i j i j ≤≤≠，有唯一的(04)m m ≤≤，使得()i m j +-被
5整除，我们作如下的对应：
对任意i A S ∈，设{}1251,,,A x x x =⋅⋅⋅，令{}1
251,,,A x m x m x m ''''=++⋅⋅⋅+
其中，,
19901990,1990k k k k
k x x m x x x m +≤⎧'=⎨-+>⎩，1,2,,51k =⋅⋅⋅
由于A 的元素之和被5除余i ，故由m 的选取可知，A '的元素之和5除余j ，从而j A S '∈，
于是如上的对应给出了i j S S →的一个映射。

我们证明，这一映射必是一个单射，即对,i A B S ∈，A B ≠，有A B ''≠。

这只需要将
,A B 中的元素从小到大排列，并注意，对1,1990k l x y ≤≤，有1990k l x m y m +-≠+。

由此易知，若A B ''=，则A B =。

因上述的映射是单射，所有i j S S ≤。

由于,i j 的对称性，同样也有j i S S ≤，
故i j S S =，于是01234S S S S S ====。

因S 共有51
1990C 个51元子集，故51
0199015
S C = 1．解答 21669C C -=. 2．122n n n n C C --
3．126!5!4!3!582S S =--+=
4．如图，如果元素j x 属于集合i S ，就在第i 行与第j 列的交叉格子中标上数1，否则就标
上0。

显然，
1
n
i i S ==∅等价于这一数表中任一列都不全是1。

记上述k n ⨯且每一列都
不全是1的数表之集为T ，则易见符合要求的有序子集组1(,,)k S S ⋅⋅⋅之集与集合T 一一对应。

由于数表中每一格子都有两种填数法，故T 中任一列都有21k
-种选取，又各列的选取是独立的。

从而(21)k n T =-。

因此问题中所求的个数是(21)k n -。

1x 2x n x 1S
2S k S
5．考察最大数，若21n B +∈，
则由于122(21)3(22)(1)n n n n n +=+-=+-=⋅⋅⋅=++
所以{}{}{}1,2,2,21,,,1n n n n -⋅⋅⋅+这n 个集合中每一个集合的元素中至多有一个在B 中，
可见集合B 中至多有1n +个元素。

如{}1,2,,21B n n n =++⋅⋅⋅+ 若21n B +∉，且2n B ∈，则集合B 中至多有n 个元素。

6．考虑极端元素（得分最低者）
设共有n 名选手，则他们共得2n C 分。

10位得分最低的选手彼此对局中得到2
1045C =，这是
他们所得分数之半，故他们10位共得90分。

其余的10n -位选手在他们彼此间对局中共得
210n C -分，这也是他们所得分数之半，故这10n -位选手共得2
102n C -分。

于是22
10902n n C C -=+，即2
414000n n -+=，解得
16n =或25n = 但若只有16位选手，那么就有6位得高分者，他们共得30分，平均每人5分，而10位得
低分者平均每人得90109÷=分，矛盾！ 所以25n =，即共有25为参加比赛的选手。

7．组合中的“算两次思想”
将人视为点，相识就连线，每点共组成2
36k C +个角，每个角对应一个顶点，因此图中共有角
2
3612k k C +⋅个
另一方面，对任何两个人，与该两人都相识的人有n 个，因此对该两人对有且仅有n 个角，
从这一角度说总角数为212k n C ⋅个
所以23612k k C +⋅=2
12k n C ⋅，即2
93312300k k nk n +-++=
易见3|n ，设3n m =，则943
43121
k m k k +=++-，得3k =，2m =，6n =，1236k =
所以共有36人出席会议
R O Y G B V V R O Y G B B V R O Y G G B V R O Y Y G B V R O O
Y G B V R。