【结构设计】结构构件抗力的统计分析

第8章 结构构件抗力的统计分析
教学提示：本章介绍了影响结构构件抗力的主要因素及其统计参数的确定方法，阐述了材料强度标准值和设计值的基本概念。

教学要求：学生应了解影响抗力的各种不定性因素，掌握材料强度的标准值和设计值的取值方法，熟悉结构构件抗力的统计特征。

结构抗力指结构或结构构件承受作用构件效应的能力，如承载能力等。

影响结构构件抗力的主要因素是结构构件材料性能f 、截面几何参数a 和计算模式的精确性p 。

它们都是相互独立的随机变量。

8.1 结构构件抗力的不定性
8.1.1 结构构件材料性能的不定性
结构构件材料性能的不定性，主要是指材料质因素以及工艺、加荷、环境、尺寸等因素引起的结构中材料性能的变异性。

在工程问题中，材料性能(如强度、弹性模量等)一般是采用标准试件和标准试验方法确定的，并以一个时期内由全国有代表性的生产单位(或地区)的材料性能的统计结果作为全国平均生产水平的代表。

对于结构构件的材料性能，还要进一步考虑实际材料性能与标准试件材料性能的差别、实际工作条件与标准试验条件的差别等。

结构构件材料性能的不定性，可用随机变量f Ω表达：
001c c s
f k s k f f f k f f f ωΩ==⋅⋅
(8-1)
式中，c f ，s f ——结构构件中材料性能值及试件材料性能值；
0k f ω——规范规定的结构构件材料性能值； k f ——规范规定的结构构件材料性能标准值；
0ω——规范规定的反映结构构件材料性能与试件材料性能差别的系数，如考虑缺
陷、外形、尺寸、施工质量、加载速度、试验方法、时间等因素影响的各种系数及其函数。

令：
0c s f f Ω=
，1s k
f f Ω=
则：
010
1
f ωΩ=
ΩΩ (8-2)
荷载与结构设计方法
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·148·
式中，0Ω——反映结构构件材料性能与试件材料性能差别的随机变量；
1Ω——反映试件材料性能不定性的随机变量。

从而，f Ω的平均值f
μΩ和变异系数f
δΩ为：
1
01
f
f
k
f μμμμμωωΩΩΩΩ=
=
(8-3) f
δΩ=
(8-4)
式中，f μ，0
μΩ，1
μΩ——试件材料性能s f 的平均值及随机变量0Ω、1Ω的平均值；
f δ，0
δΩ——试件材料性能s f 的变异系数及随机变量0Ω的变异系数。

【例8.1】 某钢筋材料屈服强度的平均值y
f μ＝280.3MPa ，标准差y
f σ＝21.3MPa 。

由于加
荷速度及上、下屈服点的差别，构件中材料的屈服强度低于试件材料的屈服强度，两者比值Ω的平均值0
μΩ=0.92，标准差0
σΩ=0.032。

规范规定的构件材料屈服强度值为0k f ω=
240MPa 。

试求该钢筋材料屈服强度f y 的统计参数。

解：(1) 求0Ω和y
f Ω的变异系数。

0.032
0.0350.92
σδμΩΩΩ
=
=
=
21.3
0.076280.3
y
y
y
f f f
σδμ=
=
= (2) 计算屈服强度y f 的统计参数。

由式(8-3)、式(8-4)可得： 0
00.92280.3
1.076240
y
f f
k
f μμμωΩΩ×=
=
=
0.084f
δΩ===
我国对各种常用结构材料的强度性能进行过大量的统计研究，得出的统计参数见表8-1。

表8-1 各种结构材料f Ω的统计参数
结构材料种类 材料品种和受力状况
f μΩ
f δΩ
型钢
受拉
Q235钢 16Mn 钢 1.08 1.09 0.08 0.07 薄壁型钢
受拉
Q235F 钢
Q235钢 16Mn 钢
1.12 1.27 1.05 0.10 0.08 0.08 钢筋
受拉
Q235F 钢20MnSi 25MnSi 1.02 1..14 1.09 0.08 0.07 0.06 混凝土
轴心受压
C20
C30 C40
1.66 1.41 1.35
0.23 0.19 0.16
第8章 结构构件抗力的统计分析
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续表
结构材料种类
材料品种和受力状况
f μΩ
f
δΩ
砖砌体
轴心受压 小偏心受压 齿缝受剪 受剪 1.15 1.10 1.00 1.00 0.20 0.20 0.22 0.24 木材
轴心受拉 轴心受压 受弯 顺纹受剪
1.48 1.28 1.47 1.32 0.32 0.22 0.25 0.22
8.1.2 结构构件几何参数的不定性
结构构件几何参数的不定性，主要是指制作尺寸偏差和安装误差等引起的构件几何参数的变异性，它反映了所设计的构件和制作安装后的实际构件之间几何上的差异。

根据对结构构件抗力的影响程度，一般构件可仅考虑截面几何参数(如宽度、有效高度、面积、面积矩、抵抗矩、惯性矩、箍筋间距及其函数等)的变异。

结构构件几何参数的不定性可采用随机变量a Ω表达：
a k a a Ω= (8-5) 式中，a ，k a ——结构构件的几何参数及几何参数标准值。

从而，a Ω的平均值a
μΩ和变异系数a
δΩ为：
a a
k
a μμΩ=
(8-6) a
a δδΩ=
(8-7)
式中，a μ，a δ——结构构件几何参数的平均值及变异系数。

结构构件实际几何参数的统计参数，可根据正常生产情况下结构构件几何尺寸的实测数据，经统计分析得到。

当实测数据不足时，也可根据有关标准中规定的几何尺寸公差，经分析判断确定。

一般来说，几何参数的变异系数随几何尺寸的增大而减小，故钢筋混凝土结构和砌体结构截面尺寸的变异系数，通常小于钢结构和薄壁型钢结构的相应值。

值得指出，结构构件截面几何特性的变异对其可靠度影响较大，不可忽视；而结构构件长度、跨度变异的影响则相对较小，有时可按确定量来考虑。

【例8.2】 根据钢筋混凝土工程施工及验收规范，经统计，某预制梁截面宽度b 允许偏差Δb 为(−5mm ，2mm)，截面高度h 允许偏差Δh 为(−5mm ，2mm)。

截面尺寸标准值b k =200mm ，h k =500mm 。

假定截面尺寸符合正态分布，合格率应达到95%。

试求该钢筋混凝土预制梁截面宽度和高度的统计参数。

解：(1) 截面宽度b 和截面高度h 的均值和方差。

根据所规定的允许偏差，截面尺寸平均值为：
25200198.522b k b b b μ+−⎛⎞Δ−Δ−⎛⎞
=+=+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
mm
荷载与结构设计方法
·150·
·150·
25500498.522h k h h h μ+−⎛⎞Δ−Δ−⎛⎞
=+=+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
mm
由正态分布函数的性质可知，当合格率为95%时，有min 1.645b b b μσ=−，而：
min
25 3.522
b b b b μ+−Δ+Δ+−===mm
则有：
min
3.5
2.1281.645
1.645
b b b μσ−=
=
=mm 同理：
min
3.5
2.1281.645 1.645
h h h μσ−=
=
=mm
(2) 计算截面宽度b 和截面高度h 的统计参数。

根据式(8-6)、式(8-7)可得
198.50.993200
b b k b μμΩ===， 2.128
0.011198.5b
b b b σδδμΩ====
498.50.997500
h
h
k
h μμΩ=
=
=， 2.128
0.004498.5h
h h h σδδμΩ====
我国对各种结构构件的几何尺寸，进行了大量的实测统计工作，得出的有关统计参数
列于表8-2中。

表8-2 各种结构构件几何特征a Ω的统计参数
结构构件种类 项 目
a μΩ a δΩ
型钢构件 截面面积 1.00 0.05 薄壁型钢构件
截面面积
1.00 0.05 钢筋混凝土构件
截面高度、宽度 截面有效高度 纵筋截面面积
纵筋重心到截面近边距离 (混凝土保护层厚度) 箍筋平均间距 纵筋锚固长度 1.00 1.00 1.00 0.85 0.99 1.02 0.02 0.03 0.03 0.30 0.07 0.09 砖砌体
单向尺寸(37cm)
截面尺寸(37cm×37cm) 1.00 1.01 0.02 0.02 木构件
单向尺寸 截面面积 截面模量
0.98 0.96 0.94
0.03 0.06 0.08
8.1.3 结构构件计算模式的不定性
结构构件计算模式的不定性，主要是指在抗力计算中，采用的基本假定和计算公式的不精确等引起的变异性。

例如，在建立计算公式的过程中，常采用理想弹性、理想塑性、匀质性、各向同性、平面变形等假定；常采用矩形、三角形等简单应力图形来代替实际应力分布；常采用简支、固定支等典型边界条件来代替实际边界条件；常采用铰支、刚接来
第8章 结构构件抗力的统计分析
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代替实际的连接条件；常采用线性方法来简化计算表达式等。

所有这些近似的处理，必然会导致实际的结构构件抗力与给定公式计算的抗力之间的差异。

例如，在计算钢筋混凝土受弯构件正截面强度时，通常用所谓“等效矩形应力图形”来代替受压区混凝土实际的呈曲线分布的压应力图形。

这种简化计算的假定，同样会使实际强度与计算强度之间产生误差(虽然不是太大)。

计算模式的不定性就反映了这种差异。

结构构件计算模式的不定性，可用随机变量p Ω表达：
P c R R
Ω= (8-8)
式中，0R ，c R ——结构构件的实际抗力值(可取试验实测值或精确计算值)及按规范公式的
计算抗力值。

式(8-8)中c R 应根据材料性能和几何尺寸的实测值按规范给定的公式计算，以排除f Ω、a Ω的变异性对分析p Ω的影响。

8.2 结构构件抗力的统计特征
8.2.1 结构构件抗力的统计参数
对于由几种材料构成的结构构件，在考虑上述3种主要因素的情况下，其抗力可采用下列形式表达：
()1122P P P c c cn n R R R f a f a f a =Ω=Ω⋅⋅⋅ ，，， (8-9a) 或写成： ()P ci i R R f a =Ω()12i n = ，，，
(8-9b)
则：
()()0P fi i ki ai ki R R f a ω⎡⎤=ΩΩ⋅⋅⋅Ω⋅⎣⎦ ()12i n = ，，
， (8-10) 式中，p R ——由计算公式确定的结构构件抗力，()p R R =•，其中()R •为抗力函数；
ci f ——结构构件中第i 种材料的构件性能； i a ——与第i 种材料相应的结构构件几何参数；
fi Ω、ki f ——结构构件中第i 种材料的材料性能随机变量及其试件标准值； ai Ω、ki a ——与第i 种材料相应的结构构件几何参数随机变量及其标准值。

按随机变量函数统计参数的运算法则，求出抗力R 的统计参数：
P
R μ()i
i
fc a R μμ=， ()12i n = ，，，
(8-11)
1
2
2
221P
n P R xi i i R X μσ
σ=⎡⎤⎛
⎞
∂⎢⎥⎜⎟=⋅⎜⎟⎢⎥∂⎝
⎠⎣⎦
∑ ()12i n = ，，， (8-12)
P
R δP P
R
R
σμ=
(8-13)
式中，i X 表示函数()R •的有关变量ci f 和i a ()12i n = ，，，，()μ•表示计算偏导数时变量
荷载与结构设计方法
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均用各自的平均值赋值。

从而，结构构件抗力R 的统计参数可按下式计算：
P
P
R R R k k
R R μμμ
κΩ⋅==
(8-14) R δ=
(8-15)
式中，k R ——按规范规定的材料性能和几何参数标准值以及抗力计算公式求得的结构构件
抗力值。

结构构件抗力值k R 可表达为
0()k i ki ki R R f a ω=⋅ ()12i n = ，，，
(8-16) 如果结构构件仅由单一材料构成，则抗力计算可简化为： ()()0P f k a k P f a k R f a R ω=Ω⋅Ω⋅⋅Ω⋅=Ω⋅Ω⋅Ω⋅
(8-17)
式中： 0k k k R f a ω=⋅
则：
p
f
a
R
R k
R μκμμμΩΩΩ=
=⋅⋅
(8-18) R δ=
(8-19)
对于钢筋混凝土、配筋砖砌体等由两种或两种以上材料构成的结构构件，可采用式
(8-14)、式(8-15)计算抗力的统计参数。

对于钢、木等由单一材料构成的结构构件，可采用式(8-18)、式(8-19)计算抗力的统计参数。

8.2.2 结构构件抗力的分布类型
由式(8-9a)、式(8-17)可知，构件抗力R 由多个随机变量相乘而得，所以一般认为结构构件抗力服从对数正态分布。

8.3 材料强度的标准值和设计值
材料强度的标准值f K 是结构设计时所用的材料强度f 的基本代表值，它不仅是设计表达式中材料性能取值的依据，而且也是生产中控制材料性能质量的主要依据。

材料强度标准值应根据符合规定质量的材料性能的概率分布的某一分位值确定。

从当前的发展来看，一般将材料强度标准值f K 定义在设计限定质量相应的材料强度f 概率分布的0.05分位值上，这时相应的偏低率P K 为5%。

当材料强度f 服从正态分布时有：
1.645K f f f f f μασμσ=−=− (8-20)
当材料强度符合式(8-20)所定义的标准值时，可近似地认为其在质量上等同于极限质量水平。

材料强度设计值是荷载分项系数与荷载标准值的乘积。

荷载的分项系数是根据规定的目标可靠指标和不同活荷载与恒载比值，对不同类型的构件进行反算后，得出相应的分项
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系数，从中经过优选，得出合适的数值而确定的。

分项系数确定后，即可确定材料强度的设计值。

8.4 思 考 题
1. 影响结构抗力的因素有哪些？
2. 结构构件材料性能的不定性是什么原因引起的？
3. 什么是结构计算模式的不定性？如何统计？
4. 结构构件几何参数的不定性主要包括哪些？
5. 结构构件的抗力分布可近似为什么类型？其统计参数如何计算？
8.5 习 题
1. 试求16Mn 钢筋屈服强度的统计参数。

已知：试件钢筋本身屈服强度的平均值y
f μ=380MPa ，变异系数y
f δ=0.053。

由于加荷
速度及上、下屈服点的差别，构件中材料的屈服强度低于试件材料的屈服强度，经统计，两者比值0K 的平均值0
K μ=0.975，变异系数y
f δ=0.011。

钢筋轧制时截面面积变异，其平均
值0
K μ=1.015，变异系数y
f δ=0.0247，设计中选用规格引起的钢筋截面面积变异，其平均值
K μ=1.025，变异系数y
f δ=0.05。

规范规定的构件材料屈服强度值为0K k f =340MPa 。

2. 求优良等级钢筋混凝土预制板截面宽度和高度的统计参数。

已知：根据钢筋混凝土工程施工及验收规范，预制板截面宽度允许偏差Δb 为(-5mm ，3mm)，截面高度允许偏差Δh 为(-3mm ，25mm)，截面尺寸标准值为b k =500mm ，h k =100mm ，假定截面尺寸符合正态分布，合格率应达到90%。

3. 求钢筋混凝土斜压抗剪强度计算公式不精确性的统计参数。

设对10根梁进行实验，相关数据见表8-3。

表8-3 各种结构构件抗力R 的统计参数
序 号 s a f /MPa 0s s b h ×/cm 0/s s a h s P Q /kN
P Q /kN /s
P P Q Q
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
385 194 252 256 195 266 266 230 282 282
7.9×18.0 10.1×54.9 7.5×55.4 6.6×54.5 5.1×54.5 5.1×55.1 5.0×54.5 6.2×54.8 5.5×45.0 6.1×45.2
0.8 1.0 1.0 1.0 1.0 1.5 1.5 2.0 2.0 3.6
12.2
29.9 29.9 24.9 16.9 20.0 21.7 17.5 18.5 17.3 15.1 33.1 32.6 27.7 16.8 21.4 20.7 20.8 18.6 18.3 0.807 0.905 0.916 0.900 1.015 0.936 1.048 0.840 0.983 0.946。