4.3三次样条插值

xj是qj(x)的m重根
q(ji ) ( x j ) p(ji)1 ( x j ) p(ji ) ( x j ) 0, i 0,1,...,m 1
q j ( x) c j ( x x j )m
光滑因子
p j ( x) p j 1 ( x) c j ( x x j )m
维数为n+3
利用两点三次Hermite插值公式, 设
s( xk ) mk (k 0,1,, n), hk xk 1 xk (k 0,1,, n 1)
当x∈[xk, xk+1]时，
x xk s x 1 2 hk x x k 1 x x k 1 x x k h yk 1 2 h k k hk
三对角 严格对角占优
2 1
1 2
1
2
2
2

n 1
2 n 1 1 2
m0 g 0 m g 1 1 m2 g 2 mn 1 g n 1 mn gn
n
s( x) pm ( x) c j ( x x j )m , x
j 1
m m Sm ( x1, x2 ,...,xn ) span {1, x,.., xm , ( x x1 )m , ( x x ) ,..., ( x x ) 2 n }
2 2 2
y k 1
2
x x k 1 x xk ( x x k ) h mk ( x x k 1 ) h k k
mk 1 ,
hk 2( x xk ) hk 2( x xk 1 ) 2 2 s ( x) ( x x ) y ( x x ) yk 1 k 1 k k 3 3 hk hk
4.3 三次样条插值
样条函数是一个重要的逼近工具，在插值、数值微分、曲 线拟合等方面有着广泛的应用．
多项式Lagrange插值:
整体性强, 光滑性好 (无穷阶连续), 但不一定收敛
分段多项式(Lagrange)插值: 局部性好, 光滑性差 (C0连续), 收敛性保证 分段多项式(Hermite)插值: 局部性好, 满足一定光滑性, 收敛性保证, 但需要导数值信息 样条插值 ???插值: 样条函数: 满足一定光滑性的分段多项式
局部性好, 满足一定光滑性, 收敛性保证, 只需要函数值信息
定义4.3 对区间
, 的一个分割：
, n 1) 和
: x1 x2 xn , 若分段函数 s( x) 满足条件： （1）在每个区间 (, x1 ], [ x j , x j 1 ]( j 1,
( x x k )( x xk 1 ) 2
2 hk
mk
( x x k 1 )( x xk ) 2
2 hk
mk 1 .
求s(x)的关键在于确定n+1个常数m0,m1,…,mn. 对s(x)求二阶导数
s ( x) 6 x 2 x k 4 x k 1
2 hk
hk hk 1 等式两端除以 ，化简得到基本方程组 hk 1 hk
k mk 1 2mk k mk 1 g k , (k 1,2, , n 1)
hk hk 1 k , k 1 k , hk hk 1 hk hk 1
n-1个方程 n+1个未知量
设给定节点 a x0 x1 xn b, 及节点上的函数值
f ( xi ) yi , i 0,1, , n.
样条节点为插值节点
, x n 1满足 )
三次样条问题就是构造 s(x ) S 3 (x1, x 2,
s( xi ) yi , i 0,1, , n.
由三次样条函数的二次连续条件
x xk
lim s ( x) lim s ( x) (k 1,2,, n 1)
x xk
1 hk 1
1 y k 1 y k y k y k 1 1 1 . mk 1 2 m m k k 1 3 h 2 2 hk hk hk 1 k 1 hk
mk
6 x 4 x k 2 x k 1
2 hk
x)
3 hk
( y k 1 y k ),
x [ x k , x k 1 ],
4 2 6 mk mk 1 2 ( y k 1 y k ). x xk hk hk hk 2 4 6 lim s ( x) mk 1 mk 2 ( y k y k 1 ). x xk hk 1 hk 1 hk 1 lim s ( x)
a
定理4.4 任意s(x)∈Sm(x1,x2,…,xn)均可唯一地表示为
s( x) pm ( x) c j ( x x j )m , x
j 1
n
(4-31)
其中pm(x)∈Pm，cj ( j=1,2,…,n)为实数。
定理4.5 为使s(x)∈Sm(x1,x2,…,xn)，必须且只须存在pm(x)∈Pm 和n个实数c1,c2,…,cn，使得 结论
p j ( x) Pm ( j 0,1,...,n)
p0 ( x) p1 ( x)
x1

p j 1 ( x)

p j ( x) xj


pn ( x) x xn
x2
p(ji)1 ( x j ) p(ji ) ( x j ), i 0,1,...,m 1
令 q j ( x) p j ( x) p j 1 ( x) Pm
所以由定理4.5可知该函数为三次样条函数．
4.3.2 三次样条插值及其收敛性 有些实际问题中提出的插值问题，要求插值曲线具有较 高的光滑性和几何光顺性．样条插值适用于这类问题． 例如，在船体放样时，模线员用压铁压在样条（弹性均 匀的窄木条）的一批点上，强迫样条通过这组离散的型 值点．当样条取得合适的形状后，再沿着样条画出所需 的曲线．在小挠度的情形下，该曲线可以由三次样条函 数表示．由于样条函数插值不仅具有较好的收敛性和稳 定性，而且其光滑性也较高，因此，样条函数成为了重 要的插值工具．其中应用较多的是三次样条插值．
m=1时，样条函数是分段线性函数； m=2时，是分段1阶连续的二次函数
显然, m次样条函数比一般的m次分段插值多项式的光滑性好。 问题: 如何判断一个分段的多项式函数是样条函数?
p0 ( x), x x1 p ( x), x x x 1 2 1 s ( x) p j ( x), x j x x j 1 pn ( x), xn x
j 1,2,...,n
p0 ( x), x x1 p ( x), x x x 1 2 1 s ( x) p j ( x), x j x x j 1 pn ( x), xn x
于是s(x)是m次样条的充要条件是 p0 ( x) a0 a1x am xm ,
m0 f 0, mn f n
2m1 1 m2 g1 1 f 0 , (k 2,3, , n 2) k mk 1 2mk k mk 1 g k , m 2m g f , n 1 n 1 n 1 n n 1 n 2
dim Sm ( x1 , x2 ,...,xn ) m n 1
例1 验证分片多项式是三次样条函数． 1 2x 28 25x 9 x 2 x 3 S ( x) 2 3 26 19 x 3 x x 2 26 19 x 3 x 解 利用上面的定理(光滑因子)验证．
（2）
s( x)是一个次数不超过 m 的实系数代数多项式； [ xn , ) 上， s( x) 在区间 , 上具有直至 m 1阶的连续微商， 则称 y s ( x) 为对应于分割 的 m次样条函数，x1 , x2 , , xn
为样条节点 以
x1 , x2 ,
, xn 为节点的 m次样条函数的全体记为： sm x1, x2 , , xn
m
j 1

n
为了便于表示分段信息, 引进截断多项式：
( x a)
m
( x a)m , x a,
0,
x a,
m-1 易见 ( x a) m 是 C (-∞,+∞) （表示(-∞,+∞)上m-1次连续
可微函数的集合）类的分段m次多项式。
( x a) m m次截断多项式
p j ( x) Pm ( j 0,1,...,n)
p1 ( x) p0 ( x) c1 ( x x1 )m ,
m m p2 ( x) p1 ( x) c2 ( x x2 )m p0 ( x) c1 ( x x1 ) c2 ( x x2 ) ,
pn ( x) pn1 ( x) cn ( x xn ) p0 ( x) c j ( x x j ) m
2 三对角 严格对角占优 2
1
2
2
2
3
3

n 1
m1 g1 1 f 0 m g 2 2 m3 g3 n 2 m n 2 g n2 2 m n 1 g n 1 n 1 f n
y k 1 y k y k y k 1 g k 3 k k , (k 1,2, , n 1) hk hk 1
我们考虑下面三类边界条件． 第一类边界条件
s ( x0 ) f 0 , s ( x n ) f n ,
x 3 3 x 1 1 x 0 0 x
(28 25x 9x 2 x 3 ) (1 2x) ( x 3) 3 , (26 19x 3x 2 x 3 ) (28 25x 9x 2 x 3 ) 2( x 1) 3 , (26 19x 3x 2 ) (26 19x 3x 2 x 3 ) x 3 ,
第二类边界条件
s ( x 0 ) f 0, s ( x n ) f n,
3( y1 y 0 ) h0 y1 y0 h0 2 m m f , g0 3 f 0, 1 0 0 h0 2 h0 2 m 2m 3( y n y n 1 ) hn 1 f . g 3 yn yn 1 hn 1 f . n n n 1 n n h 2 h 2 n 1 n 1