人教A版高中数学必修一3.2.2《 函数模型的应用实例》Word导学案

3.2.2函数模型的应用实例
班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________
课前预习· 预习案
【温馨寄语】
有人说：“人人都可以成为自己的幸运的建筑师。

”愿你们在前行的道路上，用自己的双手建造幸运的大厦
【学习目标】
1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义
2．恰当运用函数的三类表示法(解析式、图象、表格)并借助信息技术解决一些实际问题.
【学习重点】
1．将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义
2．集合的表示方法，即运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合
【学习难点】
1．运用数学模型分析解决实际问题
2．对数函数应用题的基本类型和求解策略
知识拓展· 探究案
【交流展示】
1．某市原来民用电价为0.52元/kW·h，换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元/kW·h，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/kW·h，对于一个平均每月用电量为200kW·h的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量
A.至少为82kW·h
B.至少为118kW·h
C.至多为198kW·h
D.至多为118kW·h
2．一等腰三角形的周长是20，底边长 y 是关于腰长 x 的函数，它的解析式为
A.y=20−x(x≤10)
B.y=20−2x(x<10)
C.y=20−x(5≤x≤10)
D.y=20−2x(5<x<10)
3．某产品按质量分为10个档次，生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元.每提高一个档次，利润每件增加2元，但每提高一个档次，在相同的时间内，产量减少3件，如果在规定的时间内，最低档次的产品可生产60件，则在同样的时间内，生产哪一档次的产品的总利润最大？ A.10
B.9
C.8
D.7
4．某车间生产某种产品，固定成本为2万元，每生产一件产品，成本增加100元，已知总收益 R (总收益指工厂出售产品的全部收入，它是成本与总利润的和，单位：元)是年产量
Q (单位：件)的函数，满足关系式： R =f (Q )={400Q −1
2Q 2，0≤Q ≤400，
80000，Q >400.
求
每年生产多少产品时，总利润最大？此时总利润是多少元？
5．某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是 (下列数据仅供参考：√2=1.41，√3=1.73，√33
=1.44，√66
=1.38 ) A.38%
B.41%
C.44%
D.73%
6．某人1月1日到银行存入一年期存款 a 元，若年利率为 x ,按复利计算，到1月1日，可取回款 元. A.a (1+x )3
B.a (1+x )4
C.a+(1+x )3
D.a (1+x 3)
7．如图，开始时桶1中有 a 升水，t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y 1=ae −nt ，那么桶2中水就是y 2=a −ae −nt ，假设过5分钟后桶1和桶2的水相等，则再过 分钟桶1中的水只有 a
8 升.
8．某海滨城市现有人口100万人，如果年平均自然增长率为1.2%.解答下面的问题： (1)写出该城市人口数 y (万人)与年份 x (年)的函数关系. (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人).
(3) 计算大约多少年后该城市人口将达到120人(精确到1年).
9．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量 y(只)与引入时间 x (年)的关系为 y=a log2(x+1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到
A.300只
B.400只
C.600只
D.700只
10．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度
可以表示为函数 v=5log2O
10
，单位是m/s，其中 O 表示燕子的耗氧量.
(1)当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只两岁燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
11．今有一组数据，如表所示：
下列函数模型中，最接近地表示这组数据满足的规律的一个是
A.指数函数
B.反比例函数
C.一次函数
D.二次函数
12．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据：
则下列函数模型中能较好地反映计算机在第 x 天被感染的数量 y 与 x 之间的关系的是A.y=10x B.y=5x2−5x+10
C.y=5×2x
D.y=10log2x+10
【学习小结】
1．幂函数模型解析式的两种类型及求解方法
(1)已知函数解析式形式：用待定系数法求解.
(2)解析式形式未知：审清题意，弄清常量，变量等各元素之间的关系，列出两个变量，之间的解析式，进而解决问题.
2．二次函数模型应用题的解法
(1)理解题意，设定变量，.
(2)建立二次函数关系，并注明定义域.
(3)运用二次函数相差知识求解.
(4)回归到应用问题中去，给出答案.
3．一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线.
(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解.
4．对一次函数解析式的三点说明
解析式：.
(1)一次项的系数.
(2)时，是的正比例函数，即为非零常数).
(3)时，直线必经过一、二象限；时，直线必经过原点；时，直线必经过三、四象限.
5．数据拟合问题的三种求解策略
(1)直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解.
(2)列式比较法：若题所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较.
(3)描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决.
6．对数函数应用题的基本类型和求解策略
(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数解析式，然后根据实际问题再求解.
(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义.
7．指数型函数模型在生活中的应用
(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率总理常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为(其中为基础数，为增长率，为时间)的形式.
(2)增长率问题多抽象为指数函数形式，当由指数函数形式来确定相差的量的值要求不严格时，可以通过图象近似求解.是数学常用的方法之一.
【当堂检测】
1．某商人购货，进价按原价 a 扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数 x 与按新价让利总额 y 之间的函数关系是 .
2．已知镭经过100年，质量便比原来减少4.24%，设质量为1的镭经过 x 年后的剩留量为 y ，则y=f(x)的函数解析式为 .
3．某企业实行裁员增效.已知现有员工 a 人，每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元，据评估在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万，但每年需付给每位下岗工人0.4万元的生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员
工的3
4
，设该企业裁员 x 人后年纯收益为 y 万元.
(1)写出 y 关于 x 的函数关系式，并指出 x 的取值范围.
(2) 当140<a≤280 时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：在保证能取得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁.)
4．某工厂今年1月，2月，3月生产某产品分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了预测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量 y 与月份数 x 的关系，模拟函数可选用二次函数或指数型函数 y=mn x+p (其中m ，n ，p 为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问选择以上哪个函数作为模型较好？并说明理由.
3.2.2函数模型的应用实例
详细答案
【交流展示】
1．D
2．D
3．B
4．y＝R－100Q－0
={300Q−1
2
Q2−20 000，0≤Q≤400，
60 000－100Q，Q>400
Q∈Z.
(1)0≤Q≤400时，y＝−1
2
(Q−300)2+25 000，
当Q＝300时，y m a x＝25 000.
(2)Q＞400时，y＝60 000－100Q＜20 000，
综合(1)(2)，当每年生产300件产品时，总利润最大，为25 000元.
5．B
6．A
7．10
8．(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2％＝100×(1＋1.2％)，
2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2％)2，
3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2％)3，
……
x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2％)x(x∈N).
(2)10年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2％)10＝100×1.01210≈112.7(万人).
(3)设x年后人口将达到120万人，
即可得到100×(1＋1.2％)x＝120，
x=log1.012120
100=log1.0121.2=lg1.2
lg1.012
≈15.28.所以大约16年后该城市人口总数达到
120万人.
9．A
10．(1)由题意，当燕子静止时，它的速度υ＝0，
所以，0=5log2O
10
，解得：O＝10，
则燕子静止时的耗氧量是10个单位.
(2)由耗氧量O＝80得：υ=5log280
10
=5log28=15(m/s).
11．C 12．C
【当堂检测】
1．y＝a
4
x(x∉N*)
2．y＝(0.9576)
x 100
3．(1)由题意可得
y＝(a－x)(1＋0.01x)－0.4x
=−1
100x2+(a
100
−140
100
)x+a，
因为a−x≥3
4
a，所以x≤1
4
a.
即x的取值范围是(0，a
4
]中的自然数.
(2)因为y=−
1
100
[x−(a
2
−70)]2+1
100
(a
2
−70)
2
+a，且140＜a≤280，所以当a为
偶数时，x=a
2
−70，y取最大值.
当a为奇数时，x=a−1
2
−70，y取最大值.
(因为尽可能少裁人，所以舍去x=a+1
2
−70.)
答：当员工人数为偶数时，裁员(a
2
−70)人，才能获得最大的经济效益，当员工人数为奇
数时，裁员(a−1
2
−70)人，才能获得最大的经济效益.
4．设y1＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则有
{
f(1)=a+b+c=1，
f(2)=4a+2b+c=1.2，
f(3)=9a+3b+c=1.3，
解得{
a=−0.05，
b=0.35，
c=0.7，
所以f(4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3.①设y2＝g(x)＝mn x＋p则有
{
g(1)=mn+p=1，
g(2)=mn2+p=1.2，
g(3)=mn3+p=1.3，
解得{
m=−0.8，
n=0.5，
p=1.4，
所以g(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝135.②
比较①，②知，g(4)＝1.35更接近4月份的实际产量1.37万件.故选择y＝－0.8×0.5x＋1.4作为模型较好.。