(带答案)高中数学第四章指数函数与对数函数经典知识题库

(每日一练)高中数学第四章指数函数与对数函数经典知识题库
高中数学第四章指数函数与对数函数经典知识题库
单选题
1、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（ ）
A ．90<a <100
B ．90<a <110
C ．100<a <110
D ．80<a <100
答案：A
分析：首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据y >0，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.
设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，
则a =x +90,y =(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x 2+200x .
要使商家利润有所增加，则必须使y >0，即x 2−10x <0，得0<x <10,∴90<x +90<100，所以a 的取值为90<a <100.
故选：A
2、指数函数y =a x 的图象经过点(3,18)，则a 的值是（ ）
A ．14
B ．12
C ．2
D ．4 答案：B
分析：将已知点的坐标代入指数函数的表达式，求得a 的值.
因为y =a x 的图象经过点(3,1)，
所以a 3=18，解得a =12， 故选：B.
3、基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A ．1.2天
B ．1.8天
C ．2.5天
D ．3.5天
答案：B
分析：根据题意可得I (t )=e rt =e 0.38t ，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t 1天，根据e 0.38(t+t 1)=2e 0.38t ，解得t 1即可得结果.
因为R 0=3.28，T =6，R 0=1+rT ，所以r =3.28−16=0.38，所以I (t )=e rt =e 0.38t ，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t 1天，
则e 0.38(t+t 1)=2e 0.38t ，所以e 0.38t 1=2，所以0.38t 1=ln2，
所以t 1=ln20.38≈0.690.38≈1.8天.
故选：B.
小提示：本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
4、化简√−a 3·√a 6的结果为（ ）
A ．−√a
B ．−√−a
C ．√−a
D ．√a
答案：A
分析：结合指数幂的运算性质，可求出答案.
由题意，可知a≥0，
∴√−a
3·√a
6=(−a)13⋅a16=−a13⋅a16=−a13+16=−a12=−√a.
故选：A.
5、如图所示，函数y=|2x−2|的图像是（）
A．B．
C．D．
答案：B
分析：将原函数变形为分段函数，根据x=1及x≠1时的函数值即可得解.
∵y=|2x−2|={2x−2,x≥1
2−2x,x<1，
∴x=1时，y=0,x≠1时，y>0.
故选：B.
6、函数y=2x−2−x（）
A．是R上的减函数
B．是R上的增函数
C．在(−∞,0)上是减函数，在(0,+∞)上是增函数
D ．无法判断其单调性
答案：B
分析：利用指数函数的单调性结合单调性的性质可得出结论.
因为指数函数f (x )=2x 为R 上的增函数，指数函数g (x )=2−x =(12)x 为R 上的减函数，
故函数y =2x −2−x 是R 上的增函数.
故选：B.
7、满足函数f (x )=ln (mx +3)在(−∞,1]上单调递减的一个充分不必要条件是（ ）
A ．−4<m <−2
B ．−3<m <0
C ．−4<m <0
D ．−3<m <−1
答案：D
分析：根据复合函数的单调性，求出m 的取值范围，结合充分不必要条件的定义进行求解即可．
解：若f(x)=ln(mx +3)在(−∞,1]上单调递减，
则满足m <0且m +3>0，
即m <0且m >−3，
则−3<m <0，
即f(x)在(−∞,1]上单调递减的一个充分不必要条件是−3<m <−1，
故选：D ．
8、果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h 与其采摘后时间t （天）满足的函数关系式为ℎ=m ⋅a t ．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去
的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知lg2≈0.3，结果取整数）（ ）
A ．23天
B ．33天
C ．43天
D ．50天
答案：B
分析：根据题设条件先求出m 、a ，从而得到ℎ=120⋅2110t ，据此可求失去50%新鲜度对应的时间.
{10%=m ⋅a 1020%=m ⋅a 20⇒{a 10=2,m =120
，故a =2110，故ℎ=120⋅2110t ， 令ℎ=12，∴2t 10=10,∴t 10lg2=1，故t =100.3≈33，
故选：B.
9、我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c （t ）（单位：mg/L ）随着时间t （单位：h ）的变化用指数模型c (t )=c 0e −kt 描述，假定某药物的消除速率常数k =0.1（单位：h −1），刚注射这种新药后的初始血药含量c 0=2000mg/L ，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L 时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（ ）（参考数据：ln2≈0.693,ln3≈1.099）
A ．5.32h
B ．6.23h
C ．6.93h
D ．7.52h
答案：C
分析：利用已知条件c (t )=c 0e −kt =2000e −0.1t ，该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L 时需要的时间为t 1，转化求解即可.
解：由题意得：
c (t )=c 0e −kt =2000e −0.1t
设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L 需要的时间为t 1
c (t 1)=2000e −0.1t 1≥1000
e −0.1t 1≥12
故−0.1t ≥−ln2，t ≤ln20.1≈6.93
故该新药对病人有疗效的时长大约为6.93ℎ
故选：C
10、设alog 34=2，则4−a =（ ）
A ．116
B ．19
C ．18
D ．16
答案：B
分析：根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解
由alog 34=2可得log 34a =2，所以4a =9，
所以有4−a =19， 故选：B.
小提示：本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.
多选题
11、已知函数f (x )={|lnx |,x >0−x 2+1,x ≤0
，若存在a <b <c ，使得f (a )=f (b )=f (c )成立，则（ ） A ．bc =1B ．b +c =1
C ．a +b +c >1
D ．abc <−1
答案：AC
分析：采用数形结合可知−1<a ≤0，1e ≤b <1，1<c ≤e ，然后简单计算可知b +c >1，bc =1，a +b +c >1，故可知结果.
如图：
≤b<1，1<c≤e，则b+c>c>1，
可知−1<a≤0，1
e
且−lnb=lnc，所以lnb+lnc=lnbc=0，即bc=1.
+c>a+2>1.
因为bc=1，所以abc=a∈(−1,0]，a+b+c=a+1
c
故选:AC.
12、已知函数f(x)=|lgx|，则（）
A．f(x)是偶函数B．f(x)值域为[0,+∞)
C．f(x)在(0,+∞)上递增D．f(x)有一个零点
答案：BD
分析：画出f(x)的函数图象即可判断.
画出f(x)=|lgx|的函数图象如下：
由图可知，f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；
f(x)值域为[0,+∞)，故B正确；
f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，故C错误；
f(x)有一个零点1，故D正确.
故选：BD.
13、若函数y=a x−(b+1)（a>0且a≠1）的图像过第一、三、四象限，则必有（）．
A ．0<a <1
B ．a >1
C ．b >0
D ．b <0
答案：BC
分析：对底数a 分情况讨论即可得答案.
解：若0<a <1，则y =a x −(b +1)的图像必过第二象限，而函数y =a x −(b +1)（a >0且a ≠1）的图像过第一、三、四象限，所以a >1．
当a >1时，要使y =a x −(b +1)的图像过第一、三、四象限，则b +1>1，即b >0．
故选：BC
小提示：此题考查了指数函数的图像和性质，属于基础题.
14、关于函数f(x)=ln(1+x)−ln(3−x)，下列结论正确的是（ ）
A ．f(x)在(−1,3)上单调递增
B ．y =f(x)的图象关于直线x =1对称
C ．y =f(x)的图象关于点（1，0）对称
D ．f(x)的值域为R
答案：ACD
分析：先求出函数f(x)的定义域，化简f(x)得f(x)=ln x+13−x ， 令t(x)=x+13−x ，根据复合函数的单调性和值域；化
简函数得到f(1+x)=−f(1−x)，f(1+x)≠f(1−x)，所以得到y =f(x)的图象关于点（1，0）对称，最终得到答案.
函数f(x)的定义域是（-1，3），f(x)=ln
x+13−x ． 令t(x)=x+13−x =−4x−3−1(x ≠3)，易知t(x)在（-1，3）上单调递增，
所以t(x)>t(−1)=0，所以f(x)=lnt(x)在（-1，3）上单调递增，
且值域为R ．故A ，D 正确．
当x ∈(−2,2)时，1+x ∈(−1,3)，1−x ∈(−1,3)，f(1+x)=ln 2+x 2−x ，f(1−x)=ln 2−x 2+x ，
所以f(1+x)=−f(1−x)，f(1+x)≠f(1−x)．所以y =f(x)的图象关于点（1，0）对称．故B 错误，C 正
确.
故选：ACD ．
小提示：本题考查复合函数的性质，涉及到函数的单调性和对称性,属于基础题型.
15、已知函数f (x )=|2x −1|，实数a ，b 满足f (a )=f (b ) (a <b )，则（ ）
A ．2a +2b >2
B ．∃a ，b ∈R ，使得0<a +b <1
C ．2a +2b =2
D ．a +b <0
答案：CD
分析：根据函数解析式，作函数的图象，根据图象的特征，可得选项A 、C 的正误，根据基本不等式，可得选项B 、D 的正误.
画出函数f (x )=|2x −1|的图象，如图所示．由图知1−2a =2b −1，则2a +2b =2，故A 错，C 对． 由基本不等式可得2=2a +2b >2√2a ⋅2b =2√2a+b ，所以2a+b <1，则a +b <0，故B 错，D 对．
故选：CD ．
填空题
16、若max{a,b}={a,a ≥b,b,a <b,
则函数M(x)=max {log 2x,3−x }的最小值为________． 答案：1
分析：结合图象可得答案.
如图，函数y=log2x,y=3−x在同一坐标系中，
且log22=3−2=1，所以M(x)在x=2时有最小值，即M(2)=1. 所以答案是：1.
17、已知a=lg5，用a表示lg20=__________.
答案：2−a
分析：直接利用对数的运算性质求解
因为a=lg5，
所以lg20=lg100
5
=lg100−lg5=2−a，
所以答案是：2−a
18、已知4a=8，2m=9n=6，且1
m +1
2n
=b，则a+b=______．
答案：5
2
解析：将指数式4a=8化为对数式可求出a，将指数式2m=9n=6化为对数式可分别求出m,n，代入1
m +1
2n
=
b可求出b，进而可求出a+b的值. 因为4a=8，2m=9n=6，
所以a=log48=lg8
lg4=lg23
lg22
=3lg2
2lg2
=3
2
，m=log26，n=log96，
11
所以b =1
log 26+1
2log 96=log 62+12log 69=log 62+log 63=log 6(2×3)=1， 所以a +b =52.
所以答案是：52 解答题
19、若函数y =3x 2−5x +a 的两个零点分别为x 1,x 2，且有−2<x 1<0,1<x 2<3，试求出a 的取值范围． 答案：−12<a <0.
分析：根据题意，利用二次函数的性质和根的分布，列出不等式组，即可求出实数a 的取值范围．
令f (x )=3x 2−5x +a ，
则{f(−2)>0
f(0)<0f(1)<0
f(3)>0
得a 的取值范围是−12<a <0． 故实数a 的取值范围为−12<a <0.
小提示：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．
20、已知函数f(x)=2x −1
2x .
（1）判断f(x)在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
（2）解关于x 的不等式f(log 2x)<f(1).
答案：（1）f(x)在R 上是增函数，证明见解析；（2）(0,2).
分析：（1）由题可判断函数为奇函数且为增函数，利用定义法的步骤证明即可；
（2）利用函数f(x)的单调性及对数函数的单调性即解.
（1）∵f(−x)=2−x −2x =−(2x −12x )=−f(x)，则函数f(x)是奇函数，
则当x ⩾0时，设0⩽x 1<x 2，
则f(x1)−f(x2)=2x1−1
2x1−2x2+1
2x2
=2x1−2x2+2x2−2x1
2x12x2
=(2x1−2x2)2x12x2−1
2x12x2
，
∵0⩽x1<x2，
∴1⩽2x1<2x2，即2x1−2x2<0，2x12x2>1，
则f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，
则f(x)在[0，+∞)上是增函数，
∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(x)在R上是增函数.
（2）∵f(x)在R上是增函数，
∴不等式f(log2x)<f(1)等价为不等式log2x<1，
即0<x<2.
即不等式的解集为(0,2).
12。