2017-2018学年高中数学 第三章 函数的应用 3.2 函数模型及其应用 3.2.2 函数模型的应用实例

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[活学活用] 2．某医疗研究所开发一种新药， 如果成人按规定的剂量服用，据监测： 服药后每毫升血液中的含药量 y(μg)与 时间 t(h)之间近似满足如图所示的曲线． (1)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式； (2)据测定：每毫升血液中含药量不少于 4 μg 时治疗 疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午 7：00， 问一天中怎样安排服药时间(共 4 次)效果最佳？
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a＞0且a≠1，
m≠0
a≠0，n≠1
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[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在一次函数模型中，系数k的取值会影响函数的性
质．
(√ )
(2)在幂函数模型的解析式中，a的正负会影响函数的
单调性．
(√ )
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2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆 4 000 辆次，存车费
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(2) P＝ (x－30)·(－3x＋150)＝－3x2＋240x－4500， 30≤x≤50.
因为对称轴 x＝－2×24－0 3＝40∈[30,50]， 所以当销售单价为 40 元时，所获日销售利润最大．
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二次函数模型应用题的 4 个步骤 (1)审题：理解题意，设定变量 x，y. (2)建模：建立二次函数关系，并注明定义域． (3)解模：运用二次函数相关知识求解． (4)结论：回归到应用问题中去，给出答案．
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(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式 写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才 能获得最大日销售利润．
[解] (1)如图： 设f(x)＝kx＋b， 则6300＝＝3400kk＋＋bb，， 解得kb＝＝－1530，. 所以f(x)＝－3x＋150,30≤x≤50，检验成立．
为：电动自行车 0.3 元/辆，普通自行车 0.2 元/辆．若该天普
通自行车存车 x 辆次，存车费总收入为 y 元，则 y 与 x 的函
数关系式为
()
A．y＝0.2x(0≤x≤4 000)
B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)
C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
(2)由题意得 500×0.9t＝250，即
0．9t＝0.5，两边取以 10 为底的对数，得
lg 0.9t＝lg 0.5，即 tlg 0.9＝lg 0.5，
∴t＝llgg
0.5 0.9≈6.6.
即这种放射性元素的半衰期为 6.6 年．
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指数函数模型的应用
在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分 裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以 表示为 y＝N(1＋p)x(其中 N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．
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解：(1)由题可设 y＝a(x－15)2＋17.5，将 x＝10，y＝20 代入上式， 得 20＝25a＋17.5. 解得 a＝110. 所以 y＝0.1x2－3x＋0(10≤x≤25)． (2)设最大利润为 Q(x)， 则 Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－0.1x2－3x＋40 ＝－0.1(x－23)2＋12.9(10≤x≤25)． 因为 x＝23∈[10,25]， 所以月产量为 23 吨时，可获最大利润 12.9 万元.
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[活学活用] 1．据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在 10 吨至
25 吨时，月生产总成本 y(万元)可以看成月产量 x(吨) 的二次函数；当月产量为 10 吨时，月总成本为 20 万元； 当月产量为 15 吨时，月总成本最低为 17.5 万元，为二 次函数的顶点． (1)写出月总成本 y(万元)关于月产量 x(吨)的函数关系． (2)已知该产品销售价为每吨 1.6 万元，那么月产量为多 少时，可获最大利润？
(1)当 0≤x≤200 时，求函数 v(x)的表达式；
(2)当车流密度 x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观 测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出 最大值．(精确到 1 辆/小时)
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[解] (1)由题意，当 0≤x≤20 时，v(x)＝60； 当 20≤x≤200 时，设 v(x)＝ax＋b，
000 3.
综上，当
x＝100
时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值10
000 3
≈3 333.
即当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最
大值约为 3 333 辆/小时．
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构建分段函数模型的关键点 建立分段函数模型的关键是确定分段的各边 界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行 分类讨论，从而写出函数的解析式．
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[活学活用] 3．某种产品的年产量为 a，在今后 m 年内，计划使产量平均
每年比上年增加 p%. (1)写出产量 y 随年数 x 变化的函数解析式； (2)若使年产量两年内实现翻两番的目标，求 p.
解：(1)设年产量为y，年数为x，则y＝a(1＋p%)x， 定义域为{x|0≤x≤m，且x∈N*}． (2)y＝a(1＋p%)2＝4a，解得p＝100.
(1)求 t 年后，这种放射性元素的质量 w 的表达式； (2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期 (结果精确到 0.1)．
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[解] (1)最初的质量为 500 g.
经过 1 年，ω＝500(1－10%)＝500×0.9；
经过 2 年，ω＝500×0.92；
由此推知，t 年后，ω＝500×0.9t.
y＝kx＋b
反比例函 数模型
y＝kx＋b
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条件 k≠0 k≠0
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二次函 数模型
指数函 数模型 对数函 数模型 幂函数
模型
一般式： y＝ax2＋bx＋c 顶点式：y＝ax＋2
＋4ac－b2 4a
y＝b·a x＋c
y＝mloga x＋n
y＝axn＋b
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a≠0
a＞0且a≠1， b≠0
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6t，0≤t≤1， 解：(1)依题意得 y＝－32t＋230，1＜t≤10. (2)设第二次服药时在第一次服药后 t1 小时，则－23t1＋230＝ 4，解得 t1＝4，因而第二次服药应在 11：00. 设第三次服 药在第一次服药后 t2 小时，则此时血液中含药量应为前两 次服药后的含药量的和，即有－23t2＋230－23(t2－4)＋230＝ 4，解得 t2＝9 小时，故第三次服药应在 16：00.
答案：C
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3．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这
样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是 ( )
A．y＝2x
B．y＝2x－1
C．y＝2x
D．y＝2x＋1
答案：D
4．某物体一天内的温度 T 是时间 t 的函数 T(t)＝t3－3t＋60，时
间单位是 h，温度单位为℃，t＝0 时表示中午 12：00，则上午
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当 0≤x≤20 时，f(x)为增函数，故当 x＝20 时，其最大值为 60×20
＝1
200；当
20＜x≤200
时，f(x)＝13x(200－x)＝－13(x－100)2＋10
000 3
≤10 3000，当且仅当 x＝100 时，等号成立．
所以，当
x＝100
时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值10
8：00 时的温度为________℃.
答案：8
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二次函数模型
[例 1] 某商场经营一批进价是每件 30 元的商品，在市场销售中 发现此商品的销售单价 x 元与日销售量 y 件之间有如下关系：
销售单价 x(元) 30 40 45 50 日销售量 y(件) 60 30 15 0
(1)在所给坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对 应的点，并确定x与y的一个函数关系式 y＝f(x)；
再由已知得22000aa＋＋bb＝＝600，， 解得ab＝＝－203130，.
60，0≤x≤20，
故函数 v(x)的表达式为 v(x)＝1 3
－x，20＜x≤200.
(2)依题意并结合(1)可得
60x，0≤x≤20， f(x)＝13x200－x，20＜x≤200.
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设第四次服药在第一次服药后t3小时(t3>10)，则此时第一次服
进的药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和－
2 3
(t3
－4)＋
20 3
－
2 3
(t3－9)＋
20 3
＝4，解得t3＝13.5小时，故第四次服
药应在20：30.
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指数、对数型函数模型
[例 3] 一种放射性元素，最初的质量为 500 g，按每 年 10%衰减．
3．2.2 函数模型的应用实例
预习课本 P101～106，思考并完成以下问题
(1) 一、二次函数的表达形式分别是什么？ (2) 指数函数模型、对数函数模型的表达形式是什么？其中 待定系数有哪些限制条件？ (3)解决实际问题的基本过程是什么？
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[新知初探]
几类常见函数模型
名称
解析式
一次函 数模型
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分段函数模型
[例 2] 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通 状况．在一般情况下，大桥上的车流速度 v(单位：千米/小时)是车 流密度 x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到 200 辆/ 千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/ 千米时，车流速度为 60 千米/小时．研究表明：当 20≤x≤200 时， 车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数．