哈尔滨市三中2020届高三数学(理)综合测试一附答案详析

哈尔滨市三中2020届高三数学（理）综合测试一
一、单选题
1．设i 是虚数单位，则复数12i
i
-+在复平面内对应的点所在象限为（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．已知集合{
}
2
|4M x x =≤，{},N a a =-，若M N N =I ，则a 的取值范围是（ ）
A ．
[)2,+∞B ．(][),22,-∞-+∞U C ．[)(]2,00,2-U D ．[]22-,
3．某几何体是圆锥的一部分，它的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（ ）
A ．
32
π B ．
332
π
+ C ．3π+
D ．
532
π
+ 4．下列说法正确的是（ ）
A ．在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；
B ．为调查高三年级的240名学生完成作业所需的时间，由教务处对高三年级的学生进行編号，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为分层抽样；
C ．“1x =”是“2320x x -+=”的必要不充分条件；
D ．命题p ：“0x R ∃∈，使得2
00320x x -+<”的否定为：“x R ∀∈，均有2
320x x -+≥”.
5．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
6．工作需要，现从4名女教师，5名男教师中选3名教师组成一个援川团队，要求男、女教师都有，则不同的组队方案种数为 A ．140
B ．100
C ．80
D ．70
7．阅读下面的程序框图，如果输出的函数值()1,24f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，那么输入的实数x 的取值范围是
（ ）
A ．[]1,2-
B ．[]2,1-
C ．
(][),12,-∞+∞U
D ．
(](),12,-∞+∞U
8．若02
π
α
<<
，02π
β-
<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 423
πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ） A ．
3
3
B ．33
-
C ．
53
9
D ．69
-
9．设数列
{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，若7210S S =+，且1a ，3a ，6
a 成等比数列，则前n 项和n S 等于（ ）
A ．2788n n +
B ．2744n n
+
C ．2324
n n
+
D ．2n n +
10．若函数()(
)()2
log 20,1a f x x x
a a =+>≠在区间10,
2⎛⎫
⎪⎝
⎭
内恒有()0f x >，
则()f x 的单调递增区间是（ ） A ．1,4⎛⎫-∞-
⎪⎝⎭ B ．1,4⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
C ．1,2⎛⎫-∞-
⎪⎝
⎭
D ．
()0,+∞
所给的条件进行正确转化得出底数的范围，是解决本题的关键.
11．已知三棱锥O ABC -中，A ，B ，C 三点在以O 为球心的球面上，若2AB BC ==，
120ABC ∠=︒，且三棱锥O ABC -的体积为3，则球O 的表面积为（ ）
A ．
323
π
B ．16π
C ．52π
D ．64π
12．定义方程
()()'f x f x =的实根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()21x g x e =+，
()()ln 1h x x =+，()31x x ϕ=-的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为
（ ） A ．a b c >> B ．c b a >>
C ．c a b >>
D ．b c a >>
二、填空题
13．已知向量a r ，b
r
满足3a =r ，2b =r ，且a r 与b r
的夹角为60︒，则2a b -=r r ______.
14．实数x ，y 满足条件402200,0
x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩
，则41log 12x y ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭的最大值为______.
15．双曲线1C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，且抛物线2C ：
()220y px p =>的焦点与双曲线1C 的焦点重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足
212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离心率e =______.
16．已知南北回归线的纬度为2326'︒，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，ϕ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是90θ
ϕδ=︒--.当地夏半年δ取正
值，冬半年δ取负值，如果在北半球某地（纬度为0ϕ）的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离应不小于______（结果用含有
0h 和0ϕ的式子表示）.
三、解答题
17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2
7
4sin cos 222
A B C +-=. （1）求角C ； （2）若33
2
ABC S ∆=，7c =，求a ，b 的值.
弦定理、面积公式等知识点，考查了学生的综合分析能力，数学运算能力，属于中档题. 18．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，90BAC ∠=︒，11AB AC AA ===，E 、
F 分别是棱1C C 、BC 的中点.
（1）求证：1B F ⊥平面AEF ；
（2）求直线1B F 与平面1AB E 所成的角的正弦值.
19．某班有甲乙两个物理科代表，从若干次物理考试中，随机抽取八次成绩的茎叶图（其中茎为成绩十位数字，叶为成绩的个位数字）如下：
（1）分别求甲、乙两个科代表成绩的中位数；
（2）分别求甲、乙两个科代表成绩的平均数，并说明哪个科代表的成绩更稳定；
（3）将频率视为概率，对乙科代表今后三次考试的成绩进行预测，记这三次成绩中不低于90分的次数为ξ，求ξ的分布列及均值.
20．已知过圆1C ：22
1x y +=上一点13,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
的切线，交坐标轴于A 、B 两点，且A 、B
恰好分别为椭圆2C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的上顶点和右顶点.
（1）求椭圆2C 的方程；
（2）已知P 为椭圆的左顶点，过点P 作直线PM 、PN 分别交椭圆于M 、N 两点，若直线MN 过定点()1,0Q
-，求证：PM PN ⊥.
21．已知111123S n =
++⋅⋅⋅+，211121
S n =++⋅⋅⋅+-，直线1x =，x n =，0y =与曲线1y x =
所围成的曲边梯形的面积为S .其中n N ∈，且2n ≥.
（1）当0x >时，
()ln 11
ax
x ax x <+<+恒成立，求实数a 的值； （2）请指出1S ，S ，2S 的大小，并且证明；
（3）求证：131112ln
ln 3132313n i n n i i i =+⎛⎫
<+-< ⎪+--⎝⎭
∑.
22．已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角
坐标系，直线l 的参数方程222
222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
（t 为参数）.
（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设曲线C 经过伸缩变换'2'x y
y y
=⎧⎨
=⎩得到曲线'C ，设曲线'C 上任一点为()','M x y ，求点
M 到直线l 距离的最大值.
23．已知关于x 的不等式
2|25|5x a x a +++-<.
（1）当1a =时，求不等式的解集；
（2）若该不等式有实数解，求实数a 的取值范围.
解析
哈尔滨市三中2020届高三数学（理）综合测试一
一、单选题
1．设i 是虚数单位，则复数12i
i
-+在复平面内对应的点所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D
【解析】利用复数的除法运算化简复数的形式，写出复数再复平面中对应的点坐标，进而写出所在象限. 【详解】
1(1)(2)13132(2)(2)555i i i i z i i i i ----=
===-++-对应的点坐标为13
(,)55
-，在第四象限.故选:D 【点睛】
本题考查了复数的除法运算和几何意义，考查了学生数学运算和数形结合的能力，属于基础题. 2．已知集合{
}
2
|4M x x =≤，{},N a a =-，若M N N =I ，则a 的取值范围是（ ）
A ．
[)2,+∞B ．(][),22,-∞-+∞U C ．[)(]2,00,2-U D ．[]22-,
【答案】C
【解析】解二次不等式得到集合M 的具体范围，转化M N N =I 为N M ⊆，比较a 与集合
M 两个端点可得到结论. 【详解】 集合{}|22M
x x =-≤≤，又M N N =I 等价于N M ⊆，因此：
当0a >时，20<22a a a ≤⎧∴≤⎨
-≥-⎩；当0a <时，2
202a a a -≤⎧∴-≤<⎨≥-⎩
； 综上：[)(]2,00,2a ∈-U 故选：C
【点睛】
本题考查了集合的交集运算的性质以及集合的包含关系，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.
3．某几何体是圆锥的一部分，它的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（ ）
A ．
32
π B ．
332
π
+ C ．3π+
D ．
532
π
+ 【答案】B
【解析】三视图复原可知几何体是圆锥的一半，根据三视图数据，求出几何体的表面积. 【详解】
由题目所给的三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与截面面积的和.
又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为
112=2ππ⨯⨯⨯，底面积为12
π. 观察三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所以轴截面面积为
13
22=322
⨯⨯⨯，则该几何体的表面积为：332π+ 故选：B 【点睛】
本题考查了几何体的三视图，表面积，考查了学生的空间想象力，数学运算能力，属于基础题. 4．下列说法正确的是（ ）
A ．在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；
B ．为调查高三年级的240名学生完成作业所需的时间，由教务处对高三年级的学生进行編号，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为分层抽样；
C ．“1x =”是“2320x x -+=”的必要不充分条件；
D ．命题p ：“0x R ∃∈，使得2
00320x x -+<”的否定为：“x R ∀∈，均有2
320x x -+≥”.
【答案】D
【解析】A .根据众数和中位数的性质进行判断； B .根据系统抽样的定义进行判断；
C .根据充分条件和必要条件的定义进行判断；
D .根据含有量词的命题的否定进行判断. 【详解】
对于A ，在频率分步直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，故A 错误； 对于B ，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为系统抽样，故B 错误；
对于C ，由2320x x -+=得1x =或2x =，故“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，故C 错误；对于D ，正确.故选：D 【点睛】
本题考查了众数和中位数、系统抽样、充分条件和必要条件、含有量词的命题的否定等知识点，考查了学生综合分析得能力，属于基础题.
5．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
【解析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答. 【详解】
由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，
∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∴2∴
，
∴cos 2∴(－1，0)，sin 2∴(0，1)，
∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故选B. 【点睛】
本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.
6．工作需要，现从4名女教师，5名男教师中选3名教师组成一个援川团队，要求男、女教师都有，则不同的组队方案种数为 A ．140 B ．100 C ．80 D ．70
【答案】D
【解析】先分类确定男女人数，再利用两个原理计数. 【详解】
2男1女：1245C C ;1男2女：21
45C C ; 所以共有1
2
2
1
4545+=40+30=70C C C C ，选D. 【点睛】
本题考查排列组合简单应用，考查基本分析求解能力，属基础题.
7．阅读下面的程序框图，如果输出的函数值()1,24f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，那么输入的实数x 的取值范围是
（ ）
A ．[]1,2-
B ．[]2,1-
C ．
(][),12,-∞+∞U
D ．
(](),12,-∞+∞U
【答案】D
【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用
是计算分段函数()2,[2,2]
=2,(,2)(2,)
x x f x x ⎧∈-⎨∈-∞-⋃+∞⎩的函数值，根据函数解析式，结合输出的
函数值在区间1,24⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
即可.
【详解】
分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分
段函数()2,[2,2]
=2,(,2)(2,)
x x f x x ⎧∈-⎨∈-∞-⋃+∞⎩的函数值
又因为()1,24f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，
故12
,24x
⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
或(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞ (](),12,x ∴∈-∞+∞U
故选：D 【点睛】
本题考查了分支结构的程序框图，解答本题的关键是读懂给出的程序框图，属于基础题. 8．若02
π
α
<<
，02π
β-
<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 423
πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ） A ．
3
3
B ．33
-
C ．
53
9
D ．69
-
【答案】C
【解析】利用同角三角函数的基本关系求出sin 4πα⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
与sin 42πβ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭，然后利用两角差的余弦公式求出cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛
⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦值． 【详解】
02
π
α<<
Q ，34
44π
π
πα∴<+
<
，则222sin 1cos 443ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
02
π
β-
<<Q ，则
4
4
2
2
π
π
β
π
<
-
<
，所以，26sin 1cos 42423
πβπβ⎛⎫⎛⎫
-=--=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
因此，cos cos 2442βππβα
α⎡⎤⎛
⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦ 1322653cos cos sin sin 44244233339ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=+-++-=⋅+⋅=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭， 故选C ． 【点睛】
本题考查利用两角和的余弦公式求值，解决这类求值问题需要注意以下两点： ∴利用同角三角平方关系求值时，要求对象角的范围，确定所求值的正负； ∴利用已知角来配凑未知角，然后利用合适的公式求解． 9．设数列
{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，若7210S S =+，且1a ，3a ，6
a 成等比数列，则前n 项和n S 等于（ ）
A ．2788
n n
+
B ．2744n n
+
C ．2324
n n
+
D ．2n n +
【答案】A
【解析】将给出的条件：7210S S =+，1a ，3a ，6a 成等比数列用基本量1,a d 表示，求解1,a d ，进而得到前n 项和n S . 【详解】
设等差数列的首项、公差分别为：1,a d ，且7210S S =+，1a ，3a ，6a 成等比数列
211111721210(2)(5)a d a d a d a a d ∴+=+++=+，
11
1,4
a d ∴==
前n 项和2
8
(1)1=2847n n n n n n
S -+
+⨯= 故选：A 【点睛】
本题考查了等比数列的定义及性质，等差数列的通项公式、前n 项和公式，属于中档题. 10．若函数()(
)()2
log 20,1a f x x x
a a =+>≠在区间10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
内恒有()0f x >，则()f x 的单调递增区间是（ ） A ．1,4⎛
⎫-∞-
⎪⎝⎭
B ．1,4⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
C ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝
⎭
D ．
()0,+∞
【答案】C
【解析】试题分析：由题意得，因为
，，函数
()()
()2log 20,1a f x x x a a =+>≠在区间
内恒有
()0f x >，所以
，由复合
函数的单调性可知
的单调递减区间
，对复合函数的形式进行判断，可得到函数的
单调递增区间为，故选C ．
考点:1.对数函数的图象与性质；2.复合函数的单调性；3.函数恒成立问题.
【方法点睛】本题主要考查的是用复合函数的单调性求单调区间，函数恒成立问题，对数函数的图象与性质，属于中档题，本题要根据题设中所给的条件解出
的底数
的值，由
，可得到内层函数的值域，再由
()0f x >恒成立，可得到底数的取值范围，再利
用复合函数的单调性求出其单调区间即可，因此本题中正确将题设中所给的条件进行正确转化得出底数的范围，是解决本题的关键.
11．已知三棱锥O ABC -中，A ，B ，C 三点在以O 为球心的球面上，若2AB BC ==，
120ABC ∠=︒，且三棱锥O ABC -的体积为3，则球O 的表面积为（ ）
A ．
323
π B ．16π C ．52π D ．64π
【答案】C
【解析】由题意2AB BC ==，120ABC ∠=︒，可求得ABC ∆的面积，进而通过O ABC -的体积得到三棱锥的高，即球心到平面ABC 的距离.通过外接圆的半径公式，求得截面圆的半径，得到球O 的半径，即得解. 【详解】
由题意2AB BC ==，ABC 1
120=||||sin 32
ABC
S AB BC ABC ∆∠=︒∠=，
1
333
O ABC ABC V S h h -∆==∴=.
又ABC ∆的外接圆的半径2
22sin 2sin 30o
AB r C =
==
因此球O 的半径222313R =
+=
球的表面积：2452S R ππ==. 故选：C 【点睛】
本题考查了球和三棱锥以及球的截面圆的综合问题，考查了学生的综合分析，空间想象，数学运算能力，属于中档题. 12．定义方程
()()'f x f x =的实根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()21x g x e =+，
()()ln 1h x x =+，()31x x ϕ=-的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为
（ ） A ．a b c >> B ．c b a >>
C ．c a b >>
D ．b c a >>
【答案】B
【解析】可先求出'(),'(),'()g x h x x ϕ，由新驻点的定义可知对应的方程为：
22321
12,ln(1),131
x x e e x x x x +=+=
-=+， 从而构造函数
2321111
()1,()ln(1),()131
x g x e h x x x x x x ϕ=-=+-
=--+ 由零点存在性定理判断,,a b c 的范围即可. 【详解】
由题意：221
'()2,'(),'()31
x
g x e
h x x x x ϕ==
=+， 所以,,a b c 分别为22321
12,ln(1),131
x
x e
e x x x x +=+=
-=+的根，即为函数 2321111
()1,()ln(1),()131
x g x e h x x x x x x ϕ=-=+-
=--+的零点，
可解得：0a =；
又因为：111
(0)10,(1)ln 20,(0,1)2
h h b =-<=-
>∈； 又因为：11(2)0,(4)150,(2,4)c ϕϕ<=>∈； 所以：c b a >> 故选：B 【点睛】
本题是函数与导数综合的创新新定义题型，考查了导数、零点存在性定理等知识点，考查了学生综合分析，转化化归，数学运算的能力，属于难题.
二、填空题
13．已知向量a r ，b
r
满足3a =r ，2b =r ，且a r 与b r
的夹角为60︒，则2a b -=r r ______.
【答案】27
【解析】先计算a r
与b r
的数量积，由向量模的计算公式，代入数据即可的答案. 【详解】
根据题意||||cos 603o a b a b ⋅=⋅=r r r r ，222|2|4||4||28a b a a b b -=-⋅+=r r r r r r
，
|2|27a b ∴-=r r
故答案为：27 【点睛】
本题考查了数量积的计算预计向量模的计算方法，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
14．实数x ，y 满足条件402200,0
x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩
，则41log 12x y ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭的最大值为______.
【答案】1
【解析】利用不等式性质，同向不等式的可加性，由已知条件中的不等式得到1
+12
x y +的取值范围，进而得解. 【详解】 由题意：
4x y +≤---------(1)
22x y -+≤---------(2)
0,0x y ≥≥---------(3)
1
4(1)(2):361832
x y x y ⨯++≤∴+≤
由（3）：1
02
x y ≤
+ 411
1+140log (+1)122
x y x y ∴≤
+≤∴≤+≤ 故答案为：1 【点睛】
本题考查了不等式的性质，同向不等式的可加性，考查了学生转化与化归，数学运算的能力，属于基础题.
15．双曲线1C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，且抛物线2C ：
()220y px p =>的焦点与双曲线1C 的焦点重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足
212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离心率e =______.
【答案】12+
【解析】根据题意可得p 与a ,c 的关系，把抛物线的方程与双曲线的方程联立可得答案. 【详解】 由题意可知：
22
p
c p c =∴= 在由双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，知交点P 的横坐标为c , 把抛物线与双曲线联立得：
222
41x cx a b -=，把x c =代入整理得：42610e e -+= 解得：12e =+
故答案为：12+
【点睛】
本题考查了双曲线与抛物线综合问题，考查了学生综合分析，数学运算得能力，属于中档题. 16．已知南北回归线的纬度为2326'︒，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，ϕ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是90θ
ϕδ=︒--.当地夏半年δ取正
值，冬半年δ取负值，如果在北半球某地（纬度为0ϕ）的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离应不小于______（结果用含有
0h 和0ϕ的式子表示）.
【答案】()00
tan
2326'h ϕ
︒+
【解析】根据题意，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线时的情况考虑，此时的太阳直射纬度为2326'-︒，依题意两楼的间距不小于MC ，根据太阳高度角的定义，以及题设条件，解三角形，即得解. 【详解】 如图：
设点A ，B ，C 分别为太阳直射北回归线，赤道，南回归线时楼顶在地面上得投射点，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线时的情况考虑，此时的太阳直射纬度为2326'-︒，依题意两楼的间距不小于MC ，根据太阳高度角的定义得：
90|(2326')|90(2326')o o o o o o C ϕϕ∠=---=-+
0|MC|=
tan(2326')tan tan(90(2326'))
o o o
o o o
o h h h C ϕϕ∴==+-+ 故答案为：()00
tan 2326'h ϕ
︒+
【点睛】
本题考查了解三角形在实际问题中的应用，考查了学生综合分析，数学建模，数学运算的能力，属于较难题.
三、解答题
17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2
7
4sin cos 222
A B C +-=. （1）求角C ； （2）若33
2
ABC S ∆=
，7c =，求a ，b 的值. 【答案】（1）3
C π
=
；（2）23a b =⎧⎨
=⎩或3
2a b =⎧⎨
=⎩
【解析】（1）使用三角形的内角和公式和二倍角公式化简式子，得出cosC 的方程； （2）根据面积公式和余弦定理构造关于a ,b 的等量关系，即得解. 【详解】
（1）由已知得，()()()
2
721cos 2cos 12
A B C -+--=
， 所以()2
2cos 10C -=，
所以1cos 2C
=
，3
C π=. （2）133
sin 22
ABC
S ab C ∆=
=
，所以6ab =.（1） 又由()()2
221cos c a b ab C =+-+得，5a b +=.（2）
（1）与（2）联立得：23a b =⎧⎨=⎩或3
2a b =⎧⎨
=⎩
. 【点睛】
本题考查了解三角形的综合问题，涉及正弦定理、余弦定理、面积公式等知识点，考查了学生的综合分析能力，数学运算能力，属于中档题.
18．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，90BAC ∠=︒，11AB AC AA ===，E 、
F 分别是棱1C C 、BC 的中点.
（1）求证：1B F ⊥平面AEF ；
（2）求直线1B F 与平面1AB E 所成的角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
6
6
【解析】（1）根据题设中的长度关系，得到1B F EF ⊥，再结合1AF B F ⊥即得证； （2）如图建立平面直角坐标系，根据线面角的向量公式，即得解. 【详解】 （1）因为AF BC ⊥，1AF BB ⊥.
所以AF
⊥平面11BCC B ，所以1AF B F ⊥.
11AB AC AA ===，则2132B F =
，234EF =，2
194
B E =， 所以222
11B EF F B E +=，所以1B F EF ⊥，
所以1B F ⊥平面AEF ；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
则()0,0,0A ，()11,0,1B ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，11,,022F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，111,,122B F ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
u u u u r ，
平面1AB E 的法向量为()2,1,2u =-r
，
设直线1B F 与平面1AB E 所成的角为α，
则1116
sin cos ,6||||
B F u B F u B F u α⋅===⋅u u u u r r
u u u u r r u u u
u r r . 【点睛】
本题考查了空间中直线与平面的垂直判定，线面角的计算，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.
19．某班有甲乙两个物理科代表，从若干次物理考试中，随机抽取八次成绩的茎叶图（其中茎为成绩十位数字，叶为成绩的个位数字）如下：
（1）分别求甲、乙两个科代表成绩的中位数；
（2）分别求甲、乙两个科代表成绩的平均数，并说明哪个科代表的成绩更稳定；
（3）将频率视为概率，对乙科代表今后三次考试的成绩进行预测，记这三次成绩中不低于90分的次数为ξ，求ξ的分布列及均值.
【答案】（1）甲的中位数是83.5，乙的中位数是83；（2）甲乙的平均数都是85
，甲科代表的
成绩更稳定；（3）分布列见解析，98
E ξ=
【解析】（1）根据茎叶图中的数据以及中位数的定义，可得解； （2）根据茎叶图中的数据，平均数、方差的定义，得解；
（3）根据题意ξ服从二项分布，分别求出随机变量的概率然后求概率的分布列和均值. 【详解】
（1）甲的中位数是83.5，乙的中位数是83；
（2）甲乙的平均数都是85，2
27S =甲，2
318
39.758
S =
=乙， 因为22
S S <甲乙，所以甲科代表的成绩更稳定； （3）3~3,8B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
ξ的分布列是： ξ
1
2
3
P
125
512 225
512 135
512 27
512
98
E ξ=
. 【点睛】
本题为统计和概率的综合题，考查了茎叶图、中位数、平均数、方差，二项分布，随机变量的分布列和期望等概念，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于中档题.
20．已知过圆1C ：2
2
1x y +=上一点13,22E ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
的切线，交坐标轴于A 、B 两点，且A 、B
恰好分别为椭圆2C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的上顶点和右顶点.
（1）求椭圆2C 的方程；
（2）已知P 为椭圆的左顶点，过点P 作直线PM 、PN 分别交椭圆于M 、N 两点，若直线MN 过定点()1,0Q
-，求证：PM PN ⊥.
【答案】（1）221
4
43
x y +=；（2）见解析
【解析】（1）根据题设条件，可得上顶点和右顶点的坐标，进而可得椭圆方程；
（2）根据题意设出直线MN 的方程与椭圆联立，得到22121222
634
1313k k x x x x k k
-+=-=++，， 转化PM PN ⊥为证明0PM PN ⋅=u u u u r u u u r
，利用韦达定理即得证.
【详解】
（1）直线OE l 的方程为3y x =
，则直线AB l 的斜率33
AB k =-
. 所以AB l ：323
33y x =-+，即230,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，()2,0B ， 椭圆方程为：22
1
4
43
x y +=； （2）∴当MN k 不存在时，()1,1M
-，()1,1N --，
因为()()1,11,10PM PN ⋅=-⋅--=u u u u r u u u r ，所以PM PN ⊥u u u u r u u u r .
∴当MN k 存在时，设()11,M
x y ，()22,N x y ，MN l ：()1y k x =+，
联立()2211443y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩得：()2222
136340k x k x k +++-=.
所以2122613k x x k +=-+，2122
3413k x x k
-=+， 又已知左顶点P 为
()2,0-，
()()()11221212122,2,24x y x y x x x x y y PM PN +⋅+=+++⋅=+u u u u r u u u r
，
又()()()2
12121212111y y k x k x k x x x x =++=+++2
2
313k k
-=+， 所以222222341234131313k k k PM PN k k k --⋅=-+++++u u u u r u u u r 2222
2
34124123013k k k k k
--++-==+， 所以PM PN ⊥u u u u r u u u r
.
综上PM PN ⊥得证.
【点睛】
本题考查了直线和椭圆综合问题，考查了学生综合分析，转化、数学运算的能力，属于较难题.
21．已知111123S n =
++⋅⋅⋅+，211121
S n =++⋅⋅⋅+-，直线1x =，x n =，0y =与曲线1y x =
所围成的曲边梯形的面积为S .其中n N ∈，且2n ≥.
（1）当0x >时，
()ln 11
ax
x ax x <+<+恒成立，求实数a 的值； （2）请指出1S ，S ，2S 的大小，并且证明；
（3）求证：131112ln
ln 3132313n i n n i i i =+⎛⎫
<+-< ⎪+--⎝⎭
∑. 【答案】（1）1；（2）12S S S <<，证明见解析；（3）见解析 【解析】（1）构造函数()()()1ln 1m
x x x ax =++-，()()ln 1n x ax x x =-+借助导数分
析函数单调性，研究a 的范围，即得解. （2）借助第（1）问的结论进行放缩，即得证； （3）借助第（1）问的结论进行放缩和叠加，即得证； 【详解】
（1）由已知得0a ≤时，不合题意，所以0a >.
()ln 11
ax
x x <++恒成立，即()()()1ln 10ax x x x <++>恒成立. 令()()()1ln 1m
x x x ax =++-，()()'ln 11m x x a =++-.
当1a ≤时，()m x 在()0,∞+上为增函数，此时()0m x >成立.
当1a >时，()m x 在()10,1a e --上为减函数，不合题意，所以1a ≤.
令()()ln 1n
x ax x x =-+，()1
'1
n x a x =-
+，当1a ≥时，()n x 在()0,∞+上为增函数，此时()0n
x >，()ln 1x ax +<恒成立.
当01a <<时，()n x 在10,1a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上为减函数，不合题意，所以1a ≥.
综上得1a =. （2）由（1）知
()()ln 101x x x x x <+<>+.令1x i =，得
111ln 11i i i
⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭， 从而11111111
ln 112321
n i n i n -=⎛⎫+++<+<+++ ⎪-⎝⎭∑L L ，
又因为11ln n
S dx n x
==⎰，则12S S S <<. （3）由已知111232313n
i i i i =⎛⎫+- ⎪--⎝
⎭∑ 1111111123
323n n ⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭L 111123n n n =++⋅⋅⋅+++， 因为111ln 11i i i
⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，所以 111111ln 1ln 1ln 1123123n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>++++++ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L L 31ln 1
n n +=+， 111123ln ln ln 123131n n n n n n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+++ ⎪ ⎪ ⎪+++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L L ln3=. 从而131112ln ln 3132313n i n n i i i =+⎛⎫<+-< ⎪+--⎝⎭
∑. 【点睛】
本题考查了定积分的几何意义、不等式的恒成立问题、对数的运算等，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于难题.
22．已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角
坐标系，直线l 的参数方程222222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
（t 为参数）.
（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）设曲线C 经过伸缩变换'2'x y y y
=⎧⎨=⎩得到曲线'C ，设曲线'C 上任一点为()','M x y ，求点M 到直线l 距离的最大值.
【答案】（1）40x y --=，221x y +=；（2）10422
+ 【解析】（1）利用参数方程和一般方程，极坐标和直角坐标系下方程的转化公式，代入即得解；
（2）求出'C 方程，再由参数方程设()2cos ,sin M ϕϕ，由点到直线距离公式，运用两角和的
正弦公式化简，即得解.
【详解】
（1）直线l 的普通方程：40x y --=，曲线C 的直角坐标方程：221x y +=；
（2）曲线C ：2
2''14
x y +=，设()2cos ,sin M ϕϕ， ()5sin 4
2cos sin 4
22d ϕθϕϕ+---==，其中θ为辅助角，
当()sin 1ϕθ+=-时，d 取最大值为10422
+. 【点睛】 本题考查了参数方程、极坐标方程与一般方程的互化，点到直线的距离公式等知识点，考查了学生转化划归、数学运算的能力，属于中档题.
23．已知关于x 的不等式2|25|5x a x a +++-<.
（1）当1a =时，求不等式的解集；
（2）若该不等式有实数解，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）37,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
；（2）(0,2). 【解析】（1）代入1a =,可得绝对值不等式|1||3|5x x ++-<.分类讨论x 的不同取值范围,即可解不等式.
（2）根据绝对值三角不等式的性质,化简后结合不等式有实数解,即可求得实数a 的取值范围.
【详解】
（1）当1a =时,令()|1||3|5g x x x =++-<
当1x <-时,()225g x x =-+<,解得312x ->>-
当13x -≤<时,()45g x =<,不等式恒成立
当3x ≥时,()225g x x =-<,解得732
x ≤< 综上所述,不等式的解集为37,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ （2）222|||25|2525x a x a x a x a a a +++-≥+--+=-+,
所以2255a a -+<即25255a a -<-+<解得()0,2a ∈
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法,分类讨论思想和绝对值三角不等式性质的应用,属于中档题.。