巩固练习_提高_等差数列及其前n项和

【巩固练习】
一、选择题
1．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
2．已知等差数列{a n }的前三项依次为a －1，
172a -,3，则该数列中第一次出现负值的项为( ) A ．第9项
B ．第10项
C ．第11项
D ．第12项 3.已知{a n }是等差数列，a 3＋a 11＝40，则a 6－a 7＋a 8等于( ) A ．20
B ．48
C ．60
D ．72 4. 等差数列{a n }中，a 1＝8，a 5＝2，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等
差数列的公差是( ) A.
34
B ．34-
C ．67-
D ．－1 5.(2015 新课标Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8=4S 4，则a 10=（ ） A ． 172 B ．192
C ．10
D ．12 6. 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且
7453n n A n B n +=+，则使得n n a b 为整数的正整数n 的个数是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题
7．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________. 8．若x ≠y ，数列x ，a 1，a 2，y 和x ，b 1，b 2，b 3，y 各自成等差数列，则1212
a a
b b --＝________. 9.把20分成四个数成等差数列，使第一项与第四项的积同第二项与第三项的积的比为2∶3，则这四个数从小到大依次为____________.
10.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k ＝________.
11.（2016 南通模拟）等差数列{}n a 中，1583,115a a a =-=，则其前n 项和n S 的最小值为 。

三、解答题
12.在等差数列{a n }中，a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450，求a 2+a 8.
13．（2016春 重庆校级月考）已知等差数列的前n 项和为n s ，若13926,4s a =-=，求：
（1）数列的通项公式；
（2）13521n a a a a -+++⋅⋅⋅+
14．已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为S n ，S 4＝2S 2＋4，1n n n a b a +=
. (1)求公差d ；
(2)若a 1＝52
-，求数列{b n }中的最大项和最小项；
(3)若对任意的n ∈N *，都有b n ≤b 8成立，求a 1的取值范围．
15．用S m →n 表示数列{a n }从第m 项到第n 项(共n －m ＋1项)之和．
(1)在递增数列{a n }中，a n 与a n ＋1是关于x 的方程x 2－4nx ＋4n 2－1＝0(n 为正整数)的两个根，求{a n }的通项公式并证明{a n }是等差数列；
(2)对(1)中的数列{a n }，判断数列S 1→3，S 4→6，S 7→9，…，S 3k －2→3k 是否为等差数列．
16.设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，则称{a n }是“H 数列”．
(1)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n (n ∈N *)，证明：{a n }是“H 数列”；
(2)设{a n }是等差数列，其首项a 1＝1，公差d ＜0，若{a n }是“H 数列”，求d 的值；
(3)证明：对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．
【答案与解析】
1．答案： C
解析： ∵S 偶－S 奇＝5d ，
∴5d ＝15，∴d ＝3.
2. 答案： B 解析： 因为a －1，
172
a -,3是等差数列{a n }的前三项， 所以17(1)32()2a a -+=-， ∴a ＝5，a 1＝4，a 2＝72
， ∴14191222
n a a n d =⎧⎪⇒=-+⎨=-⎪⎩. 令a n <0，则19022
n -+<， ∴n >9，故选B.
3. 答案： A
解析： ∵a 6＋a 8＝2a 7，
又a 3＋a 11＝2a 7＝40.∴a 7＝20.
∴a 6－a 7＋a 8＝2a 7－a 7＝a 7＝20，故选A.
4. 答案： B
解析： 设数列{a n }的公差为d ，则在每相邻两项之间插入一个数后得到的等差数列公差为2
d .
又由5128351512
a a d --=
==---， 得324d =-. 5．答案：B
解析：∵{an}为等差数列 d=1
∵8a 1+28=16a 1+24
∴8a 1=4 112a =
故选B
6. 答案： D
解析： 因为
7453n n A n B n +=+. 又因为2121721457192131n n n n
A a n n
B n n b ---++===-++， 所以71912711
n n a n b n n +==+++， 要使
n n a b 为整数，则121n +必为整数， 于是n 可取0,1,2,3,5,11，
因为n 为正整数，因此n 取1,2,3,5,11，共5个数．故应选D.
7. 答案： 13
解析： 由已知得111
2746a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩， 所以a 6＝a 1＋5d ＝13.
8. 答案： 43
解析： 由于123x y a a --=，124x y b b --=，则1
21243a a b b -=-. 9. 答案2，4，6，8；
解析：设这四个数依次为:x-3d, x-d, x+d, x+3d.
10. 答案： 8
解析： 由S n ＝n 2－9n ，得此数列为等差数列，计算得a n ＝2n －10，由5<2k －10<8，得k <9，故k ＝8.
11. 答案：-4
解析：由58115a a =，得1690a d +=，又13a =-，故2d =， 故3(1)225n a n n =-+-⨯=-，故此数列为递增数列。

故等差数列{}n a 的前2项为负数，从第三项开始为正数，故前2项的和最小为-3+（-1）=-4.
12. 解析：
解法一：统一成关于a 1，n ，d 的表达式.
设{a n }的首项和公差分别为a 1和d ，则
a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=5a 1+20d=450
1804505
2)205(52821182=⨯=+⋅=
+=+d a d a a a . 解法二：a m +a n =a p +a q ⇔m+n=p+q 由等差数列的性质可知
a 2+a 8=a 3+a 7=a 4+a 6=2a 5 ∴1804505
2)(528256473182=⨯=++++⋅=
+=+a a a a a d a a a . 13.（1）由题意可得113713713()1321326,22
a a a S a +⨯====- 解之可得72a =-，故公差97397
a a d -==- 故可得9(9)323n a a n d n =+-=- （2）由（1）可知213(21)23626,n a n n -=--=-
且数列13521,,,n a a a a -⋅⋅⋅仍成等差数列 故1211321()2n n n a a a a a --+++⋅⋅⋅+= =2(20626)3232
n n n n -+-=- 14．解析： (1)∵S 4＝2S 2＋4，∴113442(2)42a d a d ⨯+=++， 解得d ＝1.所以公差d 为1.
(2)∵152a =-，∴数列{a n }的通项公式为17(1)2n a a n d n =+-=-，∴111172n n b a n =+=+-. ∵函数1
()17
2f x x =+-在7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上分别是单调减函数， ∴当1≤n ≤3时，b 3<b 2<b 1<1；
当n ≥4时，1<b n <b 4.
∴数列{b n }中的最大项是b 4＝3，最小项是b 3＝－1，
故数列{b n }中的最大项和最小项分别为3，－1.
(3)由11n n b a =+，得1111
n b n a =++-. 又函数11()11f x x a =+
+-在(－∞，1－a 1)和(1－a 1，＋∞)上分别是单调减函数， ∴当x <1－a 1时，f (x )<1；
当x >1－a 1时，f (x )>1.
∵对任意的n ∈N *，都有b n ≤b 8，
∴7<1－a 1<8，∴－7<a 1<－6，
∴a 1的取值范围是(－7，－6)．
15．解析： (1)解方程x 2－4nx ＋4n 2－1＝0，得
x 1＝2n －1，x 2＝2n ＋1.
∵{a n }是递增数列，∴a n ＝2n －1，a n ＋1＝2n ＋1，a n ＋1－a n ＝2， ∴数列{a n }是等差数列，其通项公式为a n ＝2n －1.
(2)当k 为正整数时，S 3k －2→3k ＝a 3k －2＋a 3k －1＋a 3k ＝18k －9，S 3(k ＋1)－2→3(k ＋1)＝18(k ＋1)－9＝18k ＋9， ∴S 3(k ＋1)－2→3(k ＋1)－S 3k －2→3k ＝18(常数)，
∴数列S 1→3，S 4→6，S 7→9，…，S 3k －2→3k 是等差数列．
16.解析：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －
1，
当n ＝1时，a 1＝S 1＝2．
当n ＝1时，S 1＝a 1．
当n ≥2时，S n ＝a n ＋1．
∴数列{a n }是“H ”数列． (2)S n ＝d 2
1n n n d 21n n na 1）－（＋＝）－（＋
， 对∀n ∈N *，∃m ∈N *使S n =a m ，即d 1m 1d 2
1n n n ）－＋（＝）－（＋， 取n ＝2时，得1＋d ＝(m －1)d ，解得d 12m ＋＝， ∵d ＜0，∴m ＜2，
又m ∈N *，∴m ＝1，∴d ＝－1．
(3)设{a n }的公差为d ，令b n ＝a 1－(n －1)a 1＝(2－n)a 1，
对∀n ∈N *，b n ＋1－b n ＝－a 1，
c n ＝(n －1)(a 1＋d)，
对∀n ∈N *，c n ＋1－c n ＝a 1＋d ，
则b n ＋c n ＝a 1＋(n －1)d ＝a n ，且数列{b n }和{c n }是等差数列．
数列{b n }的前n 项和T n ＝）（－）－（＋
11a 2
1n n na ， 令T n ＝(2－m)a 1，则223n n m ＋）－（＝． 当n ＝1时，m ＝1；当n ＝2时，m ＝1．
当n ≥3时，由于n 与n －3的奇偶性不同，即n(n －3)为非负偶数，m ∈N *． 因此对∀n ∈N *，都可找到m ∈N *，使T n ＝b m 成立，即{b n }为H 数列．
数列{c n }的前n 项和R n ＝
）＋（）－（d a 2
1n n 1， 令c m ＝(m －1)(a 1＋d)＝R n ，则m ＝121n n ＋）－（． ∵对∀n ∈N *，n(n －3)为非负偶数，∴m ∈N *．
因此对∀n ∈N *，都可找到m ∈N *，使R n ＝c m 成立，即{c n }为H 数列． 因此命题得证．。