线性代数模拟试题(二)及答案
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模拟试题(二)
一、填空题.
1.设,A B 均为3阶方阵,若1
,22
==A B ,则T 12()-B A = . 2.设123(2,3,5),(3,7,8),(1,6,1)===-ααα,若12323=--βααα,则
β= .
3.线性方程组=AX B 有解的充分必要条件是 .
4.设齐次线性方程组0040x y x ky x y z -+=⎧⎪
+=⎨⎪++=⎩
有非零解,则k =_ .
5.将向量(5,0,2,4)=α单位化得 . 二、选择题.
1.对任意的n 阶方阵,A B 总有 ( ). A.=AB BA B.=AB BA
C.()()T T =AB BA
D.()2
22=AB A B
2.设向量组为12,,,m ααα线性相关,且该向量组的秩为r ,则必有( ).
A.r m =
B.m r <
C.1m r =+
D.r m < 3.行列式
1202
1
k k -≠-的充分必要条件是( ).
A.1k ≠且3k ≠
B.1k ≠-且3k ≠
C. 1k ≠且3k ≠-
D.1k ≠-且3k ≠-
4.齐次线性方程组120n x x x +++=的基础解系所含解向量的个
数为( ).
A.1n -
B.2
n C.
12n + D.(1)
2
n n + 5.n 阶矩阵A 与某对角阵相似的充分必要条件是( ). A.()R n =A B.A 是实对称矩阵
C.A 有n 个不同特征值
D.A 有n 个线性无关的特征向量
三、计算3112
5134
20111533
------行列式的值.
四、设111123213,221344343--⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
A B ,求(1)1-A ;(2)T
B A .
五、已知向量组123411111131
,,,11111131⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
αααα,求
(1)求1234,,,,αααα的一个最大无关组; (2)将其余向量用最大无关组线性表示.
六、线性方程组
12341234
12341234322,521,26331,11544
x x x x x x x x x x x x a x x x x +--=⎧⎪-++=-⎪⎨
+--=+⎪⎪--++=-⎩ 当a 为何值时有解,在有解的情况下,求其全部解.
七、用正交变换将二次形22212312312(,,)22f x x x x x x x x =+++化成标准形,并求出所使用的正交变换=X PY
模拟试题(二)答案
一、1.3;2.(2,17,1)--;3.(,)R b A ;4.1-;
2,4).
二、1.B ;2.D ;3.B ;4.A ;5.D.
三、解 原式=5111
511
1113182
62040001005
550
5530----=-==-----.
四、1
T 401495111,61282224865112
2
2-⎛⎫ ⎪
-⎛⎫ ⎪
⎪
⎪==- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭
A B A . 五、最大无关向量组为124,,ααα,3122=-ααα. 六、解 因为
39
9101616167550
11616160000200000a ⎛⎫-
-
⎪
⎪ ⎪
-
-→ ⎪
⎪- ⎪ ⎪⎝
⎭
A , 当2a =时,方程组有解,此时方程可化为
134234939,161616
575,161616x x x x x x ⎧
=++⎪⎪⎨
⎪=++⎪⎩
方程组的一个特解为91651600*⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
η.
取334
4
10,01
x x x x ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭
⎝
⎭
,得齐次线性方程组的基础解系
1293843548
1001⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,ξξ,
方程组的全部解为1122c c *=++X ξξη.
七、解 二次形的矩阵110110002⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
A ,特征值为1230,2λλλ===,对应的特征向量为()()()T T T
1231,1,0,1,1,0,0,0,1=-==ηηη,且两两正交,将
其单位化得
))()T T T
1231,1,0,1,1,0,0,0,1=
-==ξξξ.。