ch5_2

线性代数5-2
1)可对角化矩阵的性质
若A与对角阵相似,即存在可逆矩阵P,
使 P1 AP diag(1,2 ,
x1, x2,
,n )
, xn
成立，则:
P x1, x2,
, xn ,
（1） Ak Pk P1 Pdiag(1k ,2k , ,nk )P 1 （2）P 的第i 列 xi 是A的相应于特征值 i 的特征向量.
1 0
0 1
,
B
0 0
1 0
1 1
E A ( 1)3 E B ( 1)3
矩阵A与B的特征值是：1 2 3 1
但A与B不相似
线性代数5-2
例3 若方阵A与B相似, P是可逆矩阵, 且 P-1AP B.
如果 x是0 B的属于特征值 的0 特征向量,则 Px0 是A的属于特征值 的0 特征向量.
证明 由题意有，Bx0 0 x0
由 P-1AP B,可得 AP = PB
右乘 x0得到 A(Px0 ) PBx0 0Px0 即 Px0 是A的属于特征值0 的特征向量.
线性代数5-2
第五章 矩阵的对角化
5.2 相似矩阵及矩阵的对角化 相似矩阵 相似矩阵的定义 相似矩阵的性质 矩阵的对角化 可对角化矩阵的性质 矩阵可对角化的条件 矩阵对角化的步骤
P 1AP P 1A( x1, x2 , , xn ) P 1( Ax1, Ax2 , , Axn ) P 1(1x1,2 x2 , ,n xn )
P
P 1( x1, x2 , 所以 A 可以对角化.
1
,
xn
)
2
n
线性代数5-2
2) 矩阵可对角化的条件
定理5.7 n阶方阵A可以对角化 A有n个线性无关的
证明： 记
P
x11
,
,
x22
,
,
,
,
xnn
,
P 1 AP
Ax1 1x1
Ax2 2 x2
由于P 可逆, 所以 x1, x2, , xn 线性A无xn关. n xn
注意：1) 特征向量 xi在P 中的位置与相应的特征值 i
在 的对角线上位置必须一致.
2) 若矩阵A可以对角化，则A一定有n个线性无 关的特征向量.
线性代数5-2
2.矩阵的对角化
所谓方阵A可以对角化, 是指 A与对角阵相似.
即存在可逆矩阵 P, 使 P 1 AP 成立。
1) 可对角化矩阵的性质
若 A与对角阵相似, 即存在可逆矩阵 P,
使 P1AP diag(1,2, ,n )成立,则： （1） Ak Pk P1 Pdiag(1k ,2k , ,nk )P 1
线性代数5-2
定理5.8 设n阶方阵A全部不同的特征值为 1,2, ,s ,
它们的代数重数依次为 n1,n2, ,ns (n1 n2 ns n)
则
A可以对角化
A有n个线性无关的特征向量
所有特征值的代数重数 =它的几何重数
r(i E A) n ni i 1,2, , s
i 都恰有 ni 个线性无关的特征向量
线性代数5-2
2) 矩阵可对角化的条件
定理5.7 n阶方阵A可以对角化 A有n个线性无关的
证明 已证
特征向量
设 x1, x2, , xn为 A 的 n 个线性无关的特征向量,
它们相应的特征值依次为 1,2, ,n 则有：
Axi i xi , i 1,2, ,n P x1, x2 , , xn \ P 可逆
第五章 ห้องสมุดไป่ตู้阵的对角化
5.1 特征值与特征向量 5.2 相似矩阵及矩阵的对角化 5.3 实对称矩阵的对角化
线性代数5-2
1.特征值与特征向量的概念
复习
A 是 n 阶方阵，，x 0，Ax x
2.特征值与特征向量的计算
求解：fA() E A 0, 得到 A 的 n 个特征值.
对每一特征值 0 求解 (0E A)x 0 得到全部的特征向量 k11 k22 knrnr
反身性 矩阵A与A相似；E -1 AE A
对称性 如果矩阵A与B相似, 则矩阵B 与A相似；
P -1 AP B PBP 1 A (P1 )1 B(P1 ) A
传递性 如果矩阵A与B相似, B与C相似, 则A与C相似.
P-1 AP B, Q -1BQ C Q1P1 APQ C
(PQ)1 A(PQ) C
1 3
2n
1
1 1
3 2
2 2
2n
2n 1
3 2n 3
0 3 2n 2 3 2n1 6
0
2n1 2
5 2n 6
．
线性代数5-2
例4
5 6 6
A
1 3
4 6
24 计算 An , An
2 2 3
P
x1 ,
x2 ,
x3
0 1
1 0
1 3
2
A
P
2
1
P
1
An A n 4n
A PP1 P P1 4
．
线性代数5-2
第五章 矩阵的对角化
5.2相似矩阵及矩阵的对角化
相似矩阵 矩阵的对角化
可对角化矩阵的性质 矩阵可对角化的条件 矩阵对角化的步骤
线性代数5-2
2) 矩阵可对角化的条件
定理5.7 n阶方阵A可以对角化 A有n个线性无关的
,
x2
1 0
x3
1 3
(3)
2 2 3
2
令
P
x1 ,
x2 ,
x3
0 1
1 0
1 3
P 1 AP
2
1
注意:
3 2 2
1
若令
P
x3
,
x1
,
x2
1 3
0 1
10 ,
P
1
AP
2
2
.
线性代数5-2
1 2 2, 3 1
2
2
3
x1
0 1
,
x2
1 0
x3
1 3
(3)
3.特征值与特征向量的性质
(1)方阵A的属于不同特征值的特征向量线性无关．
(2)方阵A的n个特征值： 1 2 n a11 a22 ann 12 n A
(3)任一特征值的代数重数 它的几何重数．
线性代数5-2
第五章 矩阵的对角化
5.1 特征值与特征向量 5.2 相似矩阵及矩阵的对角化 5.3 实对称矩阵的对角化
定理5.3 相似矩阵有相同的行列式、相同的迹. 秩：P 1 AP B r(B) r( A) PBP 1 A r( A) r(B) r(B) r( A)
线性代数5-2
1
(3)若n 阶方阵 A 与对角阵
2
n
相似,则 1, 2, , n 是A的n个特征值
证明：
fA() E A E
于是有 Axi i xi i 1,2, , n
Ax1 1x1 Ax2 2 x2 Axn n xn
Ax2 1x2 Ax1 2 x1 线性代数5-2
1)可对角化矩阵的性质
若A与对角阵相似,即存在可逆矩阵P,
使 P1AP diag(1,2 , ,n ) 成立，则:
（2）P 的第i 列 xi 是A的相应于特征值 i 的特征向量.
（2）P 的第i 列 xi 是A的相应于特征值 i 的特征向量.
证明：记 P x121,,xx221,,
,
,
xnn
,
P 1 AP AP P
1
2
A( x12,,xx21, , xn ) ( xx12,,xx21, , xn )
n
(Ax12, Ax21, , Axn ) (1x12,,22xx21, ,n xn )
而 A 2, 故 x 0, y 1
线性代数5-2
例2 求与单位矩阵E相似的矩阵
解： 设与单位矩阵E相似的矩阵A：P1AP E
A PEP 1 E
结论：与 E 相似的矩阵只有E 本身
注意：相似矩阵有相同的特征值,但有相同特征值的 矩阵不一定相似.
例如： 1 0 0 1 1 1
A
0 0
1) 特征向量在 P 中的位置与相应的特征值在 的 对角线上的位置必须一致.
2) 若矩阵 A 可以对角化，则 A 一定有 n 个线性无 关的特征向量.
线性代数5-2
例4
5 6 6
A
1 3
4 6
2 4
计算 An , An
解 先把A对角化后再进行计算．
(1) A的特征多项式为
5 6 6 fA( ) E A 1 4 2 ( 2)2( 1)
3 6 4
A的三个特征根为 1 2 2, 3 1
线性代数5-2
例4
5 6 6
A
1 3
4 6
2 4
计算 An , An
解 先把A对角化后再进行计算．
( E A)x 0
(1) A的特征多项式为 fA( ) E A ( 2)2( 1)
A的三个特征根为 1 2 2, 3 1
(2)
2
2
1 2
2,
2E
A x 0
3
x1
1 0
3 1, E A x 0,
x3
1 3
.
x2
0 1
线性代数5-2
1 2 2, 3 1
2
2
3
x1
0 1
,
x2
1 0
x3
1 3
线性无关
Ax1 2x1 Ax2 2x2 Ax3 1x3
(3)
2 2 3
线性代数5-2
(2) 定理5相.6似矩阵有相同的特征多项式,从而有 相同的特征值.
证明： 设A与B相似，则有 P 1 AP B
fB ( ) E B P1( E)P P1AP P1( E A)P P1 E A P E A fA( )
注: 相似矩阵亦有相同的行列式、秩、迹.
1
2
0
n
即 1, 2, , n 是 A 的 n 个特征值.
线性代数5-2
例1
已知
A
2 0
0 0
0 1
与
B
2 0
0 y
0
0 相似,
0 1 x
0 0 1
求 x, y
解 因为 A 与 B 相似,
故A 与B 有相同的特征值 2, y, -1
根据特征值的性质,有
2 0 x 2 y (1), A 2 y
2 2 3
令
P
x1 ,
x2 ,
x3
0 1
1 0
1 3
2
A
P
2
1
P
1
2
P 1 AP
2
1
2
n 2
n
An
P
2
1
P
1
P
2
1
P 1
线性代数5-2
2
n
An
P
2
1
P 1
2 2 3
P
x1 ,
x2 ,
x3
0 1
1 0
1 3
2 2 3 2n
3 6 5
0 1
1 0
线性代数5-2
第五章 矩阵的对角化
5.2 相似矩阵及矩阵的对角化 相似矩阵 相似矩阵的定义 相似矩阵的性质 矩阵的对角化
线性代数5-2
1.相似矩阵
定义5.2 设A,B都是n 阶方阵,如果存在n 阶可逆矩阵P， 使得 P-1AP B,则称矩阵A与B相似,记作 A ~ B
相似矩阵的性质 (1)定理5.5 矩阵的相似关系是一种等价关系
证明 已证
特征向量
设 x1, x2, , xn为 A 的 n 个线性无关的特征向量,
它们相应的特征值依次为 1,2, ,n 则有：
P x1, x2, , xn
则 P1AP diag(1,2, ,n )
推论5.1 n阶方阵A有n个不同的特征值 A可对角化
问题： 当特征值有重根时，何时能对角化？
i 1,2, , s
线性代数5-2
定理5.8 设n阶方阵A全部不同的特征值为 1,2, ,s ,
它们的代数重数依次为 n1,n2, ,ns (n1 n2 ns n)
则 证明：
定理5.7
A可以对角化
A有n个线性无关的特征向量
所有特征值的代数重数 n11,,n22,,,,nss =它的几何重数 t1 , t2 ,, ts
2
令
P
x1 ,
x2 ,
x3
0 1
1 0
1 3
P 1 AP
2
1
AP A( x1, x2, x3 )
( Ax1, Ax2, Ax3 )
2
2
(2 x1, 2 x2 ,1x3 ) ( x1, x2, x3)
2
1
P
2
1
线性代数5-2
1 2 2, 3 1
2
2
3
x1
0 1
ti : (i E A)x 0 n t1 t2 ts n1 n2 ns n
i 线性无关的特
征向量个数
i : ti ni A有t1 t2 个线ts性无关的特征向量
线性代数5-2
定理5.8 设n阶方阵A全部不同的特征值为 1,2, ,s ,
它们的代数重数依次为 n1,n2, ,ns (n1 n2 ns n)
证明 已证
特征向量
A 可对角化,则存在 n 阶可逆矩阵 P, 使得
P1AP diag(1,2, ,n )
记 P x1, x2, , xn ,
（2）1,2, ,n 是A的 n个特征值; 而P 的第i 列 xi
是A的对应于特征值 i 的特征向量
因为矩阵P 可逆,所以矩阵 A 有 n 个线性无关的 特征向量.
证明：A PP1
Ak (PP1 )k (PP1 )(PP1 ) (PP1)
1k
P k P 1
P
2k
P 1
线性代数nk 5-2
1)可对角化注矩意阵: 特的征性向质量 xi 在P 中的位置与相应的特 若A与对角征阵值相似i 在,即存的在对可角逆线矩上阵位P置, 必须一致
使 P1AP diag(1,2 , ,n ) 成立，则: