2020年2月普通高考(上海卷)全真模拟卷(1)(原卷版)

2020年2月普通高考（上海卷）全真模拟卷（1）
数学
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：高中全部内容。

一、填空题：本题共12个小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分.
1．设全集,U R =若集合{}
11,A x x =->则U A =ð______.
2．复数z 满足23(z z i i +=-是虚数单位），则z z ⋅=____；3．已知向量()()157215a b =-= ，，，，，，则a b += _______.
4
．在二项式81)x
-的展开式中，常数项的值为______.（结果用数字表示）5．设变量x ，y 满足约束条件0{10 30
y x y x y ≥-+≥+-≤，则2z x y =+的最大值为
．6．已知()f x 、()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()2x
f x
g x x -=+，则()()11f g +=___________.
7．若0x >，则函数121
y x x =++的最小值为________．8．若两整数a 、b 除以同一个整数m ，所得余数相同，即a b k m
-=()k ∈Z ，则称a 、b 对模m 同余，用符号(mod )a b m ≡表示，若10(mod 6)a ≡(10)a >，满足条件的a 由小到大依次记为12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则数列{}n a 的前16项和为________.
9．曲线C 是平面内到直线1 : =-1l x 和直线2:1l y =的距离之积等于常数2k （0k >）的点的轨迹，下列四个结论：
①曲线C 过点(1,1)-；
②曲线C 关于点(1,1)-成中心对称；
③若点P 在曲线C 上，点A 、B 分别在直线1l 、2l 上，则||||PA PB +不小于2k ；
④设0P 为曲线C 上任意一点，则点0P 关于直线1 : =-1l x ，点(1,1)-及直线2:1l y =对称的点分别为1P 、2P 、
3P ，则四边形0123P PP P 的面积为定值24k ；
其中，所有正确结论的序号是________
10．如图，甲从A 到B ，乙从C 到D ，两人每次都只能向上或者向右走一格，如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路一共有________对.（用数字作答）
11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若213
n n S a =-*()n N ∈，则lim n n S →∞=__________．12．设函数()y f x =的定义域为D ，如果存在非零常数T ，对于任意x D ∈，都有()()f x T T f x +=⋅，则称函数()y f x =是“似周期函数”，非零常数T 为函数()y f x =的“似周期”.现有下面四个关于“似周期函数”的命题：
①如果“似周期函数”()y f x =的“似周期”为1-，那么它是周期为2的周期函数；
②函数()f x x =是“似周期函数”；
③函数()2x
f x =是“似周期函数”；④如果函数()cos f x x ω=是“似周期函数”，那么“k ωπ=，k Z ∈”.
其中是真命题的序号是___________.（写出所有满足条件的命题序号）
二、选择题：本大题共4题，每题5分，共20分
13．已知点A （﹣1，0）
，B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（
）
A ．（0，1）
B ．1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，
C ．1123⎛⎤- ⎥ ⎝⎦，
D ．1132⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
，
14．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱AB 、1AA 的中点，M 、N 分别是线段1D E 与1C F 上的点，则与平面ABCD 平行的直线MN 有（）
A ．0条
B ．1条
C ．2条
D ．无数条
15．如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别是O ，12,O O ，动点P 从A 点出发沿着圆弧按A O B C A D B →→→→→→的路线运动（其中12,,,,A O O O B 五点共线），记点P 运动的路程为x ，设2
1y O P =,y 与x 的函数关系为()y f x =，则()y f x =的大致图象是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
16．已知ABC 的三边长分别为()θ0,π∈使得：2222cos ,a b c bc θ=+-则ABC 的形状为(
)A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都不对
四、解答题：本大题共5小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．如图所示的多面体是由一个以四边形ABCD 为底面的直四棱柱被平面111A BC D 所截面成，若2,90AD DC AB BC DAB BCD ====∠=∠=︒
，且1132
AA CC ==：
（1）求二面角11D A B A --的大小；
（2）求此多面体的体积.
18．已知函数()()2
210f x ax ax b a =-++>：（1）若()f x 在区间[]2,3上最大值为4，最小值为1，求a 、b 的值；
（2）若1,1a b ==，关于x 的方程()()
2143210x x f k -+--=，有3个不同的实数解，求实数k 的值.19．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．
（1）若3B b ABC π==，的面积S =，求a +c 值；（2）若2cos C （BA BC ⋅ +AB AC ⋅ ）=c 2，求角C ．
20．教材曾有介绍：圆222x y r +=上的点()00,x y 处的切线方程为2
00x x y y r +=．我们将其结论推广：椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>上的点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，在解本题时可以直接应用．已知，
直线0x y -=与椭圆()2
22:11x E y a a
+=>有且只有一个公共点.
（1）求a 的值；
（2）设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线1l 、2l ，且1l 与2l 交于点()2,M m ．当m 变化时，求OAB ∆面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，经过点()2,M m 作直线l 与该椭圆E 交于C 、D 两点，在线段CD 上存在点N ，使CN MC ND MD
=成立，试问：点N 是否在直线AB 上，请说明理由.21．已知n 位数满足下列条件：①各个数字只能从集合{}1,2,3,4中选取；②若其中有数字4，则在4的前面不含2，将这样的n 位数的个数记为n a ；
（1）求2a 、3a ；
（2）探究1n a +与n a 之间的关系，求出数列{}n a 的通项公式；
（3）对于每个正整数k ，在k a 与1k a +之间插入12k -个13
得到一个新数列{}n b ，设n S 是数列{}n b 的前n 项和，试探究2017n S =能否成立，写出你探究得到的结论并给出证明；。