高三数学调研试题理科试题

卜人入州八九几市潮王学校高三调研试题
数学〔理科〕试题
一．选择题〔8小题，每一小题5分，一共40分〕
1． 设全集},1|{},0)3(|{,-<=<+==x x B x x x A R U 那么
右图中阴影局部表示的集合为〔〕 A ．}0|{>x x B ．}03|{<<-x x
C ．}13|{-<<-x x
D ．}1|
{-<x x
2．
15cos 15
sin =〔〕
A ．
41B ．43C ．2
1D ．23
)3,1(),3,1(--B A ，那么直线AB 的斜率是〔〕
A.
31B.3
1
- C.3D.3- 4．给出以下四个函数：①
1)(+=x x f ，②x
x f 1
)(=
，③
2)(x x f =，④x x f sin )(=,其中在
),0(+∞是增函数的有〔〕
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
5．变量y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≤≥,0,2,1y x y x 那么y x +的最小值是()
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的
等腰直角三角形〔如右图〕，假设直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为 〔〕
A ．1
B ．
21C ．31D ．6
1
7．在等差数列}{n a 中，，，831
25S S a =-=那么前n 项和n s 的最小值为〔〕
俯视图
侧视图
正视图
A ．-80
B ．-76
C ．-75
D ．-74 8．如图，动点P 在正方体
1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直
线，与正方体外表相交于M N ，，设BP x =，MN y =，那么函数()y f x =的图象大致是〔〕
二．填空题〔6小题，每一小题5分，一共30分〕
9.设平面向量()()3,5,2,1a b =
=-，那么2a b -=___________。

10.一个田径队，有男运发动20人，女运发动10人，比赛后立即用分层抽样
的方法，从全体队员中抽出一个容量为6人的样本进展兴奋剂检查，其中男运发动应抽人。

11.曲线
122-+=x x y 在点〔1，2〕处的切线方程是____________。

12.执行右边的程序框图，假设4p =，那么输出的S =。

13.假设直线10ax y ++=与圆222430x y x y +-++=相切，那么实数a ＝________。

1．假设不等式02
>++c bx ax
的解集是}31|{<<-x x ,且12>++c bx ax 的解集是空集,那么
a 的取值范围是________。

三．解答题〔6小题，一共80分〕
15．〔本小题总分值是12分〕 函数
2
cos 32sin
)(x
x x f += 〔1〕求函数
()f x 的最小正周期及最值；
〔2〕令π()
3g x f x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由。

A
B
C D M
N
P A 1
B 1
C 1
D 1 A ．
B ．
C ．
D ．
16．〔本小题总分值是12分〕
将一颗质地均匀的正方体骰子〔六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6〕先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ．设复数z a bi =+。

〔1〕求事件“3z i -为实数〞的概率； 〔2〕求事件“
23z -≤〞的概率。

17．〔本小题总分值是14分〕 如图,在直三棱柱
1
11C B A ABC -中，
3
=AC ，
5AB =,4=BC ，41=AA ，点D 是AB 的中点，
〔1〕求证：1BC AC ⊥；
〔2〕求证：
11//CDB AC 平面。

〔3〕求二面角1
C AB C --的正切值。

18．〔本小题总分值是14分〕
设函数
32()33f x x ax bx =-+的图像与直线1210x y +-=相切于点(1,11)-。

〔1〕求,a b 的值； 〔2〕讨论函数
()f x 的单调性。

19．(本小题总分值是14分)
A 、
B 分别是椭圆122
22=+b
y a x 的左右两个焦点，O 为坐标原点，点P 22,
1(-〕在椭圆上，线段PB 与y
轴的交点M 为线段PB 的中点。

〔1〕求椭圆的HY 方程；
〔2〕点C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC ，求
sin sin sin A B
C
+的值。

20．〔本小题总分值是14分〕
曲线C ：xy =1，过C 上一点
),(n n n y x A 作一斜率为2
1
+-
=n n x k 的直线交曲线
C 于另一点
),(111+++n n n y x A ，点列),3,2,1( =n A n 的横坐标构成数列{n x }，其中7
111=
x ． 〔1〕求n x 与1+n x 的关系式；
〔2〕求证：{
3
1
21+-n x }是等比数列；
〔3〕求证：)1,(1)1()1()1()1(33221
≥∈<-++-+-+-n N n x x x x n n 。

花都区2021届高三调研试题
数学〔理科〕试题参考答案
四．选择题〔10小题，每一小题5分，一共50分〕 二．填空题
〔4小题，每
一小题5分，一共20分〕 9、)3,7(10、411、024=--y x
12、
7
8
13、-114、04
1
<≤-
a 三．
15．〔此题总分值是12分〕
解：〔1〕
()f
x sin 22
x x
==)2cos 232sin 21(2x x +
=)2cos 3sin 2sin
3
(cos
2x x ππ
+π2sin 23x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
---------------------3分 ∴
)(x f 的最小正周期2π
4π12
T =
=．---------------------------------5分 当πsin 123x ⎛⎫+=-
⎪⎝⎭时，()f x 获得最小值2-；当πsin 123x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
时，()f x 获得最大值2． ---------------------------------7分
〔2〕由〔1〕知
π()2sin 23x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．又π()3g x f x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
∴
1ππ()2sin 233g x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
π2sin 22x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭2cos 2x =．
---------------------------------9分
()2cos 2cos ()22x x g x g x ⎛⎫
-=-== ⎪⎝⎭
．---------------------------------11分
∴函数()g x 是偶函数．---------------------------------12分 16．〔本小题总分值是12分〕 解：〔1〕3z i -为实数，即3(3)a bi i a b i +-=+-为实数，∴b ＝3--------3分
又依题意，b 可取1，2，3，4，5，6 故出现b ＝3的概率为
1
6
即事件“3z i -为实数〞的概率为
1
6
---------------------------------6分
〔2〕由，
2|2|3z a bi -=-+=---------------------------------8分
可知，b 的值只能取1、2、3---------------------------------9分 当b ＝1时，2
(2)8a -≤，即a 可取1，2，3 当b ＝2时，2
(2)5a -≤，即a 可取1，2，3 当b ＝3时，2
(2)
0a -≤，即a 可取2
由上可知，一共有7种情况下可使事件“23z -≤〞成立---------------------------------11分
又a ，b 的取值情况一共有36种 故事件“
23z -≤〞的概率为
7
36
---------------------------------12分
17.(此题总分值是14分) 证明：〔1〕在直三棱柱
111C B A ABC -，
∵底面三边长3=AC ，5=AB ，4=BC
∴
BC AC ⊥，--------------------------------1分
又直三棱柱111C B A ABC -中1CC AC ⊥，
且C CC BC =1
∴
11B BCC AC 平面⊥---------------------------------3分
而111B BCC BC 平面⊂
∴
1BC AC ⊥；---------------------------------4分
〔2〕设1CB 与B C 1的交点为E ，连结DE ，---------------------5分 ∵D 是AB 的中点，E 是1BC 的中点，
∴1//AC DE ，----------------------------7分 ∵1CDB DE 平面⊂，11CDB AC 平面⊄，
∴
11//CDB AC 平面.----------------------------8分
〔3〕过点C 作CF ⊥AB 于F ，连接C 1F------------9分 由C 1C 垂直平面ABC ，那么∠C 1FC 为二面角1C AB C --的平面角----------11分
在Rt △ABC 中，3=AC ，5AB =,4=BC ,那么12
5
CF =
----------12分 又1
14CC AA ==
∴1145
tan 1235
C C C FC
CF ∠=
==----------13分 ∴二面角1C AB C --的正切值为5
3
----------14分
〔另：可以建立空间直角坐标系用向量方法完成，酌情给分，过程略〕 18．〔本小题总分值是14分〕
A 1
解〔1〕求导数得2()363f x x ax b '=-+,----------------------------2分
由于
()f x 的图像与直线1210x y +-=相切于点(1,11)-,
所以(1)11
(1)12f f =-⎧⎨
'=-⎩
---------------------------5分
即13311
36312
a b a b -+=-⎧⎨
-+=-⎩
解得1,3a
b ==-----------------------------7分 〔2〕由1,3a
b ==-得：
22()3633(23)3(1)(3)f x x ax b x x x x '=-+=--=+------------------------------9分
由()0f x '>，解得1x <-或者3x >；
由
()0f x '<，解得13x -<<.----------------------------12分
故函数
()f x 在区间(,1),(3,)-∞-+∞上单调递增，在区间(1,3)-上单调递减.
----------------------------14分
19．〔本小题总分值是14分〕 解：〔1〕∵点M 是线段PB 的中点 ∴OM 是△PAB 的中位线 又AB OM
⊥∴AB PA ⊥----------------------------2分
∴22222
22211112,1,12c a b c a b a b c
=⎧⎪⎪+====⎨⎪⎪=+⎩解得---------------------------7分
〔列式每个1分，计算出a 、b 各1分〕
∴椭圆的HY 方程为22
2
y x +=1---------------------------8分 〔2〕∵点C 在椭圆上，A 、B 是椭圆的两个焦点
∴AC ＋BC ＝2a
＝AB ＝2c ＝2-------------------------10分
在△ABC 中，由正弦定理，
sin sin sin BC AC AB
A B C
==
-----------12分 ∴
sin sin sin A B C
+
＝
2BC AC AB +==----------------------------14分 20．(此题总分值是14分) 解：〔1〕过C ：
x
y 1
=
上一点),(n n n y x A 作斜率为n k 的直线交C 于另一点1+n A ， 那么2
1
11
1
11111+-
=⋅-=--
=--=+++++n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x y y k ，----------------------------3分 〔前三个式子各式1分〕
于是有：21+=+n n n x x x 即：12
1n n
x x +=+
----------------------------4分
〔2〕记3
1
21+-=
n n
x a ，那么 n n n
n n n a x x x x a 2)3
121(231221312
111-=+--=+-+=+
-=
++，----------------6分 因为023
121,711111
≠-=+-==
x a x 而， 因此数列{
3
1
21+-n x }是等比数列。

----------------------------8分
〔3〕由〔2〕可知：3
1
)2(12,)2(-
-+
=-=n
n n n
x a 则，
3
1
)1(212)1()1(⋅
--+
⋅-=-n n n n n x 。

----------------------------9分
当n 为偶数时有：
=
n n n n n n n n n n n n 21
212222)
3
12)(312(223121
3121
111111+<⋅+<-++=-++------，-----------------11分
于是
①在n 为偶数时有：
12
1
21212121)1()1()1(432221<+++++<
-++-+-n n n x x x 。

-----------------12
分
②在n 为奇数时，前n-1项为偶数项，于是有：
13
1211)3
1
)2(12(11)1(1<+
+
-=-
-+
-=-=-+<n n n n n x x 。

-----------------13分
综合①②可知原不等式得证。

----------------------------14分。