黑龙江大庆实验中学2013届高三9月月考数学理试题

大庆实验中学2012—2013学年度高三九月月考
数学试卷（理工类）
考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,
字迹清楚；
（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、
试题卷上答题无效；
（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第I 卷 （选择题, 共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．) 1. )510cos(︒-的值为
A.
2
3 B. 23
- C. 21 D. 21-
2. 下列各数集及对应法则，不能构成映射的是
A. {}Z n n x ∈∈|2，{}Z n n y ∈+∈|12，1:-=→x y x f
B. Z x ∈，{}Z n n y ∈∈|2，x y x f 4:=→
C. N x ∈，Q y ∈，x
x y x f 1
:+=→ D. ⎥⎦⎤
⎢
⎣
⎡∈43,4ππx ，[]2,0∈y ，x y x f sin :=→ 3. 扇形的中心角为︒120，半径为3，则此扇形的面积为 A. π
B.
45π
C. 33π
D. 2
9
32π
4. 已知ABC ∆的三个内角满足：B C A cos sin sin ⋅= ，则ABC ∆的形状为
A. 正三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形或直角三角形
5. 在ABC ∆中，已知点D 为边BC 的靠近点B 的三等分点，设=AB a ，=AC b ，则=CD A.
32a 32-b B. 32b 3
2
-a C. 31a 31-b D. 31b 31- a
6. 已知3
3
)6
cos(-
=-
π
x ，则=-+)3cos(cos πx x
A.3
32-
B. 3
3
2±
C. 1-
D.1±
7. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z k k x x A ,6sin
π，集合⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z k k x x B ,6cos π
，则A 与B 的关系是 A. φ=⋂B A B. B A ⊆ C. A B ⊆ D. B A =
8. 已知34tan =
α，且α为第三象限角，则2
cos α
的值为 A.
55
B. 5
52- C. 55± D. 552±
9. 已知函数m x A y ++=)sin(ϕω的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π，直线6
π
=x 是其图象
的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是 A.)6
2sin(4π
+=x y B.2)6
2sin(2++-=π
x y C.2)3
sin(2++
-=π
x y D. 2)3
2sin(2++
=π
x y
10. 已知函数2sin y x =的定义域为[]b a ,，值域为[]1,2-，则a b -的值不可能是 A.
6
5π
B.
6
7π C.
3
4π D.
2
3π 11. 现有四个函数①x x y sin ⋅= ②x x y cos ⋅= ③|cos |x x y ⋅= ④x
x y 2⋅=的部分图象如下，但顺
序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是
A. ①④②③
B. ①④③②
C. ④①②③
D. ③④②①
12. 下列四个命题中，真命题的个数为
①若函数1cos sin )(+-=x x x f ，则)(x f y =的周期为π2；
②若函数x x x f 4
4
sin cos )(-=，则112-=⎪⎭
⎫
⎝⎛'πf ； ③若角α的终边上一点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝
⎛65cos ,65sin ππ
，则角α的最小正值为
53π； ④函数x y 2cos 2=的图象可由函数x x y 2sin 32cos +=的图象向左平移6
π
个单位得到．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
30°
θ
B
P
O
A
第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题后的横线上。

） 13. 函数211tan )(x x x f -+-=
的定义域为________.
14. 在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，如果a c 3=，︒=30B ，那么角C 等于________.
15. 已知函数()ϕω+=x y cos [))2,0,0(πϕω∈>的部分图象如右图所
示，则ϕ的值为________.
16.
若方程
044=-+ax x 的各个实根
k x x x ,,,21 )4(≤k 所对应的点)4
,
(i
i x x ),,2,1(k i =均在直线x y =的同侧，则实数a 的取值范围是__________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. (本小题满分12分）
现有四分之一圆形的纸板（如右下图），︒=∠90AOB ，圆半径为1，要裁剪成四边形OAPB ，且满足
OB AP //，︒=∠30OAB ，θ=∠POA ，记此四边形的面积为()θf ，求()θf 的最大值．
18. (本小题满分12分） 已知
函数
22()3sin 2sin cos 3cos f x x x x x ωωωω=-+⋅，其中0ω>，且()x f 的最小正周期为π.
(Ⅰ) 求()x f 的单调递增区间；
(Ⅱ) 利用五点法作出()x f 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
65,6ππ上的图象.
19. (本小题满分12分）
在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别a 、b 、c ，已知5a b +=，7c =
且12cos sin 2sin 2sin 2
=+⋅+C C C C .
(Ⅰ) 求角C 的大小； (Ⅱ) 求ABC ∆的面积.
20. (本小题满分12分）
设动圆：()()=-++-2
2
sin cos 2cos θθθy x ()2
34
sin cos cos 2+--θθθ()R ∈θ 的圆心轨迹为曲
线C ，这些动圆所覆盖的区域记为区域D . (Ⅰ) 求曲线C 的最高点坐标； (Ⅱ) 求区域D 的最高点坐标.
(本小题满分12分） 已知函数()x
a x
x f sin cos +=
（a 为实数）
(Ⅰ) 当2=a 时，求函数()x f 的单调递增区间； (Ⅱ) 若当⎪⎭
⎫
⎝⎛-∈2,2ππx 时，都有()36x x f -<π成立，求实数a 的取值范围.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. (本小题满分10分） 选修4-1：几何证明选讲
如图，CB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，AP 与CB 的延长线交于点P ，A 为切点．若10=PA ，
5=PB ，BAC ∠的平分线AE 与BC 和⊙O 分别交于点D 、E ，求AE AD ⋅的值．
23. (本小题满分10分） 选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线⎩
⎨
⎧==ϕϕ
sin 3cos 4:y x C （ϕ为参数）．
（Ⅰ）将C 的方程化为普通方程；
（Ⅱ）若点),(y x P 是曲线C 上的动点，求y x +2的取值范围．
C
E
P
24. (本小题满分10分） 选修4-5：不等式选讲
已知不等式a x x 2|4||3|2<-+-． （Ⅰ）若1=a ，求不等式的解集；
（Ⅱ）若已知不等式的解集不是空集，求a 的取值范围． .
哈三中2012十月月考理科答案
一. 选择
题 二. 填空题 13.⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡1,4π 14.︒120 15.47π 16.()()+∞⋃-∞-,66,
17. ()1
2
OAPB S OB AP OA =
+⋅
=
1sin cos 2θθθ⎫+⋅⎪⎪⎝⎭
……………………………4分
=2
1sin cos 2θθθ⎫+⋅⎪⎪⎝⎭
=
11
sin 222θ⎫+⎪⎪⎝⎭
26πθ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭ …………………………………8分 又∵02
π
θ<<
∴
726
6
6π
π
πθ<+
<
∴262
ππ
θ+= ∴6
π
θ=
…………………………12分
18. (1)()sin 2f x x x ωω=+
2sin(2)3
x π
ω=+
∵周期为π ∴1ω= ∴()2sin(2)3
f x x π
=+ ……………2分
∴()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎛⎫
-+ ⎪⎝
⎭
，k Z ∈………6分 (2)
23
x π
+
2π π
32π 2π x
6
π
-
12
π 3
π 712
π 56
π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B
C
A
B
A
C
D
C
B
D
A
D
y
2
0 2-
0 ………………………………8分
（图略） ………………………………12分
19.（1）∵12cos sin 2sin 2sin 2=+⋅+C C C C .
∴224sin cos C C ⋅222sin cos 2sin 0C C C +⋅-=
sin 0C ≠ 22cos cos 10C C ∴+-= cos 1C ∴=-（舍）或1
cos 2
C = ………………………4分 3
C π
∴=
…………………………………6分
（2）2221cos cos 322a b c C ab
π
+-===22
()22a b ab c ab +--=
又∵5a b +=，c =∴6ab = ……………10分
∴11sin 622S ab C =
=⨯=
……………………12分 20. 曲线:C cos sin 2cos x y θ
θθ=⎧
⎨
=-⎩
sin 2cos y θθ=-θθ⎫-⎪⎪⎭
令sin φ=
cos φ=则()y θφ=- ……………4分
∴22
k π
θφπ-=+
时y
此时22
k π
θπφ=+
+，cos sin θφ=-=，sin cos θφ==
∴最高点坐标为(5
-
； …… ……………6分
（2）∵3
2cos cos sin 4θθθ--+=32cos )404
π
θθ-+
+>
……………………7分
∴3
sin 2cos 2cos
cos sin 4y θθθθθ=-+--+
=3
2cos 3cos 4θθ-+ …………………………9分
令[]cos 1,1t θ=∈-
则3234y t t =-+ 则2630y t '=-=
得t = 则 x
1-
(1,2
--
2
-
(22-
2
2
1
y '
+
-
+ y
5
增
4
减
4-增
3
∴最高点为( ……………12分 21.（Ⅰ）当2=a 时，令()
0sin 2sin 21)(2
>+--=
'x x
x f 得
()x f 的增区间为()Z k k k ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+-ππππ26,265 ………………4分
（Ⅱ）设3
6
)(x
x g -
=
π
若使()x f 有意义，则1-≤a 或1≥a
a f 1)0(=
<6)0(π=g 得1-≤a 或π
6
>a ……………… 6分 ① 当1-≤a 时，()()
2
sin 1
sin x a x a x f +--=
'，
若1-=a ，则()0≤'x f 恒成立，()02=⎪⎭
⎫
⎝⎛-<πf x f ，而()0>x g ，故()()x g x f <成立 若1-<a ，令()a
x x f 1sin 0-
=⇒='， a x 1sin 1-
<<-，()0<'x f ，()x f 递减；1sin 1
<<-x a
，()0>'x f ，()x f 递增，又022=⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππf f ，
()0
<x f ，而
()0
>x g ，故
()()
x g x f <成
立 ……………………… 8分 ② 当π
6
>
a 时，令()()()x g x f x F -=
()()
222
sin 33432sin x a a a x x F +-+
⎪⎭⎫ ⎝⎛
-=' 若2≥a ，则()0>'x F ，而02=⎪⎭
⎫
⎝⎛πF ∴()()x g x f <<0，此时成立 …………………………10分
若26
<<a π，设()1,1,sin -∈=t t x ，令()34322
2
-+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=a
a t t G ()4
33202
a a t t G -
±=⇒=，由26<<a π知4143322a a a +->-
即214332a a ->-，∴143322>-+a a ，又()1,043322
∈--a a
∴)4332,0(2
a a t --∈，()0>t G
)1,4
332(2
a a t --∈，()0<t G
∴()x F 先增后减，而02=⎪⎭
⎫
⎝⎛πF ，必存在0x 使()00>x F ，不成立 综上，(][)+∞⋃-∞-∈,21,a ………………………12分 22. 证明：连结CE ，PC PB PA ⋅=2 ，10=PA ，5=PB ，
20=∴PC ，15=BC ． ……………………2分
PA 与⊙O 相切于点A ，ACP PAB ∠=∠∴， PAB ∆∴∽PCA ∆，2
1
==∴
PA PB AC AB ． BC 为⊙O 的直径，︒=∠∴90CAB ，
225222==+BC AB AC ．
可解得56=AC ，53=AB ． ……………………6分 又AE 平分BAC ∠，EAB CAE ∠=∠∴， 又E ABC ∠=∠ ，ACE ∆∴∽ADB ∆，
C
E
P
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----完整版学习资料分享---- AC
AD AE AB =∴ 905653=⨯=⋅=⋅AC AB AE AD ． ……………10分
23. 解：（Ⅰ）19
162
2=+y x ．………………………………………4分 （Ⅱ）)sin(73sin 3cos 82θϕϕϕ+=+=+y x ，3
8tan =θ． ]73,73[2-∈+∴y x ．……………………………………10分
24. 解：（Ⅰ）2|4||3|2<-+-x x ，
① 若4≥x ，则2103<-x ，4<x ，∴舍去．
② 若43<<x ，则22<-x ，43<<∴x ．
③ 若3≤x ，则2310<-x ，338≤<∴x ． 综上，不等式的解集为}43
8|{<<x x ． ……………5分 （Ⅱ）设|4||3|2)(-+-=x x x f ，则
⎪⎩
⎪⎨⎧≤-<<-≥-=3,31043,24,103)(x x x x x x x f ，1)(≥∴x f
12>∴a ，2
1>
a ． …………………………10分。