湘教版高中数学选修学利用导数研究函数的单调性活页训练

2013-2014学年高中数学 3.3.1利用导数研究函数的单调性活页训练
湘教版选修1-1
基础达标 (限时20分钟)
1．已知f (x )的定义域为[0,1]，且当x ∈[0,1]时f ′(x )>0，则下列关系式一定成立的是
( )． A ．f (0)<0 B ．f (1)>0 C ．f (1)>f (0) D ．f (1)<f (0)
解析 f ′(x )>0()x ∈[0，1]，f (x )在[0,1]上是增函数，
∴f (1)>f (0)． 答案 C
2．函数f (x )＝x ln x 的单调减区间为 ( )． A.⎝⎛⎭⎫1
e ，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－∞，1
e C.⎝⎛⎭
⎫0，1e D.()e ，＋∞ 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x )<0得ln x <－1,0<x <1
e ，∴
f (x )
的减区间为⎝⎛⎭
⎫0，1e . 答案 C
3．设f ′(x )是f (x )的导函数，y ＝f ′(x )图象如图，则y ＝f (x )图象可能 是
( )．
解析 当0<x <2时，f ′(x )<0，当x <0或x >2时，f ′(x )>0，所以f (x ) 在(0,2)上递减，在(－∞，0)和(2，＋∞)上递增．故选C.
答案 C
4．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________，增区间为________． 解析 f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x 2－10x －11)＝3(x －11)(x ＋1)， 由f ′(x )>0知x >11或x <－1， 由f ′(x )<0知－1<x <11，
所以f (x )的单调减区间为(－1,11)，单调增区间为(11，＋∞)和(－ ∞，－1)．
答案 (－1,11) (11，＋∞)和(－∞，－1)
5．函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的减区间为________，增区间为________． 解析 由图象可知，当x <－1或0<x <2时，f ′(x )<0，当－1<x <0或x >2时，f ′(x )>0， ∴f (x )的增区间为(－1,0)，(2，＋∞)，减区间为(0,2)和(－∞，－1)． 答案 (0,2)和(－∞，－1) (－1,0)和(2，＋∞)． 6．求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 3－x ； (2)f (x )＝e x －x ＋1. 解 (1)f ′(x )＝3x 2－1，由f ′(x )>0知x >33或x <－33
. 由f ′(x )<0知－
33<x <33，所以f (x )的增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－33和⎝⎛⎭
⎫3
3，＋∞，减区间为⎝⎛⎭
⎫－33，33.
(2)f ′(x )＝e x －1，由f ′(x )>0知x >0，由f ′(x )<0知x <0. 所以f (x )的增区间为(0，＋∞)，减区间为(－∞，0)．
综合提高 (限时25分钟)
7．下列各选项中的函数，在定义域上为减函数的是 ( )．
A ．f (x )＝x 3＋x
B ．f (x )＝1
x
C ．f (x )＝sin x －x
D ．f (x )＝－x 2x
解 对于f (x )＝sin x －x ，f ′(x )＝cos x －1≤0对任意实数x 恒成立．∴f (x )在R 上单调递
减．
答案 C
8．对于R 上的可导函数f (x )来说，若(x －1)f ′(x )>0，则必有 ( )．
A ．f (0)＋f (2)<2f (1)
B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)
C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)
D ．f (0)＋f (2)>2f (1)
解析 由(x －1)f ′(x )>0知，当x >1时，f ′(x )>0，当x <1时f ′(x )<0， 所以f (x )在(1，＋∞)上是增函数，(－∞，1)上是减函数， ∴f (0)>f (1)，f (1)<f (2)，∴f (0)＋f (2)>2f (1) 答案 D
9．若函数f (x )＝x 3－px 2＋2m 2－m ＋1在区间(－2,0)上单调递减，且在区间(－∞，－2)及(0，＋∞)内单调递增，则实数p ＝________.
解析 f ′(x )＝3x 2－2px ，由题意知x ＝0和x ＝－2是方程3x 2－px ＝0的两个根，∴p ＝－6.
答案 －6
10．函数f (x )＝ax 2－1
x
在(0，＋∞)上递增，则a 的范围为________．
解析 f ′(x )＝2ax ·x －(ax 2－1)x 2＝ax 2＋1x 2≥0在(0，＋∞)上恒成立．a ≥－1
x 2
，又x >0时，
－1
x
2<0. ∴a ≥0. 答案 [0，＋∞)
11．已知函数f (x )＝x 2＋2
x ＋a ln x (x >0)，若f (x )在[1，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围．
解 由f (x )＝x 2＋2
x ＋a ln x ，得
f ′(x )＝2x －2x 2＋a
x
.
若函数为[1，＋∞)上的单调增函数， 则f ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，
即不等式2x －2x 2＋a x ≥0在[1，＋∞)上恒成立，也即a ≥2
x －2x 2在[1，＋∞]上恒成立．令
φ(x )＝2
x
－2x 2，上述问题等价于a ≥φ(x )max ，
而φ(x )＝2
x －2x 2在[1，＋∞)上单调递减，
则φ(x )max ＝φ(1)＝0，于是a ≥0为所求． 12．(创新拓展)设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．
(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的单调区间．
解 (1)f ′(x )＝3x 2－3a ，因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝8⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 3(4－a )＝0，8－6a ＋b ＝8⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝4，
b ＝24.
(2)因为f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)， 当a <0时，f ′(x )>0，
函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． 当a >0时，由f ′(x )＝0⇒x ＝±a ，
当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增， 当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，
当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．所以当a >0时，f (x )的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)，减区间为(－a ，a ).。