2023-高考数学模拟卷3

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1.(考点:直线和圆的综合,★)圆x 2+y 2-6x -8y=0的圆心到直线x+y=1的距离为( ).
A .√2
2 B .√2 C .2√2 D .3√2
2.(考点:充分、必要条件,★)已知a ,b ∈R,i 是虚数单位,则“a=0”是“复数a+b i 为纯虚数”的( ). A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
3.(考点:集合,★)设集合A={x|1≤x<2},B={x|x 2-2x -3≤0},则A ∪B=( ). A .{x|2<x ≤3} B .{x|-1≤x ≤2} C .{x|1≤x ≤3} D .{x|-1≤x ≤3}
4.(考点:函数的基本性质,★★)已知函数f (x )=log a |x|在(0,+∞)上单调递减,则( ). A .f (5)<f (-3)<f (1) B .f (1)<f (-2)<f (3) C .f (-4)<f (2)<f (3) D .f (3)<f (-2)<f (-4)
5.(考点:三角函数的图象,★★)若函数f (x )=sin(x+φ)的图象向左平移π
4个单位长度后可得到函数g (x )=cos x 的图象,则φ的值可以是( ). A .π6 B .π4 C .π3 D .π2 6.(考点:均值不等式,★★)若函数f (x )=x
x 2+4
(x>0)在x=a 处取得最大值,则实数a 的值( ).
A .1
B .2
C .3
D .4
7.(考点:古典概型,★★)在1,2,3,4,5,6,7,8中随机抽取3个数,其中1个数为另外2个数的和的概率为( ). A .17
B .314
C .27
D .514
8.(考点:传统文化,★★)我国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题:“今有粟二百五十斛委注平地,下周五丈四尺,问高几何?”意思是:现在有粟米250斛,把它们自然地堆放在平地上,形成一个圆锥形的谷堆,其底面周长为5丈4尺,则谷堆的高为多少?(注:1斛≈1.62立方尺,1丈=10尺,π≈3)该问题中谷堆的高约为( ). A .3尺 B .4尺 C .5尺 D .6尺
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9．已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中正确的有
A ．圆锥的体积为
3
B ．圆锥的表面积为
C 的扇形
D ．圆锥的内切球表面积为(24π-
10．已知a ，b ，c 为实数，且0a b >>，则下列不等式不一定．．．
成立的是
A ．22ac bc >
B ．b a a b
< C ．()2
22log log ab b ->
D ．
1122a b
< 11．设正实数x ，y 满足21x y +=，则 A ．10,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
B ．xy 的最大值为1
4
C ．22x y +的最小值为1
5
D ．42x y +的最小值为4
12．设函数()πsin 5f x x ω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭（0>ω），若()f x 在[]0,π有且仅有5个极值点，则
A ．()f x 在()0,π有且仅有3个极大值点
B ．()f x 在()0,π有且仅有4个零点
C ．ω的取值范围是4353,1010⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．()f x 在π0,20⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列命题中，是真命题的是（ ）
A ．函数()()
2
223
1m
m f x m m x
--=--是幂函数的充分必要条件是2m =
B ．若:(0,),1ln p x x x ∀∈+∞->，则000:(0,),1ln p x x x ⌝∃∈+∞-≤
C ．若()()()()6
2
6
01263222x a a x a x a x +=+++++
++，则315a =
D ．若随机变量ξ服从正态分布()2
1,N σ，(4)0.79P ξ≤=，则(2)0.21P ξ≤-=
10．函数()()()sin 0,0f x A x ωϕωϕπ=+><<，其图象的一个最高点是,23P π⎛⎫
⎪⎝⎭，距离P 点
最近的对称中心为,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
，则（ ）
A ．6ω=
B ．,06x π⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
时，函数()f x 单调递增
C ．1312
x π
=
是函数()f x 图象的一条对称轴 D ．()f x 图象向右平移()0φφ>个单位后得到()g x 的图象，若()g x 是奇函数，则φ的最小值是6
π
11．在归国包机上，孟晚舟写下《月是故乡明，心安是归途》，其中写道“过去的1028天，左右踟躇，千头万绪难抉择；过去的1028天，日夜徘徊，纵有万语难言说；过去的1028天，山重水复，不知归途在何处．”“感谢亲爱的祖国，感谢党和政府，正是那一抹绚丽的中国红，燃起我心中的信念之火，照亮我人生的至暗时刻，引领我回家的漫长路途．”下列数列{}()*
N n a n ∈中，其前n 项和可能为1028的数列是( )
(参考公式：()()
22221211236
n n n n +++++⋅⋅⋅+=)
A ．1028n a n =+
B ．2744125
n a n n =-+
C ．()
1
27145n n a n +=--
D ．11
22
n n a -=+
12．已知圆22:(5)(5)16C x y -+-=与直线:240l mx y +-=，下列选项正确的是（ ） A ．直线l 与圆C 不一定相交 B ．当16
15
m ≥
时，圆C 上至少有两个不同的点到直线l 的距离为1 C ．当2m =-时，圆C 关于直线l 对称的圆的方程是22(3)(3)16x y +++=
D ．当1m =时，若直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，P 为圆C 上任意一点，当||PB =时，PBA ∠最大或最小
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．若向量a ，b 是方向相反的单位向量，且向量c 满足()()
c a c b -⊥-，则c =______． 14．若点P 是抛物线24x y =上一动点，F 是抛物线的焦点，点()2,3A ，则||||PA PF +的最小值为______．
15．已知函数22()ln a f x x a x x
=++在()0,1上存在单调递增区间，则a 的取值范围是______．
16．已知三棱锥A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，3AB BC ==，120BDC ∠=︒，则三棱锥
A BCD -外接球的表面积为___________.
四．解答题：本小题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(本小题10分)
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28S =，9411S a =. （1）求n a ；
（2）若3n n S a =+2 ，求n . 18．(本小题12分)
在ABC 中，满足sin cos a C A =． （1）求角A ；
（2）若已知a =ABC 的周长l 的最大值． 19．(本小题12分)
如图，在五面体ABCDE 中，平面BCD ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，//ED AC ，且
22AC BC ED ===，DC DB ==
（1）求证：平面ABE ⊥平面ABC ；
（2）已知F 是线段BC 上点，满足3BC BF =，求二面角F AE B --的余弦值. 20．(本小题12分)
新冠疫情期间，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，临江中学立马采取了网络授课，老师们变成了“流量主播”，全力帮助学生在线学习．在复课后的某次考试中，某数学教师为了调查高三年级学生这次考试的数学成绩与每天在线学习数学的时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取45名进行调查，了解到其中有25人每天在线学习数学的时长不超过1小时，并得到如下的等高条形图：
参考公式：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c a =+++．
（1）根据等高条形图填写下面22⨯列联表，是否有99%的把握认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其每天在线学习数学的时长有关”；
（2）从被抽查的，且这次数学成绩不超过120分的学生中，再随机抽取2人，求抽取的2人中每天在线学习数学的时长超过1小时的人数ξ的分布列与数学期望． 21．(本小题12分) 已知双曲线22
22
:
1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，且过点()A 2,3. （1）求C 的方程；
（2的直线l 与C 交于P ，Q 两点，且与x 轴交于点M ，若Q 为PM 的中点，求l 的方程.
22．(本小题12分)
已知函数()21cos sin 12
x
f x e ax x a x x x =+---+，a R ∈.
（1）求函数()f x 的图象在()()0,0f 处的切线方程； （2）当1
2
a =
时，证明：()f x 在()0,π上单调递增； （3）若函数()f x 在()0,π存在唯一极小值点，求a 的取值范围.。