河南省郑州市第四十七中学2020届高三12月月考数学(理)试题Word版含答案

河南省郑州市第四十七中学2020届高三12月月考
数学（理）试题
一、选择题(本大题共12小题，共60分)
1.已知集合P={0，1}，M={x|x⊆P}，则集合M的子集个数为（）
A.16
B.32
C.8
D.64
2.下列命题中，真命题是（）
A.∀x∈R，2x＞x2
B.∃x∈R，e x＜0
C.若a＞b，c＞d，则a-c＞b-d
D.ac2＜bc2是a＜b的充分不必要条件
3.已知命题p：∃x0＞0，2x0≥3，则￢p是（）
A. B. C. D.
4.给出下列四个命题：
①的对称轴为；
②函数的最大值为2；
③函数f（x）=sinx•cosx-1的周期为2π；
④函数上的值域为．
其中正确命题的个数是（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
5.以下四个命题中，正确的个数是（）
①命题“若f（x）是周期函数，则f（x）是三角函数”的否命题是“若f（x）是周期函数，则f（x）不是三角函数”；
②命题“存在x∈R，x2-x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2-x＜0”；
③在△ABC中，“sinA＞sinB”是“A＞B”成立的充要条件；
④若函数f（x）在（2015，2017）上有零点，则一定有f（2015）•f（2017）＜0．
A.0
B.1
C.2
D.3
6.已知函数，则y=f（x）的图象大致为（）
A. B. C. D.
7.在R上可导的函数f(x)=，当x∈(0，1)时取得极大值．当x∈(1，2)时取得极小值，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标压缩为原来的，那么所得图象的一条对称轴方程为（）
A. B. C. D.
9.一个物体的运动方程为s=（2t+3）2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在第2秒末的瞬时速度是（）
A.20米/秒
B.28米/秒
C.14米/秒
D.16米/秒
10.已知函数f（x）=，若f（-1）=2f（a），则a的值等于（）
A.或-
B.
C.-
D.±
11.已知函数f（x）=aln（x+1）-x2，在（1，2）内任取两个实数x1，x2（x1≠x2），若不等式
＞1恒成立，则实数a的取值范围为（）
A.（28，+∞）
B.[15，+∞）
C.[28，+∞）
D.（15，+∞）
12.已知y=f（x）是（0，+∞）上的可导函数，满足（x-1）[2f（x）+xf′（x）]＞0（x≠1）恒成立，f （1）=2，若曲线f（x）在点（1，2）处的切线为y=g（x），且g（a）=2016，则a等于（）
A.-500.5
B.-501.5
C.-502.5
D.-503.5
二、填空题(本大题共4小题，共20分)
13.函数y=3sin（2x+），x∈[0，π]的单调递减区间为 ______ ．
14.设角α的终边过点P（-4t，3t）（t∈R，且t＞0），则2sinα+cosα= ______ ．
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，将直线y=与直线x=1及x轴所围成的图形旋转一周得到一个圆锥，
圆锥的体积V圆锥=π（）2dx=x3|=．
据此类推：将曲线y=x2与直线y=4所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V=
______ ．
16.= ______ ．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.已知直线x=与直线x=是函数的图象的两条相邻的对称轴．
（1）求ω，φ的值；
（2）若，f（α）=-，求sinα的值．
18.已知函数f（x）=|x-2|
（Ⅰ）解不等式；f（x）+f（2x+1）≥6；
（Ⅱ）已知a+b=1（a，b＞0）．且对于 x∈R，f（x-m）-f（-x）≤恒成立，求实数m的取值范围．
19.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cos（θ-）．
（1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．
20.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2（ab∈R）
（1）若函数f（x）在x=1处有极值10，求b的值；
（2）若对任意a∈[-4，+∞），f（x）在x∈[0，2]上单调递增，求b的取值范围．
21.已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0且¦Ø＞0，0＜ϕ＜）的部分
图象，如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）若方程f（x）=a在（0，）上有两个不同的实根，试求a的取值范围．
22.已知函数f（x）=alnx+bx2+x，（a，b∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）在x1=1，x2=2处取得极值，求a，b的值，并求出极值
（Ⅱ）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率为1，存在x∈[1，e]，使得f（x）-x≤（a+2）（-x2+x）
成立，求实数a的取值范围．
河南省郑州市第四十七中学2020届高三12月月考
数学（理）试题参考答案
1.A
2.D
3.D
4.B
5.B
6.A
7.A
8.A
9.B
10.A 11.C 12.C
13.[，]
14.
15.8π
16.cosα
17.解：（1）因为直线、是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，
所以，函数的最小正周期T=2×=2π，从而，
因为函数f（x）关于直线对称．
所以，即．…（5分）
又因为，
所以．…（6分）
（2）由（1），得．由题意，．…（7分）
由，得．
从而．…（8分），…（10分）
=．…（12分）
18.解：（Ⅰ），（2分）
当时，由3-3x≥6，解得x≤-1；
当时，x+1≥6不成立；
当x＞2时，由3x-3≥6，解得x≥3．
所以不等式f（x）≥6的解集为（-∞，-1]∪[3，+∞）．…（5分）
（Ⅱ）∵a+b=1（a，b＞0），
∴（6分）
∴对于∀x∈R，恒成立等价于：对∀x∈R，|x-2-m|-|-x-2|≤9，
即[|x-2-m|-|-x-2|]max≤9（7分）
∵|x-2-m|-|-x-2|≤|（x-2-m）-（x+2）|=|-4-m|
∴-9≤m+4≤9，（9分）
∴-13≤m≤5（10分）
19.解：（1）对于曲线C2有，即，
因此曲线C2的直角坐标方程为，其表示一个圆．（5分）
（2）联立曲线C1与曲线C2的方程可得：，
∴t1+t2=2sinα，t1t2=-13
，
因此sinα=0，|AB|的最小值为，sinα=±1，最大值为8．（10分）
20.解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b，
∵f（x）在x=1处有极值10，
∴解得或，
当a=4，b=-11时，f′（x）=3x2+8x-11，其中△＞0，所以函数有极值点，
当a=-3，b=3时，f′（x）=3（x-1）2≥0，所以函数无极值点，
∴b的值为-11；
（2）解法一：f'（x）=3x2+2ax+b≥0对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，
则F（a）=2xa+3x2+b≥0对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，
∵x≥0，F（a）在a∈[-4，+∞）单调递增或为常数函数，
所以得F（a）min=F（-4）=-8x+3x2+b≥0对任意的x∈[0，2]恒成立，
即b≥（-3x2+8x）max，又-3x2+8x=-3（x-）2+≤，
当x=时（-3x2+8x）max=，得b≥；
解法二：f'（x）=3x2+2ax+b≥0对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立即b≥-3x2-2ax对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，
即b≥（-3x2-2ax）max．令F（x）=-3x2-2ax=-3（x+）2+，
①当a≥0时，F（x）max=0，∴b≥0；
②当-4≤a＜0时，F（x）max=，
∴b≥．
又∵（）MAX=，
∴b≥．
21.解：（1）由图象易知函数f（x）的周期为
T=4×（-）=2π，
A=1，
所以ω=1；
由图象知f（x）过点，
则，
∴，
解得；
又∵，∴ϕ=，
∴；…4分
（2）由，
得，
∴f（x）的单调递增区间为[-+2kπ，+2kπ]，k∈Z；…8分
（3）方程f（x）=a在（0，）上有两个不同的实根，
等价于y=f（x）与y=a的图象在（0，）上有两个交点，
在图中作y=a的图象，如图所示；
由函数f（x）=sin（x+）在（0，）上的图象知，
当x=0时，f（x）=，
当x=时，f（x）=0，
由图中可以看出有两个交点时，a∈（-1，0）∪（，1）．…12分
22.解：（Ⅰ）函数f（x）=alnx+bx2+x的导数为f′（x）=+bx+1，
由在x1=1，x2=2处取得极值，可得f′（1）=a+b+1=0，f′（2）=a+2b+1=0，
解得a=-，b=-．
此时f（x）=-lnx-x2+x，f′（x）=--x+1=-
x （0，1） 1 （1，2） 2 （2，+∞）f′（x）- 0 + 0 -
f（x）减极小增极大减
所以，在x=1取得极小值，在x=2取得极大值-ln2；
（Ⅱ）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率为1，
则f′（1）=a+b+1=1，则a=-b，
故f（x）=alnx-x2+x，
若f（x）-x=alnx--x2≤（a+2）（-x2+x）成立，
则a（x-lnx）≥x2-2x成立，
由x∈[1，e]，可得lnx≤1≤x，且等号不能同时取，
所以lnx＜x，即x-lnx＞0．
因而a≥（x∈[1，e]）．
令g（x）=（x∈[1，e]）
又g′（x）=，
当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx≥0，
从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数．
故g（x）的最大值为g（1）=-1，
则a的取值范围是[-1，+∞）．
【解析】
1. 解：∵集合P={0，1}，M={x|x⊆P}，含有n个元素的集合的子集共有：2n个，
∴集合M有4个元素{∅，{0}，{1}，{0，1}}，4个元素的集合子集个数24=16．
故选：A．
根据子集的含义知，集合M有4个元素，4个元素的集合子集个数24=16，即可得到结论．
本题主要考查了集合的子集，一般地，含有n个元素的集合的子集共有：2n个．
2. 解：A当x=2时，2x=x2，故错误；
B根据指数函数性质可知对任意的x，都有e x＞0，故错误；
C若a＞b，c＞d，根据同向可加性只能得出a+c＞b+d，故错误；
Dac2＜bc2，可知c≠0，可推出a＜b，但反之不一定，故是充分不必要条件，故正确．
故选D．
A，B，C 根据特殊值法和指数函数的性质直角判断即可；
D主要是对c=0特殊情况的考查．
考查了选择题中特殊值法的应用和充分不必要条件的概念．属于基础题型，应熟练掌握．
3. 解：命题是特称命题，则命题的否定是
故选：D．
根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
4. 解：由=kπ+，k∈z，解得x=•π+，k∈z，故的对称轴为
，故①正确．
由于函数=2（）=2sin（x+），其最大值等于2，故②正确．
由于函数f（x）=sinx•cosx-1=sin2x-1，它的周期为T==π，故③不正确．
由0≤x≤可得≤2x+≤，故当2x+=时，有最小值，
故当2x+=时，有最大值1，故函数上的值域为[，1]．
故选B．
考查的对称性可得①正确．利用两角和的正弦公式化简函数
的解析式为2sin（x+），其最大值等于2，故②正确．根据函数f（x）=sin2x-1
的周期为T=π，故③不正确．根据≤2x+≤，可得函数上的值域为[，1]，故④不正确．
本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的定义域、周期性，奇偶性和对称性，判断命题的真假，属于中档题．
5. 解：①命题“若f（x）是周期函数，则f（x）是三角函数”的否命题是“若f（x）不是周期函数，则f（x）不是三角函数”；故①错误，
②命题“存在x∈R，x2-x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2-x≤0”；故②错误
③在△ABC中，“sinA＞sinB”等价为a＞b，则等价为“A＞B”，故，“sinA＞sinB”是“A＞B”成立的充要条件；故③正确，
④若函数f（x）在（2015，2017）上有零点，则一定有f（2015）•f（2017）＜0．错误，当f（2015）•f（2017）＞0也可能，故④错误．
故选：B
①根据命题的否命题的定义进行判断，
②根据含有量词的命题的否定进行判断，
③根据充分条件和必要条件的定义进行判断，
④根据将函数零点的定义进行判断．
本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大
6. 解：令g（x）=x-lnx-1，则，
由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，
由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，
所以当x=1时，函数g（x）有最小值，g（x）min=g（0）=0，
于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，
因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，
故选A．
利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可．
本题考查函数的单调性与函数的导数的关系，函数的定义域以及函数的图形的判断，考查分析问题解决问题的能力．
7. 试题分析：由题意知f′(x)=x2+ax+2b，结合题设条件由此可以导出的取值范围．
∵f(x)=，∴f′(x)=x2+ax+2b，
设x2+ax+2b=(x-x1)(x-x2)，(x1＜x2)
则x1+x2=-a，x1x2=2b，
因为函数f(x)当x∈(0，1)时取得极大值，x∈(1，2)时取得极小值
∴0＜x1＜1，1＜x2＜2，
∴1＜-a＜3，0＜2b＜2，-3＜a＜-1，0＜b＜1．∴-2＜b-2＜-1，-4＜a-1＜-2，
∴，
故选A．
8. 解：将函数的图象向左平移个单位，得到函数y=sin（x++）=cosx的图象，
再将图象上各点的横坐标压缩为原来的，得到函数y=cos2x的图象，
由2x=kπ，得x=kπ，k∈Z,
∴所得图象的对称轴方程为x=kπ，k∈Z，k=-1时，x=-,
故选A.
本题主要考查了三角函数图象的平移和伸缩变换，y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，先利用三角函数图象的平移和伸缩变换理论求出变换后函数的解析式，再利用余弦函数图象和性质，求所得函数的对称轴方程，即可得正确选项.
9. 解：∵s=s（t）=（2t+3）2，
∴s′（t）=4（2t+3），
则物体在2秒末的瞬时速度s′（2）=28米/秒，
故选：B．
求函数的导数，利用导数的物理意义即可得到结论．
本题主要考查导数的计算，利用导数的物理意义是解决本题的关键，比较基础．
10. 解：f（-1）=（-1）2=1，
则由f（-1）=2f（a），得1=2f（a），
即f（a）=，
若a＞0，由f（a）=得log3a=，得a=，
若a＜0，由f（a）=得a2=，得a=-或（舍），
综上a的值等于或-，
故选：A．
利用分段函数的表达式建立方程关系进行求解即可．
本题主要考查分段函数的应用，根据条件讨论a的取值，解方程是解决本题的关键．
11. 解：因实数x1，x2在区间（1，2）内，
故x1+1和x2+1在区间（2，3）内．
不等式＞1恒成立，
即为＞0，
即有函数y=f（x）-x在（2，3）内递增．
函数y=f（x）-x=aln（x+1）-x2-x的导数为y′=-2x-1，
即有y′≥0在（2，3）恒成立．
即a≥（2x+1）（x+1）在（2，3）内恒成立．
由于二次函数y=2x2+3x+1在[2，3]上是单调增函数，
故x=3时，y=2x2+3x+1在[2，3]上取最大值为28，即有a≥28，
故答案为[28，+∞）．
故选：C．
求得x1+1和x2+1在区间（2，3）内，将原不等式移项，可得＞
0，即有函数y=f（x）-x在（2，3）内递增．求得函数y的导数，可得y′≥0在（2，3）恒成立，即a≥2x2+3x+1在（2，3）内恒成立，求出函数y=2x2+3x+1在[2，3]上的最大值即可．
本题考查了导数的应用：判断单调性，考查函数的单调性的运用，考查转化思想，将不等式转化为函数的单调性是解题的关键．
12. 解：令F（x）=x2f（x），
由（x-1）[2f（x）+xf′（x）]＞0（x≠1），可得
x＞1时，2f（x）+xf′（x）＞0即2xf（x）+x2f′（x）＞0，即F（x）递增；
当0＜x＜1时，2f（x）+xf′（x）＜0即2xf（x）+x2f′（x）＜0，即F（x）递减．
即有x=1处为极值点，即为F′（1）=0，即有2f（1）+f′（1）=0，
由f（1）=2，可得f′（1）=-4，
曲线f（x）在点（1，2）处的切线为y-2=-4（x-1），
即有g（x）=6-4x，
由g（a）=2016，即有6-4a=2016，解得a=-502.5．
故选：C．
令F（x）=x2f（x），讨论x＞1，0＜x＜1时，F（x）的单调区间和极值点，可得F′（1）=0，即有2f（1）+f′（1）=0，
由f（1）=2，可得f′（1）=-4，求得f（x）在（1，2）处的切线方程，再由g（a）=2016，解方程可得a 的值．
本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的运算法则的逆用，以及函数的单调区间和极值点，考查运算能力，属于中档题．
13. 解：y=3sin（2x+），k∈Z，
令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，
解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
当k=0时，≤x≤，
x∈[0，π]的单调递减区间为：[，]，
故答案为：[，]．
根据三角函数的单调性，求得y=3sin（2x+）的单调递减区间，令k=0时，即可得到结论．
本题主要考查三角函数单调性和单调区间的求解，根据正弦函数的单调性是解决本题的关键，属于基础题．14. 解：∵角α的终边过点P（-4t，3t）（t∈R，且t＞0），
∴r=|OP|=5t，x=-4t，y=3t，∴sinα==，cosα==-，
则2sinα+cosα=-=，
故答案为：．
由条件利用任意角的三角函数的定义，求得要求式子的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
15. 解：由题意旋转体的体积V===8π，
故答案为：8π．
根据题意，类比可得旋转体的体积V=，求出原函数，即可得出结论．
本题给出曲线y=x2与直线y=4所围成的平面图形，求该图形绕xy轴转一周得到旋转体的体积．着重考查了利用定积分公式计算由曲边图形旋转而成的几何体体积的知识，属于基础题．
16. 解：=．
故答案为：cosα．
直接运用三角函数的诱导公式化简即可得答案．
本题主要考察了运用诱导公式化简求值，比较简单，属于基础题．
17.
（1）由题意及正弦函数的图象和性质可求函数的最小正周期T，由周期公式可求ω，由函数f（x）关于直线对称，可得，结合范围，即可解得φ的值．
（2）由（1）得，由，得．可求，利用两角差的正弦函数公式即可求值得解．
本题主要考查了正弦函数的图象和性质，周期公式，两角差的正弦函数公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.
（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．
（Ⅱ）利用1的代换，结合基本不等式先求出的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．
本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．
19.
（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，即可得出结论；
（2）联立曲线C1与曲线C2的方程，利用参数的几何意义，即可求|AB|的最大值和最小值．
本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．
20.
（1）先对函数求导f'（x）=3x2+2ax+b，由题意可得f（1）=10，f′（1）=0，结合导数存在的条件可求；（2）解法一：f'（x）=3x2+2ax+b≥0对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，构造关于a的函数F（a）=2xa+3x2+b≥0对任意a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，结合函数单调性可得F（a）min=F（-4）从而有b ≥（-3x2+8x）max，
解法二： f'（x）=3x2+2ax+b≥0对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，即b≥-3x2-2ax对任意的a ∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，即b≥（-3x2-2ax）max．
构造函数F（x）=-3x2-2ax=-3（x+）2+，结合二次函数的性质进行求解函数F（x）的最大值即可．
本题主要考查了利用导数研究函数的极值，利用构造函数的思想把恒成立转化为求解函数的最值问题，要注意构造思想在解题中的应用．
21.
（1）由图象得出函数f（x）的周期T，振幅A，计算ω的值，再求出φ的值即得f（x）；
（2）由正弦函数的图象与性质，即可求出f（x）的单调递增区间；
（3）把问题化为y=f（x）与y=a的图象在（0，）上有两个交点问题，利用函数的图象即可求出a的取值范围．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了方程与函数的应用问题，是综合性题目．
22.
（Ⅰ）求得f（x）的导数，由题意可得f′（1）=a+b+1=0，f′（2）=a+2b+1=0，求得a，b的值，可得
f（x）及导数，求得单调区间，可得极值；
（Ⅱ）求得f（x）的导数，由导数的几何意义，解方程可得a=-b，故f（x）=alnx-x2+x，由题意可得a
（x-lnx）≥x2-2x成立，由条件可得a≥（x∈[1，e]），令g（x）=（x∈[1，e]），求得导数，判断单调性，可得最小值，即可得到a的范围．
本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式成立问题的解法，注意运用分离参数和构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。