2020版高考数学一轮复习 课后限时集训51 曲线与方程 理(含解析)北师大版

课后限时集训(五十一) 曲线与方程
(建议用时：60分钟) A 组 基础达标
一、选择题
1．若方程x 2
＋y 2
a
＝1(a 是常数)，则下列结论正确的是( )
A ．任意实数a 方程表示椭圆
B ．存在实数a 方程表示椭圆
C ．任意实数a 方程表示双曲线
D ．存在实数a 方程表示抛物线
B [当a ＞0且a ≠1时，该方程表示椭圆；当a ＜0时，该方程表示双曲线；当a ＝1时，该方程表示圆．故选
B ．]
2．已知点Q 在椭圆C ：x 216＋y 2
10＝1上，点P 满足OP →＝1
2
(OF 1→＋OQ →
)(其中O 为坐标原点，F 1
为椭圆C 的左焦点)，则点P 的轨迹为( )
A ．圆
B ．抛物线
C ．双曲线
D ．椭圆
D [因为点P 满足OP →＝1
2(OF 1→＋OQ →)，所以点P 是线段QF 1的中点，设P (x ，y )，由于F 1为
椭圆C ：x 216＋y 210＝1的左焦点，则F 1(－6，0)，故Q (2x ＋6，2y )，由点Q 在椭圆C ：x 216＋
y 2
10＝1上，得点P 的轨迹方程为
2x ＋6
2
16
＋
2y 2
10
＝1，故点P 的轨迹为椭圆．故选 D ．]
3．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →
，则动点P 的轨迹C 的方程为( )
A ．x 2
＝4y B ．y 2
＝3x C ．x 2＝2y
D ．y 2
＝4x
A [设点P (x ，y )，则Q (x ，－1)． ∵QP →·QF →＝FP →·FQ →，
∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)， 即2(y ＋1)＝x 2
－2(y －1)，整理得x 2
＝4y ， ∴动点P 的轨迹C 的方程为x 2
＝4y .故选A.]
4. 设点A 为圆(x －1)2
＋y 2
＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方
程为( )
A ．y 2
＝2x B ．(x －1)2＋y 2
＝4 C ．y 2＝－2x
D ．(x －1)2
＋y 2
＝2
D [如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连接MA ，PM ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1，
又∵|PA |＝1，
∴|PM |＝|MA |2
＋|PA |2
＝2，即|PM |2
＝2，∴(x －1)2
＋y 2
＝2.] 5．设圆(x ＋1)2
＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q
为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )
A.4x 2
21－4y
2
25＝1 B ．4x 221＋4y
2
25＝1
C.4x 2
25－4y
2
21
＝1 D ．4x 2
25＋4y
2
21
＝1
D [因为M 为AQ 垂直平分线上一点， 则|AM |＝|MQ |，
所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，
故M 的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝5
2，c ＝1.
则b 2＝a 2－c 2
＝214
，
所以椭圆的方程为4x 2
25＋4y
2
21＝1.]
二、填空题
6．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为__________．
(x －10)2
＋y 2
＝36(y ≠0) [设A (x ，y )，
则D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2，y
2. ∴|CD |＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2－52＋y 2
4＝3， 化简得(x －10)2
＋y 2
＝36，由于A ，B ，C 三点构成三角形， ∴A 不能落在x 轴上， 即y ≠0.]
7．一条线段的长等于6，两端点A ，B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上滑动，P 在线段AB 上且AP →＝2PB →
，则点P 的轨迹方程是________．
4x 2
＋y 2
＝16 [设P (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，则a 2
＋b 2
＝36.因为AP →＝2PB →
，
所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝a 3，
y ＝2b
3，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝3x ，
b ＝3
2
y ，代入a 2＋b 2＝36，得9x 2＋94
y 2＝36，即4x 2＋y 2
＝16.]
8．已知圆的方程为x 2
＋y 2
＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．
x 24
＋y 2
3
＝1(y ≠0) [设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|FA |＋|FB |，所以|FA |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为x 24＋y 2
3
＝1(y ≠0)．]
三、解答题
9.如图所示，已知圆A ：(x ＋2)2
＋y 2
＝1与点B (2,0)，分别求出满足下列条件的动点P 的轨迹方程．
(1)△PAB 的周长为10；
(2)圆P 与圆A 外切，且过B 点(P 为动圆圆心)；
(2)圆P 与圆A 外切，且与直线x ＝1相切(P 为动圆圆心)．
[解] (1)根据题意，知|PA |＋|PB |＋|AB |＝10，即|PA |＋|PB |＝6＞4＝|AB |，故P 点轨迹是椭圆，且2a ＝6,2c ＝4，即a ＝3，c ＝2，b ＝ 5.
因此其轨迹方程为x 29＋y 2
5
＝1(y ≠0)．
(2)设圆P 的半径为r ，则|PA |＝r ＋1，|PB |＝r ， 因此|PA |－|PB |＝1.
由双曲线的定义知，P 点的轨迹为双曲线的右支，
且2a ＝1,2c ＝4，即a ＝12，c ＝2，b ＝152，因此其轨迹方程为4x 2
－415y 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥12.
(3)依题意，知动点P 到定点A 的距离等于到定直线x ＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p ＝4.
因此其轨迹方程为y 2
＝－8x .
10．已知动点M 到定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离之和为4 2. (1)求动点M 的轨迹C 的方程；
(2)设N (0,2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交曲线C 于不同于N 的两点A ，B ，直线NA ，
NB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值．
[解] (1)由椭圆的定义，可知点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点，42为长轴长的椭圆． 由c ＝2，a ＝22，得b ＝2.
故动点M 的轨迹C 的方程为x 28＋y 2
4
＝1.
(2)当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋2＝k (x ＋1)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 28＋y 2
4＝1，y ＋2＝k x ＋1
得(1＋2k 2)x 2＋4k (k －2)x ＋2k 2
－8k ＝0.
Δ＝[4k (k －2)]2－4(1＋2k 2)(2k 2－8k )＞0，则k ＞0或k ＜－4
7
.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k k －21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2
－8k
1＋2k
2.
从而k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2
x 2
＝2kx 1x 2＋
k －4x 1＋x 2
x 1x 2
＝2k －(k －4)4k k －2
2k 2
－8k ＝4. 当直线l 的斜率不存在时，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，－142， 所以k 1＋k 2＝4. 综上，恒有k 1＋k 2＝4.
B 组 能力提升
1．已知A ，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若MN →2
＝λAN →·NB →
，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是( )
A ．圆
B ．椭圆
C ．抛物线
D ．双曲线
C [以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立坐标系，设M (x ，y )，A (－a,0)，B (a,0)，则N (x,0)．因为MN →2
＝λAN →·NB →
，
所以y 2
＝λ(x ＋a )(a －x )，即λx 2
＋y 2
＝λa 2
， 当λ＝1时，轨迹是圆；
当λ＞0且λ≠1时，轨迹是椭圆；
当λ＜0时，轨迹是双曲线； 当λ＝0时，轨迹是直线．
综上，动点M 的轨迹不可能是抛物线．]
2．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 2
3＝1的左，右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2
的重心G 的轨迹方程为( )
A.
x 236＋y 2
27
＝1(y ≠0) B ．4x 2
9＋y 2
＝1(y ≠0)
C.9x 2
4
＋3y 2
＝1(y ≠0) D ．x 2
＋4y
2
3
＝1(y ≠0)
C [依题意知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x 0，y 0)，G (x ，y )，则由三角形重心坐标关系可
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0－1＋13，y ＝y
3，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 0＝3x ，
y 0＝3y .代入x 204＋y 20
3＝1得重心G 的轨迹方程为9x 2
4
＋3y 2
＝
1(y ≠0)．]
3．若过点P (1,1)且互相垂直的两条直线l 1，l 2分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，则AB 中点M 的轨迹方程为________．
x ＋y －1＝0 [当直线l 1的斜率存在时，l 2的斜率也存在，设直线l 1的方程是y －1＝k (x
－1)，则直线l 2的方程是y －1＝－1k
(x －1)，所以直线l 1与x 轴的交点为A ⎝
⎛⎭
⎪⎫1－1k
，0，l 2与y
轴的交点为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋1k ，设AB 的中点M 的坐标为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫
1－1k ，y ＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1＋1k ，两式相
加消去k ，得x ＋y ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠12，即x ＋y －1＝0⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ≠12，
所以AB 中点M 的轨迹方程为x ＋y －1＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠12.
当l 1的斜率不存在时，AB 的中点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，12， 适合x ＋y －1＝0，
综上可知，AB 中点的轨迹方程为x ＋y －1＝0.]
4．(2019·泉州模拟)在△ABC 中，O 是BC 的中点，|BC |＝32，△ABC 的周长为6＋3 2.若点T 在线段AO 上，且|AT |＝2|TO |.
(1)建立适当的平面直角坐标系，求点T 的轨迹E 的方程；
(2)若M ，N 是射线OC 上不同的两点，|OM |·|ON |＝1，过点M 的直线与E 交于点P ，Q ，直线QN 与E 交于另一点R .证明：△MPR 是等腰三角形．
[解] (1)如图，以O 为坐标原点，以BC →
的方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy .
依题意得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，0，C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
322，0.
由|AB |＋|AC |＋|BC |＝6＋32， 得|AB |＋|AC |＝6.
因为|AB |＋|AC |＝6＞|BC |，
所以点A 的轨迹是以B ，C 为焦点，6为长轴长的椭圆(除去长轴端点)，所以点A 的轨迹方程为x 29＋2y 2
9
＝1(x ≠±3)．
设A (x 0，y 0)，T (x ，y )，依题意知OT →＝1
3
OA →
，
所以(x ，y )＝1
3(x 0，y 0)，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 0＝3x ，y 0＝3y .
又x 20
9＋2y 209＝1，所以3x
2
9＋
2
3y 2
9
＝1，
即x 2
＋2y 2
＝1，
所以点T 的轨迹E 的方程为x 2＋2y 2
＝1(x ≠±1)．
(2)证明：设M (m,0)(m ≠1)，N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1m
，0，
Q (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)，R (x 3，y 3)．
由题意得直线QM 不与坐标轴平行， 因为k QM ＝
y 1
x 1－m
，
所以直线QM 的方程为y ＝
y 1
x 1－m
(x －m )，
与x 2
＋2y 2
＝1联立并整理可得，
(m 2
＋1－2mx 1)x 2
－2m (1－x 2
1)x ＋(2mx 1－x 2
1－m 2x 2
1)＝0， 由根与系数的关系得x 1x 2＝2mx 1－x 2
1－m 2x 2
1
m 2＋1－2mx 1
，
同理，x 1x 3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1m x 1－x 2
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫1m 2
x 21⎝ ⎛⎭
⎪⎫1m 2
＋1－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1m x 1
＝2mx 1－m 2x 2
1－x 2
1
1＋m 2
－2mx 1＝x 1x 2， 所以x 2＝x 3或x 1＝0， 当x 2＝x 3时，PR ⊥x 轴；
当x 1＝0时，由x 1＋x 2＝2m 1－x 2
1
m 2＋1－2mx 1，
得x 2＝
2m
m 2
＋1
， 同理，x 3＝
2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1m 2
＋1＝
2m
m 2
＋1
＝x 2， ∴PR ⊥x 轴．
因此|MP |＝|MR |，故△MPR 是等腰三角形．。