四川省成都市高2021届2020年高三零诊数学试卷(文科、理科)

四川省成都市高2021届2020年高三零诊
数学试卷(文科、理科)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合 $A=\{x|0<x<2\}$，$B=\{x|x\geq1\}$，则 $A\cap
B=$
A) $\{x|0<x\leq1\}$ (B) $\{x|0<x<1\}$ (C) $\{x|1\leq
x<2\}$ (D) $\{x|0<x<2\}$
2.复数 $z=2i/(2-i)$（$i$ 为虚数单位）在复平面内对应的
点位于
A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限
3.已知函数 $f(x)=\begin{cases} |x-1|。

& x\leq 1 \\ e^{\ln x}。

& x>0 \end{cases}$，则 $f(f(2))=$
A) 0 (B) 1 (C) $e^{-1}$ (D) 2
4.为了加强全民爱眼意识，提高民族健康素质，1996年，卫生部、教育部、XXX等12个部委联合发出通知，将爱眼日
活动列为国家节日之一，并确定每年的6月6日为“全国爱眼日”。

某校高二（1）班有40名学生，学号为01到40，现采
用随机数表法从该班抽取5名学生参加“全国爱眼日”宣传活动。

已知随机数表中第6行至第7行的各数如下：
xxxxxxxx39 xxxxxxxx82 xxxxxxxx78 xxxxxxxx38
xxxxxxxx48 xxxxxxxx15 xxxxxxxx77 xxxxxxxx17 xxxxxxxx92 若从随机数表第6行第9列的数开始向右数，则抽取的第
5名学生的学号是
A) 17 (B) 23 (C) 35 (D) 37
5.“$k=223$” 是“直线 $y=kx+2$ 与圆 $x^2+y^2=1$ 相切”
的
A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D)
既不充分也不必要条件
6.已知离心率为2的双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-
\dfrac{y^2}{b^2}=1$ （$a>0,b>0$）与椭圆
$\dfrac{y^2}{84}+\dfrac{x^2}{ab}=1$ 有公共焦点，则双曲线的方程为
A) $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ (B)
$\dfrac{x^2}{b^2}-\dfrac{y^2}{a^2}=1$ (C) $x^2-
a^2y^2=b^2$ (D) $y^2-a^2x^2=b^2$
7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果 $S$ 为
A) $-1$ (B) $\dfrac{2}{\sqrt{2}}$ (C) 0 (D) $-
\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
8.设函数 $f(x)$ 的导函数是 $f'(x)$。

若 $f(x)=f'(\pi)x-\cos x$，则 $f'(\pi/6)=$
A) $-\dfrac{3}{3\sqrt{3}+1}$ (B)
$\dfrac{3}{3\sqrt{3}+1}$ (C) $\dfrac{2}{2\sqrt{2}+1}$ (D) $-\dfrac{2}{2\sqrt{2}+1}$
9.如图是某几何体的三视图。

若三视图中的圆的半径均为2，则该几何体的表面积为
A) $14\pi$ (B) $16\pi$ (C) $18\pi$ (D) $20\pi$
10.在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知直线
$l:y=k(x+1)$ 与曲线 $C:\begin{cases} y=\sqrt{x}。

& x\geq 0 \\
y=-\sqrt{x}。

& x<0 \end{cases}$ 相交于点 $(1,2)$。

则 $k=$
A) $-\dfrac{1}{2}$ (B) $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (C)
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (D) $\dfrac{1}{2}$
1.两个不同的交点，则实数k的取值范围为(A) (0,1) (B) (0,2) (C) [1/2,1) (D) [1/2,1)
2.已知函数$f(x)=\begin{cases}x=1+\sin^2\theta,\\
y=\sin\theta+\cos\theta\end{cases}$，在第一象限恰有两个不同
的交点，则实数k的取值范围为$(A) (0,1) (B) (0,2) (C) [1/2,1) (D) [1/2,1)$。

3.若$a=f(\ln2),b=f(-\ln3),c=f(e)$，其中
$f(x)=\begin{cases}x\ln|x|&xc>a (B) b>a>c (C) a>b>c (D) a>c>b$。

4.已知关于$x$的不等式$\ln(x-1)+x\leq
kx+b(k,b\in\mathbb{R})$当$x\in(1,+\infty)$时恒成立，则$-e^2,-\frac{1}{e+1},\frac{k-1}{2e},-e^{-1}$中最小的数是$(-e^2)$。

5.已知呈线性相关的变量$x,y$之间的关系如下表：
x | y |
1 | 1 |
2 |
3 |
3 |
4 |
4 | 6 |
设$y$关于$x$的回归方程为$y=\hat{y}+ax$，其中
$\hat{y}$为$y$的平均值，则$\hat{a}$的值为$1.6$。

由此预测当$x=8$时，$y$由表中数据得到的回归直线方程为$y=14.8$。

6.函数$f(x)=-2e^{-2x}+3$的图象在$x=0$处的切线方程为$y=3$。

7.已知甲、乙、丙三个人中，只有一个人会中国象棋。

甲说：“我会”；乙说：“我不会”；丙说：“甲不会”。

如果这三句话只有一句是真的，那么会中国象棋的人是丙。

8.已知点$P$在椭圆
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$上，$F_1$是椭圆的左焦点，线段$PF_1$的中点在圆$x+y=a-b$上。

记直线$PF_1$的斜率为$k$，若$k\geq 1$，则椭圆离心率的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。

9.2019年12月，生活垃圾分类标准新标准发布并正式实施。

为进一步普及生活垃圾分类知识，了解居民生活垃圾分类情况，某社区开展了一次关于垃圾分类的问卷调查活动，并对随机抽取的1000人的年龄进行了统计，得到如下的各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图：
组数 | 第一组 | 第二组 | 第三组 | 第四组 | 第五组 | 第六组 | 合计 |
分组频数 | 200 | 300 | 150 | 100 | 100 | 50 | 1000 |
年龄段 | $[15,20)$ | $[20,25)$ | $[25,30)$ | $[30,35)$ | $[35,40)$ | $[40,45)$ | $[15,45)$ |
其中，分组频数表示该年龄段的人数，年龄段表示该组数据的范围。

根据数据，可得各年龄段的上限和下限：
组数 | 第一组 | 第二组 | 第三组 | 第四组 | 第五组 | 第六组 |
年龄段 | $[15,20)$ | $[20,25)$ | $[25,30)$ | $[30,35)$ | $[35,40)$ | $[40,45)$ |
下限 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
上限 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 |
设第$i$个年龄段的频数为$n_i$，频率为$f_i$，则有：
n_i=\sum_{j=1}^{n}1(x_j\in[i-1,i))$$
f_i=\frac{n_i}{n}$$
其中，$x_j$表示第$j$个人的年龄。

根据频率分布直方图，可得各年龄段的频率密度：
h_i=\frac{f_i}{\Delta_i}$$
其中，$\Delta_i$表示第$i$个年龄段的组距，即
$\Delta_i=\text{上限}_i-\text{下限}_i$。

根据频数分布表，可得各年龄段的中点：
bar{x}_i=\frac{\text{上限}_i+\text{下限}_i}{2}$$
根据统计学知识，若数据集的均值为$\bar{x}$，则有：
bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{k}n_i\bar{x}_i}{n}=\sum_{i=1} ^{k}f_i\bar{x}_i$$
其中，$k$表示数据集的组数。

根据频数分布表，可得各年龄段的频数、频率、频率密度、中点的值如下表：
组数 | 第一组 | 第二组 | 第三组 | 第四组 | 第五组 | 第六组 |
年龄段 | $[15,20)$ | $[20,25)$ | $[25,30)$ | $[30,35)$ | $[35,40)$ | $[40,45)$ |
下限 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
上限 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 |
n_i$ | 200 | 300 | 150 | 100 | 100 | 50 |
f_i$ | 0.2 | 0.3 | 0.15 | 0.1 | 0.1 | 0.05 |
Delta_i$ | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 |
bar{x}_i$ | 17.5 | 22.5 | 27.5 | 32.5 | 37.5 | 42.5 |
h_i$ | 0.04 | 0.06 | 0.03 | 0.02 | 0.02 | 0.01 |
因此，可得数据集的均值为：
bar{x}=0.2\times17.5+0.3\times22.5+0.15\times27.5+0.1\tim es32.5+0.1\times37.5+0.05\times42.5=25.25$$
根据统计学知识，若数据集的方差为$s^2$，则有：
s^2=\frac{\sum_{i=1}^{k}n_i(\bar{x}_i-\bar{x})^2}{n-
1}=\sum_{i=1}^{k}f_i(\bar{x}_i-\bar{x})^2$$
因此，可得数据集的方差为：
s^2=0.2\times(17.5-25.25)^2+0.3\times(22.5-
25.25)^2+0.15\times(27.5-25.25)^2+0.1\times(32.5-
25.25)^2+0.1\times(37.5-25.25)^2+0.05\times(42.5-
25.25)^2=52.1875$$
根据统计学知识，若数据集的标准差为$s$，则有：
s=\sqrt{s^2}=\sqrt{52.1875}\approx 7.219$$
因此，可得数据集的标准差为$7.219$。

请补全频率分布直方图，并求出各年龄段频数分布表中m,n的值。

频数分布直方图如下：
年龄段。

频数
10,20)。

5
20,30)。

8
30,40)。

15
40,50)。

12
50,60)。

10
60,70)。

5
根据直方图可得，m=15，n=12.
已知从年龄在[30,40)段中采用分层抽样的方法选出了5名代表参加垃圾分类知识交流活动。

现从这5名代表中任选2名作为领队，求这两名领队中恰有1名年龄在35到40岁段中的概率。

由于从[30,40)段中选出的代表有15人，所以从中任选2
人的方案数为C(15,2)=105.
恰有1名年龄在[35,40)段中的方案数为C(5,1)×C(10,1)=50.
所以所求概率为50/105=10/21.
已知函数f(x)=x^3+2ax^2+bx+a-1在x=-1处取得极值，其中a,b∈R。

Ⅰ）求a,b的值。

由题可得f'(x)=3x^2+4ax+b，f'(-1)=0，代入可得b=-a-3.
又因为f(x)在x=-1处取得极值，所以f''(-1)=0，代入可得a=1.
所以a=1，b=-4.
Ⅱ）当x∈[-1,1]时，求f(x)的最大值。

由于f(x)在x=-1处取得极值，所以在[-1,1]中的最大值只可能在端点处取得。

所以f(-1)=a-b=5，f(1)=a+b=1.
所以f(x)的最大值为5.
在菱形ABCD中，∠A=60°且AB=2，E为AD的中点。

将△ABE沿BE折起使AD=图②所示的四棱锥A-BCDE。

Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面ABC。

如图，连接AC，因为E为AD的中点，所以AE=ED=1.
又因为AB=2，所以∠BAE=60°，∠EAB=60°。

所以△ABE为等边三角形，所以∠XXX∠BAE=60°。

所以∠BED=120°，所以∠BEC=∠BED/2=60°。

因为平面ABC与平面AEC垂直，所以平面ABE⊥平面ABC。

Ⅱ）若P为AC的中点，求二面角P-BD-C的余弦值。

如图，连接BP，PC。

因为P为AC的中点，所以BP=PC=√3.
又因为ABCD为菱形，所以AC=BD=2√3.
所以BP/BD=PC/BD=√3/2√3=1/2.
所以∠PBD=∠PCD=60°，所以∠XXX°。

所以二面角P-BD-C的余弦值为cos120°=-1/2.
在同一平面直角坐标系xOy中，圆x+y=4经过伸缩变换φ: x' = x，y' = 2y后，得到曲线C。

y' = y。

Ⅰ）求曲线C的方程。

经过伸缩变换后，圆的方程变为x+2y=4.
所以曲线C的方程为y=x/2.
Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，连接BO并延长与曲线C相交于点D，且|AD|=2.求△ABD面积的最大值。

如图，设直线l的方程为y=kx，与曲线C相交于A、B两点，分别为(2k,k)和(4/(2k+1),2k/(2k+1))。

由题可得，|AD|=2，所以D的坐标为(4/(2k+1),4k/(2k+1))。

所以△ABD的面积为S=1/2×XXX×BD×sin∠ADB。

又因为AB=√(4k^2+(2k-4/(2k+1))^2)，
BD=√(4/(2k+1)^2+(4k/(2k+1)-4/(2k+1))^2)，sin∠ADB=|y1-
y2|/BD=|k-4k/(2k+1)|/(2k/(2k+1))。

所以S=1/2×(4k^2+(2k-4/(2k+1))^2)×(4/(2k+1))×|k-
4k/(2k+1)|/(2k/(2k+1))。

化简可得S=16/(2k+1)^3×(2k-4/(2k+1))^2×|k-4k/(2k+1)|。

所以S=16/27(2k-4/(2k+1))^3.
对S求导可得，S'=16/27(2k+1)^4(4k^2-1)/(2k+1)^6.
令S'=0，可得k=1/2.
所以△ABD面积的最大值为16/27.
已知函数f(x)=xe^x+ax，a∈R。

Ⅰ）设f(x)的导函数为f'(x)，试讨论f'(x)的零点个数。

f'(x)=e^x(x+a)，当a=0时，f'(x)=xe^x，只有一个零点x=0；当a>0时，f'(x)在(-∞,-a)上单调递减，在(-a,∞)上单调递增，有
且仅有一个零点；当a<0时，f'(x)在(-∞,-a)上单调递增，在(-
a,∞)上单调递减，有且仅有一个零点。

Ⅱ）设g(x)=axlnx+alnx+(a-1)x。

当x∈(1,+∞)时，若
f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围。

当f(x)≥g(x)时，有xe^x+ax≥axlnx+alnx+(a-1)x。

整理可得，x≥e^(a-1)。

所以a≤lnx+1，当x=e时，a≤1+ln2.
所以a∈(-∞,1+ln2]。