2018一轮北师大版理数学教案：第5章 第2节 等差数列 含解析 精品

第二节 等差数列
[考纲传真] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列．用符号表示为a n ＋1－a n ＝d(n ∈N *，d 为常数)．
(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b
2，其中A 叫作a ，b 的等差中项．
2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d.
(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝n (a 1＋a n )
2.
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d(n ，m ∈N *)．
(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d. (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．
(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为m d 的等差数列．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列
是等差数列．( )
(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋
2.(
)
(3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )
(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝0，则公差d 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2
D ．－2
D [依题意得S 3＝3a 2＝6，即a 2＝2，故d ＝a 3－a 2＝－2，故选D.] 3．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( )
A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
A [a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3⇒a 3＝1，S 5＝5(a 1＋a 5)2
＝5a 3＝5.]
4．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )
A ．100
B ．99
C ．98
D ．97
C [法一：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝9
2(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.
又∵a 10＝8，∴⎩⎨⎧ a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎨⎧
a 1＝－1，
d ＝1.
∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98.故选C. 法二：∵{a n }是等差数列， ∴S 9＝9
2(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.
在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15，…，a 100成等差数列，且公差d′＝a 10－a 5＝8－3＝5.
故a 100＝a 5＋(20－1)×5＝98.故选C.]
5．(教材改编)在100以内的正整数中有__________个能被6整除的数.
【导学号：57962239】
16 [由题意知，能被6整除的数构成一个等差数列{a n }， 则a 1＝6，d ＝6，得a n ＝6＋(n －1)6＝6n . 由a n ＝6n ≤100，即n ≤1646＝162
3， 则在100以内有16个能被6整除的数．]
n n n }的前n
项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )
A.172
B.192 C ．10
D ．12
(2)(2017·云南省二次统一检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，若a m ＝30，则m ＝( )
【导学号：57962240】
A ．9
B ．10
C ．11
D ．15
(1)B (2)B [(1)∵公差为1，
∴S 8＝8a 1＋8×(8－1)2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.
∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝1
2， ∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝19
2.
(2)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意⎩⎪⎨
⎪⎧
S 11＝11a 1＋11×(11－1)2d ＝22，
a 4＝a 1＋3d ＝－12，解
得⎩⎨⎧
a 1＝－33，
d ＝7，
∴a m ＝a 1＋(m －1)d ＝7m －40＝30，∴m ＝10.]
[规律方法] 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知三求二，体现了方程思想的应用．
2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．
[变式训练1] (1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 2
2＝1，则数列{a n }的公差是( )
A.12 B ．1 C ．2
D ．3
(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝__________.
【导学号：57962241】
(1)C (2)－72 [(1)∵S n ＝n (a 1＋a n )2，∴S n n ＝a 1＋a n 2，又
S 33－S 22＝1， 得a 1＋a 32－a 1＋a 2
2＝1，即a 3－a 2＝2， ∴数列{a n }的公差为2.
(2)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由已知，得⎩⎪⎨⎪
⎧
a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9
＝9a 1
＋9d ×8
2＝－9，解得⎩
⎨⎧
a 1＝3，
d ＝－1.
∴S 16＝16×3＋16×15
2×(－1)＝－72.]
已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1
a n －1
(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足
b n ＝1a n －1
(n ∈N *)．
(1)求证：数列{b n }是等差数列． (2)求数列{a n }中的通项公式a n . [解] (1)证明：因为a n ＝2－1a n －1
(n ≥2，n ∈N *)，
b n ＝1a n －1
.
所以n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1
＝
1⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1
a n －1－1＝1. 5分
又b 1＝1a 1－1
＝－52，
所以数列{b n }是以－5
2为首项，1为公差的等差数列. 7分 (2)由(1)知，b n ＝n －7
2， 9分 则a n ＝1＋1b n
＝1＋2
2n －7.
12分
[规律方法] 1.判断等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．
2．用定义证明等差数列时，常采用两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．
[变式训练2] (1)若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( )
【导学号：57962242】
A ．公差为3的等差数列
B ．公差为4的等差数列
C ．公差为6的等差数列
D ．公差为9的等差数列
(2)已知每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n 满足S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1(n ∈N *且n ≥2)，则a 61＝__________.
(1)C (2)480 [(1)∵a 2n －1＋2a 2n －(a 2n －3＋2a 2n －2) ＝(a 2n －1－a 2n －3)＋2(a 2n －a 2n －2) ＝2＋2×2＝6，
∴{a 2n －1＋2a 2n }是公差为6的等差数列．
(2)由已知S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1可得，S n －S n －1＝2，所以{S n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故S n ＝2n －1，S n ＝(2n －1)2，所以a 61＝S 61－S 60＝1212－1192＝480.]
的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于63，那么a 52＝( )
【导学号：57962243】
⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 41
a 42 a 43a 51 a 52 a 53a 61
a 62
a 63 图5-2-1 A ．2 B ．8 C ．7
D ．4
(2)等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1>0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 取得最大值．
(1)C [法一：第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有a 41＋a 42＋a 43＝3a 42，同理第二行也有a 51＋a 52＋a 53＝3a 52，第三行也有a 61＋a 62＋a 63＝3a 62，又每列也成等差数列，所以对于第二列，有a 42＋a 52＋a 62＝3a 52，所以a 41＋a 42＋a 43＋a 51＋a 52＋a 53＋a 61＋a 62＋a 63＝3a 42＋3a 52＋3a 62＝3×3a 52＝63，所以a 52＝7，故选C.
法二：由于每行每列都成等差数列，不妨取特殊情况，即这9个数均相同，显然满足题意，所以有63÷9＝7，即a 52＝7，故选C.]
(2)法一：由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×10
2d ， 4分
即d ＝－2
13a 1.
7分
从而S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋49
13a 1，
因为a 1>0，所以－a 1
13<0. 9分 故当n ＝7时，S n 最大.
12分
法二：由法一可知，d ＝－2
13a 1. 要使S n 最大，则有⎩⎨⎧
a n ≥0，
a n ＋1≤0，
5分
即⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫
－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－213a 1≤0， 9分
解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大. 12分
法三：由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0， 即(a 1＋6d)＋(a 1＋7d)＝0，
5分 故a 7＋a 8＝0，又由a 1>0，S 3＝S 11可知d<0， 9分 所以a 7>0，a 8<0，所以当n ＝7时，S n 最大. 12分
[规律方法] 1.等差数列的性质
(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔
a m －a n
m －n
＝d(m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．
(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .
2．求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法
(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解．
(2)邻项变号法：
①当a 1>0，d<0时，满足⎩⎨⎧
a m ≥0，
a m ＋1≤0
的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；
②当a 1<0，d>0时，满足⎩⎨⎧
a m ≤0，
a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .
[变式训练3] (1)在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( )
【导学号：57962244】
A ．18
B ．99
C ．198
D ．297
(2)已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝5，a 7＋a 8＋a 9＝10，则a 19＋a 20＋a 21＝__________.
(1)B (2)20 [(1)因为a 3＋a 9＝27－a 6,2a 6＝a 3＋a 9，所以3a 6＝27，所以a 6＝9，所以S 11＝11
2(a 1＋a 11)＝11a 6＝99.
(2)法一：设数列{a n }的公差为d ，则a 7＋a 8＋a 9＝a 1＋6d ＋a 2＋6d ＋a 3＋6d ＝5＋18d ＝10，所以18d ＝5，故a 19＋a 20＋a 21＝a 7＋12d ＋a 8＋12d ＋a 9＋12d ＝10＋36d ＝20.
法二：由等差数列的性质，可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…，S 21－S 18成等差数列，设此数列公差为D.
所以5＋2D ＝10， 所以D ＝5
2.
所以a 19＋a 20＋a 21＝S 21－S 18＝5＋6D ＝5＋15＝20.]
[思想与方法]
1．等差数列的通项公式，前n 项和公式涉及“五个量”，“知三求二”，需运用方程思想求解，特别是求a 1和d.
(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，….
(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，….
2．等差数列{a n }中，a n ＝an ＋b (a ，b 为常数)，S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)，
均是关于“n”的函数，充分运用函数思想，借助函数的图像、性质简化解题过程．
3．等差数列的四种判断方法：
(1)定义法：a n＋1－a n＝d(d是常数)⇔{a n}是等差数列．
(2)等差中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．
(3)通项公式：a n＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a n}是等差数列．
(4)前n项和公式：S n＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{a n}是等差数列．
[易错与防范]
1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．
2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．
3．求等差数列的前n项和S n的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件．。