能带理论——精选推荐

能带理论
能带理论
摘要阐述了能带理论提出的背景以及假设条件，在此基础上，主要给出了两个模型：近⾃由电⼦近似模型、紧束缚近似模型。

两者的假设不同，近⾃由近似模型认为价电⼦近似⾃由，晶体的周期性势场微扰很⼩；紧束缚近似模型认为电⼦受到原⼦核作⽤⽐较强，将其他原⼦的作⽤看做微扰。

两者共同基础是周期性势场中电⼦共有化运动，由两种模型研究电⼦的运动状态得出同⼀结论--能带。

在能带理论的基础上，定性的解释了绝缘体、半导体和导体。

Abstract This paper expounds the background and hypothesis of the theory of band theory,on the basis of it,two models are given:Near-free electron approximation model,tight-binding approximation model.Their assumptions are different,The near -free approximation model considers that the valence electrons are approximately free and the periodic potential of the crystal is very small;The tight-binding approximation model considers electrons are strongly affected by the nucleus,The role of other atoms as perturbation.The common basis of them is the electron co movement in the periodic potential field,It is concluded that the two models can be used to study the motion of electrons. On the basis of band theory, the properties of insulator, semiconductor and conductor are explained qualitatively.
概述（背景、出发点）
能带理论是讨论晶体（包括⾦属、绝缘体和半导体的晶体）中电⼦的状态及其运动的⼀种重要的近似理论。

我们知道，实际晶体是由⼤量电⼦与原⼦核组成的多粒⼦体系，若想得到严格的固体电⼦理论，需求解多粒⼦体系的薛定谔⽅程。

数学上求解的困难，使我们并不能严格求解，必须采⽤近似的⽅法，即单电⼦近似法。

利⽤这种⽅法求解出来的电⼦在晶体中的状态区别于⾃由电⼦在⽆限空间分布的准连续能级，也区别于孤⽴原⼦的分⽴能级，⽽是在⼀定能量范围内准连续分布能级所组成的能带，即能带理论。

它是在利⽤量⼦⼒学研究⾦属电导理论的过程中开始发展起来的，初步定性的阐明了晶体中电⼦的运动规律。

⽐如，说明晶体中电⼦的平均⾃由程为什么远⼤于原⼦的间距等，解决了经典理论所遇到的困难，并极⼤的推动了半导体技术的发展。

随着后来⼤型⾼速电⼦计算机的应⽤，使能带理论的研究从定性的普遍性规律发展到了对具体材料复杂能带结构的计算。

能带理论的假设
能带理论是⼀种单电⼦近似理论，即把每个电⼦的运动看做是在等效势场中的运动。

能带理论的出发点是固体中的电⼦不再束缚于个别的原⼦，⽽是在整个晶体中运动。

称为共有化电⼦。

我们在讨论共有化电⼦的时候，假定原⼦实处在平衡位置，即绝热近似；假定电⼦处于离⼦势场和其他电⼦的平均场中运动，即平均场近似；离⼦势场和其他电⼦的平均场是周期性势场，即周期场近似。

则晶体中所有的电⼦满⾜相同的薛定谔⽅程与周期性边界条件，使复杂的多电⼦体系
问题变成单电⼦问题，基于单电⼦的薛定谔⽅程，加⼊微扰的讨论，
我们可以近似的求解电⼦的能级与波函数。

基于以上想法，下⽂讨论
单电⼦近似模型与紧束缚模型。

近⾃由电⼦近似模型
近⾃由电⼦近似模型是能带理论中⼀个最简单的模型。

由于晶体
中的价电⼦近似⾃由，与原⼦核的相互作⽤很⼩，则周期场的起伏很
⼩可以看做微扰处理。

此模型的基本思想是：认为价电⼦在⼀个很弱
的周期场中运动，价电⼦的⾏为很接近于⾃由电⼦，但是⼜与⾃由电
⼦不同。

因此，我们可以把⾃由电⼦看成它的零级近似，将周期场的
影响看成⼩的微扰进⾏求解。

借助这个简单的模型，给出周期场中运
动电⼦本征态的⼀些基本特点。

通过对微扰的计算，我们可以得出⼀些重要的结论。

考虑⼀维晶
格周期场的影响：在零级近似中，电⼦可以被看成⾃由粒⼦，能量本
征值0
E作为k的函数具有抛物线的形式，考虑了周期场的影响之后，k
微扰的结果就是原来较⾼的能级更⾼了，原来更低的能级更低了。

所
隔称为带隙，在带隙中不存在间隔。

三维周期场的影响与⼀维影响类似：对于k取值不在倒格⼦⽮中
垂⾯或其附近的各相互作⽤状态之间零级能量差别很⼤，符合⾮简并
微扰条件；对于在倒格⼦⽮中垂⾯或其附近的各相互作⽤状态，采取
简并微扰，使()k E 函数在倒格⼦⽮中垂⾯处“断开”，发⽣突变。

三维与⼀维的⼀个重要区别是：不同能带在能量上不⼀定分隔开，发⽣能带之间的交叠。

紧束缚近似模型近⾃由电⼦近似模型中将电⼦处理为周期场中近⾃由运动的电⼦，是⼀种极端的模型，适⽤于⾦属中的价电⼦；紧束缚近似则为另⼀种极端模型。

它认为电⼦在⼀个原⼦附近时，主要受到该原⼦的作⽤，把其它原⼦的影响看做微扰，由此可得到电⼦的原⼦能级与晶体中能带的相互联系。

这实际上是把原⼦间相互影响看作简并微扰⽅法，微扰后的状态就是N 个简并态的线性组合，即⽤原⼦轨道的线性组合来构成晶体中电⼦共有化运动的轨道，因⽽也称为原⼦轨道线性组合法。

微扰的结果是：每⼀个k 相应于⼀个能量本征值（⼀个能级），对于准连续的N 个k 值，()k E 将形成⼀准连续的能带。

所以形成固体时原⼦态将形成⼀相应的能带。

⽤公式表⽰：
()s R ik R s i e R J J k E ?-=∑-
-=近邻s 0)(ε
由上述讨论可以知道，⼀个原⼦能级i ε对应⼀个能带，原⼦的各不同能级，在固体中形成⼀系列相应的能带，并且愈低的能带愈窄，愈⾼的能带愈宽。

这是由于能量低的带对应于内层的电⼦，它们电⼦轨道⼩，在不同原⼦间很少有相互重叠，所以能带窄；反之，能量较⾼的外层电⼦轨道，在不同原⼦间有较多的重叠，形成较宽的能带。

值得注意的是，对于内层电⼦，能带宽度较⼩，能级与能带之间有简
单的⼀⼀对应关系；对于外层电⼦，能带较宽，能级与能带之间的对应关系就⽐较复杂，可以看为由⼏个相近的原⼦态组合形成能带。

对于紧束缚近似下能级的计算，我们下⾯以⼆维正⽅晶格为例，讨论⼆维晶格中能级的特点。

若考虑在x 轴与y 轴最近邻原⼦之间的距离为a 。

且考虑到近邻原⼦，根据紧束缚近似下的能带公式可推导出s 态的能量表达式：
()()()a k J a k J J k E y x cos 2cos 21100---=ε
带底：;0,0==y x k k ()10024J J k E --=ε
能带宽度：()()1218J k E k E E =-=?
图⼀：只考虑最近邻原⼦影响的⼆维坐标图
图⼆：⼆维正⽅晶格能带图
能带理论解释导体、半导体、绝缘体
利⽤⾃由电⼦近似模型和紧束缚模型研究⾦属中电⼦运动状态都可以得出同⼀结论--能带。

前⽂中提到利⽤能带理论可区分导体和⾮导体。

固体中电⼦的基态按泡利不相容原理由低到⾼填充能量，若电⼦恰好填满最低的⼀系列能带，再⾼的各带全部为空的。

最⾼的满带称为价带，最低的空带称为导带，价带顶与导带底之间的能量范围称为带隙。

这种情况对应绝缘体与半导体。

带隙宽度⼤的（⽐如约10eV）为绝缘体，带隙宽度⼩的（⽐如约1eV）为半导体。

除去完全被电⼦充满的⼀系列能带外，还有只是部分被电⼦填充的能带，后者称为导带，对应导体的情况。