高考理科数学试卷(湖南卷)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数 学（理工农医类）
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页. 时量120分钟. 满分150分.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
（2014湖南）1. 满足
i
i z z
+=（i 为虚数单位）的复数z = 【 B 】
A. 11i 22+
B. 11i 22
- C. 11i 22-+ D. 11i 22--
【解析】由题意i 11
i i z =i i 122
z z +=⇔=--,选B
【考点定位】复数：复数四则运算.
（2014湖南）2. 对一个容量为N 的总体抽取容量为m 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ,则【 D 】 A. 123=p p p < B. 231=p p p < C. 132=p p p < D. 123==p p p 【解析】简单随机抽样、系统抽样和分层抽样都是等概率抽样, 123==p p p ,选D. 【考点定位】统计：随机抽样.
（2014湖南）3. 已知(),()f x g x 分别是定义R 在上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则(1)+(1)f g 【 C 】
A. 3-
B. 1-
C. 1
D. 3 【解析】由题意23()1,(),(1)(1)1f x x g x x f g =+=-+=,选C 【考点定位】函数：函数的奇偶性.
（2014湖南）4. 51
(2)2
x y -的展开式23x y 的系数是
【 A 】
A. 20-
B. 5-
C. 5
D. 20
【解析】通项()515
122k
k k
k T C x y -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则2k =时, ()2
32331102202T x y x y ⎛⎫
=⋅-=- ⎪⎝⎭
,选A.
【考点定位】二项式定理.
（2014湖南）5. 已知命题p ：若x y >，则x y -<-；命题q ：若x y >，则22x y >. 在命题
①p q ∧； ②p q ∨； ③()p q ∧⌝； ④()p q ⌝∨
中，真命题是 【 C 】
A. ①③
B. ①④
C. ②③
D. ②④ 【解析】命题p 为真命题,当命题q 为假命题,所以②③为真命题,故选C. 【考点定位】常用逻辑用语：逻辑联结词；不等式性质.
（2014湖南）6. 执行如图1所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，
则输出的S 属于 【 D 】
A. [6,2]--
B. [5,1]--
C. [4,5]-
D. [3,6]- 【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,
(]32,6S t =-∈-(]2
211,9t t =+∈,
当[]0,2t ∈时,[]33,1S t =-∈--,
t 输入0?
t <是1
图
结束
3
S t =-S 输出开始
221t t =+否
则(][][]2,63,13,6S ∈---=-,故选D.
【考点定位】算法：程序框图；二次函数.
（2014湖南）7. 一块石材的几何体三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成
球，则能得到的最大球的半径等于
【 B 】 A. 1 B. 2
C. 3
D. 4 【解析】由图可得该几何体为三棱柱, 所以最大球的半径为正视图直角三角 形内切圆的半径r ,
则86r r -+-2r ⇒=, 故选B. 【考点定位】立体几何：三视图；内切圆；球.
（2014湖南）8. 某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长
率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为
【 D 】 A.
2
p q
+ B.
(1)(1)1
2
p q ++-
C.
D. 1
【解析】设前两年的平均增长率为x ,
则有2(1)(1)(1)1
x p q x +=++⇒=【考点定位】函数应用题
（2014湖南）9. 已知函数()sin()f x x ϕ=-，且230
()0f x dx π=⎰
，则函数()f x 的图像的一
条对称轴是
【 A 】
A. 5π6
x =
B. 7π12
x =
C. 3
x π
=
D. 6
x π
=
【解析】法一：由23022()0cos cos =0cos cos 33f x dx π
ππϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫
=⇔--+⇔=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎰, 所以223k πϕϕπ=
-+或223k πϕϕπ⎛⎫
=--+ ⎪⎝⎭
，即3k πϕπ=+. 则56
x π=是其中一条对称轴.故选A.
法二：由定积分的几何性质与三角函数图象可知,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数()sin()f x x ϕ=-的一个
对称中心，所以sin()03
πϕ-=,所以3k π
ϕπ=+.故选A.
【考点定位】三角函数：三角函数图像与性质，定积分的几何意义.
（2014湖南）10. 已知函数21
()(0)2x f x x e x =+-<与2()ln()g x x x a =++的图像上存在关
于y 轴对称的点，则a 的取值范围是 【 B 】
A. (,)-∞
B. (-∞
C. (
D. ( 【解析】由题可得函数()f x 的图像上存在点020001
(,)(0)2
x P x x e x +-<关于y 轴对称的点
02001
(,)2
x Q x x e -+-在函数2()ln()g x x x a =++的图像上，
正视图 侧视图 俯视图
图2
x
y O
1
2从而有()02
20001ln()2
x x e x x a +-=-+-+,即001ln()02
x e x a --+-=. 问题等价于函数1
()ln()2
x h x e x a =--+-在(),0x ∈-∞存在零点, 法一：1
'()0x h x e x a
=+
>-+,()h x 在(),0x ∈-∞单调递增， 当x →-∞时，()h x →-∞，要使()h x 在(),0-∞存在零点，则1
(0)1ln 02
h a =-->， 从而a e <
法二：问题等价于函数1
()2
x
x e φ=-与()ln()x x a ϕ=-+
的图象在(),0-∞有交点,在同一坐标系中作出这两个函数的图象，当()ln()x x a ϕ=-+的图象在左右平移的过程中，
(0)(0)h ϕ>即可，即a e <，
【考点定位】函数：指、对数函数；方程.
二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分. （一）选做题：在11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按全两题记分.
（2014湖南）11. 在平面直角坐标系中，
倾斜角为4π
的直线l 与曲线2cos :1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩
（α为参数）交于,A B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐
标系，则直线l 的极坐标方程是 . 【答案】(cos sin )1ρθθ-= 【考点定位】极坐标与参数方程.
（2014湖南）12. 如图3，已知,AB AC 是O 的两条弦，,3,AO BC AB
⊥=， 22BC =则O 的半径等于 . 【答案】
32
【考点定位】几何证明选讲：垂径定理，相交弦定理，射影定理.
（2014湖南）
13. 若关于x 的不等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫
-<<⎨⎬⎩⎭
，则a = . 【答案】3-
【解析】由题可得51
23,2333
a a --=-=3a ⇒=-,故填3-.
【考点定位】不等式选讲：绝对值不等式的解法.
（二）必做题（14~16题）
（2014湖南）14. 若变量,x y 满足约束条件4y x x y y k ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，且2z x y =+的最小值为6-，则
k = . 【答案】2-
【解析】求出约束条件中三条直线的交点为()(),,4,k k k k -(),2,2,
且,4y x x y ≤+≤的可行域如图,
所以2k ≤,则当(),k k 为最优解时,362k k =-⇒=-,
O C
B 图3
O
y
x
k
当()4,k k -为最优解时,()24614k k k -+=-⇒=, 因为2k ≤,所以2k =-,故填2-. 【考点定位】线性规划
（2014湖南）15. 如图4，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为,()a b a b <O ，原点
O 为AD 的中点，抛物线经过,C F 两点，则b
a = .
【答案
】1+【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
, 则2222a pa
a b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪
⎪⎝⎭
⎩
22201a b ab a b ⇒--=⇒=【考点定位】抛物线
（2014
湖南）16. 在平面直角坐标系中，O 为原点， (1,0),(3,0)A B C -，动点D 满
足1CD
=，则OA OB OD ++的最大值是 .
【答案
】1【解析】动点D 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，可设D 的坐标为(3cos ,sin )θθ+，则(2cos sin )OA OB OD θθ++=+.(2OA OB OD ++=
)
3sin θ=
(87sin θ=+sin ϕϕ=
=
当()sin 1θϕ+=时，OA OB OD ++的取到最大值1【考点定位】平面向量，三角函数性质，参数方程，圆.
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （2014湖南）17.（本小题满分12分）
某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为
23和3
5
. 现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B . 设甲、乙两组的研发相互独立. （Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；
（Ⅱ）若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元. 求该企业可获利润的分布列和数学期望.
【解析】记{E =甲组研发新产品成功}，{F =乙组研发新产品成功}.由题设知
2132
(),(),(),()3355
P E P E P F P F ====
且E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立.
（Ⅰ）记{E =至少有一种新产品研发成功}
，则H EF =,于是
122
()()()3515
P H P E P F ==⋅=,
故所求的概率为
13()1()15
P H P H =-=
. （Ⅱ）设企业可获利润为X ，则X 的可能取值为0,100,120,220.因
122133
(0)(),(100)(),
35153515
224236
(120)(),(220)().
35153515
P X P EF P X P EF P X P EF P X P EF ===⋅====⋅====⋅====⋅=
数学期望为
2412()0
1201002201515
55E X =⨯
+⨯+⨯+⨯300480132014015
++==.
（2014湖南）18.（本小题满分12分）
如图5，平面四边形ABCD 中，12
AD CD AC ===，，（Ⅰ）求cos CAD ∠的值；
（Ⅱ）若cos BAD CBA ∠=∠=
BC 【解析】（Ⅰ）如图5，在ADC ∆中，由余弦定理，得
222
cos 2AC AD CD CAD AC AD +-∠=
⋅ 故由题设知，cos CAD ∠= （Ⅱ）如图5，设BAC ∠=，则BAD CAD =∠-∠,
因为cos CAD ∠=,cos BAD ∠=，
所以sin CAD ∠==sin BAD ∠= 于是()sin sin sin cos cos sin BAD CAD BAD CAD BAD CAD α=∠-∠=∠∠-∠∠=在ABC ∆中，由正弦定理，
sin sin BC AC
CBA
α=∠故 sin 3.sin AC BC CBA
α
⋅=
=
=∠ 【考点定位】三角函数：解三角形.
（2014湖南）19.（本小题满分12分）
如图6，四棱柱1111-ABCD A B C D 的所有棱长都相等，11111,,AC BD O AC B D O == 四
边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形. （Ⅰ）证明：1O O ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）若60,CAB ∠=︒，求二面角11C OB D --的余弦值.
【解析】（Ⅰ）如图（a ），因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥，同理1DC BD ⊥. 因为11//CC DD ，所以1CC BD ⊥，而AC BD O =，因此1CC ⊥平面ABCD , 由题设知11//O O C C ，故1O O ⊥平面ABCD .
（Ⅱ）解法1：如图（a ），过1O 作11O H B C ⊥于H ，连接1C H . 由（Ⅰ）知，1O O ⊥平面ABCD ，所以1O O ⊥平面1111A B C D
图5
于是111O O AC ⊥,又四棱柱1111-ABCD A B C D 的所有棱长都相等， 所以1111A B C D 是菱形，因此1111A C B D ⊥,从而11AC ⊥平面11B BDD 所以111AC OB ⊥,于是1OB ⊥平面11O HC ，进而11OB C H ⊥, 所以11O HC ∠为二面角11C OB D --的平面角,
不妨设2AB =,因为060CBA ∠=
，所以11,OB OC OB = 在11Rt OO B ∆
中，易知11111O O O H B O B O =⋅
=
,又111O C =.于是
1C H =
故1111cos O H O HC C H ∠=
===
即二面角11C OB D --
解法2：因为四棱柱1111-ABCD A B C D 的所有棱长都相等，所以ABCD 是菱形， 因此AC BD ⊥,又1O O ⊥平面ABCD ，从而1,,OB OC OO 两两垂直. 如图（b ）,以1,,OB OC OO 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，
建立空间直角坐标系O xyz -，不妨设2AB =, 因为0
60CBA ∠=
，所以 1.OB OC =
于是相关各点的坐标为11(0,0,0),(0,1,2)O B C 易知，1(0,1,0)=n 是平面平面11B BDD 的一个法向量. 设2(,,)x y z =n 是平面11OB C 的一个法向量，
则212100
OB OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n
，即2020z y z +=+=⎪⎩
取z =
2,x y ==
，所以2=n . 设二面角11C OB D --的大小为，易知是锐角，于是
121212
cos cos ,θ⋅=<>=
⋅n n n n n n 二面角11C OB D --
【考点定位】立体几何：线面垂直，二面角.
（2014湖南）20.（本小题满分13分）
已知数列{}n a 满足111,,*.n
n n a a a p n N +=-=∈
（Ⅰ）若数列{}n a 是递增数列，且123,2,3a a a 成等差数列，求p 的值；
（Ⅱ）若1
2
p =
，且{}2+1n a 是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式. 【解析】（Ⅰ）因为数列{}n a 是递增数列，11.n
n n n n a a a a p ++-=-=而11a =，因此
2231,1,a p a p p =+=++
又123,2,3a a a 成等差数列，所以21343a a a =+，因而得2
30p p -=.解得
1
,0.3
p p ==
图a 1
A O
C B D
1
C 1
B 1
D A 1
O H
1
当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾，故13
p =. （Ⅱ）{}2+1n a 是递增数列，因而2+1210n n a a -->，于是
()()2+122210n n n n a a a a --+-> ①
但
221
1122n n -<，所以 2+12221n n n n a a a a --<- ②
由①，②知，2210n n a a -->，因此
()221
221211122n
n n n n a a ----⎛⎫
-== ⎪⎝⎭
③
因为{}2n a 是递减数列，同理可得2120n n a a +-<，故
()21
221221122n n
n n n a a ++-⎛⎫
-=-=
⎪⎝⎭
④
由③，④知，()1
11.2
n n n n
a a ++--==
于是
121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+
+-
()()()1
1
21111111
1
41211122
2
2
332
12
n n n
n
n
n -+---
--=+-+
+
=+
=+⋅+. 数列{}n a 的通项公式为()1141332
n
n n a --=+⋅. 【考点定位】数列：等差数列，等比数列，递推数列.
（2014湖南）21.（本小题满分13分）
如图7，O 为坐标原点，椭圆22
1221(0)x y C a b a b
+=>>：的左右焦点分别为12,F F ，离心率
为1e ；双曲线22
2221(0)x y C a b a b -=>>：的左右焦点分别为34,F F ，离心率为2e ，已知
1232e e =，且2431F F =-. （Ⅰ）求12C C ，的方程； （Ⅱ）1F 过作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为 AB 的中点，当直线OM 与2C 交于,P Q 两 点时，求四边形APBQ 面积的最小值. 【解析】（Ⅰ）因为1232e e =所以22223112
b b a a -+=即44
34a b -=，因此
222,a b =从而24(,0),(3,0)F b F b ，于是24331b b F F -==-，所以1b =，
2
2a =故椭圆1C 方程为22
12x y +=,双曲线2C 的方程为2212
x y -=. （Ⅱ）因为直线AB 不垂直于y 轴且过点()11,0F -，故课设直线AB 的方程为1x my =-.
A O x y
B 1F 2
F P Q
3F 4
F M
由22
112
x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得 ()2
22210m
y my +--=
易知此方程的判别式大于0.设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,y y 是上述方程的两个实根，所以
1212
2221
,22
m y y y y m m -+=
⋅=++ 因此()12122422x x m y y m -+=+-=+，AB 的中点为222
,22m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭
，故 直线PQ 的斜率为2m -，PQ 的方程为2
m
y x =-，即20mx y +=.
由2221
2
m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得()
22
24m x -=，所以222222
420,,,22m m x y m m ->==--从而
PQ =设点A 到直线PQ 的距离为d ，则B 点到直线PQ 的距离也为d ，所以
2d =
因为点,A B 在直线20mx y +=的异侧，所以)1122220mx y mx y +++<，于是
112211222222mx y mx y mx y mx y +++=+--,
从而
2
1222m y y d +-
又因为
12y y -=
2d =
四边形APBQ 面积
122S PQ d =⋅=而2022m <-<，故当0m =时，S 取得最小值2. 四边形APBQ 面积的最小值为2.
【考点定位】解析几何：椭圆，双曲线，直线与圆锥曲线位置关系.
（2014湖南）22.（本小题满分13分）
已知常数0a >，函数2()ln(1)2
x
f x ax x =+-
+. （Ⅰ）讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；
（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点12,x x ，且12()()0f x f x +>，求a 的取值范围.
【解析】（Ⅰ）()()24
'12a f x ax x =-++()()()()
2
2
24112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x +-=++,（*）
因为()()2
120ax x ++>,所以当10a -≤时,
当1a ≥时,()'0f x ≥,此时，函数()f x 在()0,+∞单调递增,
当01a <<时, ()1211'02
,2a a
f x x x a a
--=⇒==-（舍去）， 当1(0,)x x ∈时，()'0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，()'0f x <.
故()f x 在区间1(0,)x 单调递减,在1(,)x +∞单调递增的. 综上所述
当1a ≥时,()'0f x ≥,此时，函数()f x 在()0,+∞单调递增,
当01a <<时, ()f x 在区间10,2a a ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减,在12a a ⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭
上单调递增的. （Ⅱ）由（*）式知，当1a ≥时，()'0f x ≥函数()f x 不存在极值点，因而要使得()
f x 有两个极值点，必有01a <<，又()f x 的极值点只可能是112a x a -=212a
x a
-=-，
且由()f x 的定义可知，1
x a >-且2x ≠-，所以112
a a a ---，122a
a
--≠-，解得1
2
a ≠-，此时，（*）式知1x ,2x 分别是()f x 的极小值点和极大值点，而
12
12121222()()ln(1)ln(1)22
x x f x f x ax ax x x +=+-++-++
()()()12122
1212121244ln 1224
x x x x a x x a x x x x x x ++⎡⎤=+++-
⎣⎦+++
()()()2
2
412
ln 21ln 21221
21
a a a a a -=--
=-+
--- 令21a x -=，由01a <<且
12a ≠-
知
当102a <<时,10;x -<< 当112a <<时,0 1.x <<记22
()ln 2g x x x
=+-
（ⅰ）当10x -<<时，()2
()2ln 2g x x x
=-+-，所以 22
2222
'()x g x x x x
-=-= 因此，()g x 在()1,0-上单调递减，从而()(1)40g x g <-=-<，
故当1
02
a <<
时，12()()0f x f x +<
（ⅱ）当01x <<时，2
()2ln 2g x x x
=+-，所以 22
2222
'()x g x x x x
-=-= 因此，()g x 在()0,1上单调递减，从而()(1)0g x g >=，
故当
1
12
a <<时，12()()0f x f x +> 综上所述，满足条件的a 的取值范围是为1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
.
【考点定位】函数与导数：应用导数研究函数单调性与极值，不等式.。