河北省定州中学高三数学上学期期末考试试题

河北定州中学2016-2017学年第一学期高三数学期末考试试题
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
（1）已知全集{}
{}2
,|20,,1,0,1,2U z A x x x x Z B ==--<∈=-，则图中阴影部分所表示的集
合等于（ ）
A ．{}12-，
B ．{}1-，0
C ．{}0，1
D ．{}12， （2）复数z 满足21i
z i
-=
-，则z 对应的点位于复平面的（ ） A ．第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ．第四象限
（3）已知()f x 满足对()(),0x R f x f x ∀∈-+=，且0x ≥时，()x f x e m =+（m 为常数），则
()ln5f -的值为（ ）
A ．4
B ．-4
C ．6
D ．-6
（4）如图，在空间四边形()
,,C,D ABCD A B 不共面中，一个平面与边,,,AB BC CD DA 分别交于
,,,E F G H （不含端点），则下列结论错误的是（ ）
A ．若::AE BE CF BF =，则//AC 平面EFGH
B ．若,,,E F G H 分别为各边中点，则四边形EFGH 为平行四边形
C ．若,,,E F G H 分别为各边中点且AC B
D =，则四边形EFGH 为矩形
D ．若,,,
E
F
G
H 分别为各边中点且AC BD ⊥，则四边形EFGH 为矩形 （5）等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，97
19,297
S S a =--=，则10S =（ ） A ． 0 B ． -9 C ． 10 D ．-10
（6）设,a b R ∈，则“()20a b a -≥”是“a b ≥”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ． 必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 （7）．如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的表面积是（ ）
A
．(8π+ B
．(9π+ C
．(10π+ D
．(8π+
（8）已知,x y 满足约束条件11493
x y x y x y ≥⎧⎪≥-⎪
⎨+≤⎪⎪+≤⎩，目标函数z mx y =+，若z 的最大值为()f m ，则当
[]2,4m ∈时，()f m 的最大值和最小值之和是（ ）
A ．4
B ．10
C ．13
D ．14
（9）在边长为1的正ABC ∆中，,D E 是边BC 的两个三等分点（D 靠近于点B ），则AD AE 等于（ ） A ．
16 B ．29 C ．1318
D ．1
3 （10）已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的图象关于直线32
x π
=
对称且032f π⎛⎫
-
= ⎪⎝⎭
，如果存在实数0x ，使得对任意的x 都有()()008f x f x f x π⎛
⎫
≤≤+ ⎪⎝
⎭
，则ω的最小值是（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．12
（11）
已知边长为ABCD 中，0
60A ∠=，现沿对角线BD 折起，使得二面角A BD C
--
为120°，此时点,,,A B C D 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π
（12）已知方程ln 1x kx =+在()
3
0,e 上有三个不等实根，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．320,
e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．3232,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．3221,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3221,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ．
（13）命题“000,sin cos 2x R a x x ∃∈+≥”为假命题，则实数a 的取值范围是____________． （14
）已知cos 6πθ⎛⎫-=
⎪⎝⎭
cos 3πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________． （15）已知正实数,b a 满足4a b +=，则
11
13
a b +++的最小值为___________． （16）已知函数()()02x f x f e x '=-+，点P 为曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线l 上的一点，点Q 在曲线x y e =上，则PQ 的最小值为____________． 三、解答题 :解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分10分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有3
24
n n a S =+成立． （1）记2log n n b a =，求数列{}n b 的通项公式； （2）设1
1
n n n c b b +=
，求数列{}n c 的前n 项和n T ． （18）（本小题满分12分）
已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 1sin sin sin sin B C
A C A B
+=++．
（1）求角A ；
（2
）若a =b c +的取值范围． （19）（本小题满分12分）
在如图所示的三棱锥111ABC A B C -中，,D E 分别是11,BC A B 的中点．
（1）求证：//DE 平面11ACC A ；
（2）若ABC ∆为正三角形，且1,AB AA M =为
AB 上的一点，1
4
AM AB =，求直线DE 与直线1A M 所成角的正切值．
（20）（本小题满分12分） 已知函数(),0x f x e ax a =->．
（1）记()f x 的极小值为()g a ，求()g a 的最大值； （2）若对任意实数x 恒有()0f x ≥，求()f a 的取值范围． （21）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，ABC ∆为正三角形，,,,AB AD AC CD PA AC PA ⊥⊥=⊥平面
ABCD ．
（1）若E 为棱PC 的中点，求证PD ⊥平面ABE ； （2）若3AB =，求点B 到平面PCD 的距离． （22）（本小题满分12分） 已知()sin cos f x x x ax =--． （1）若()f x 在,22ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上单调，求实数a 的取值范围； （2）证明：当2
a π
=
时，()1f x ≥-在[]0,x π∈上恒成立．
参考答案
一、选择题
二、填空题
13. ( 14． 13± 15．1
2
16三、解答题
17．解：（1）在3
24
n n a S =
+中令1n =得18a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 因为对任意正整数n ，都有324n n a S =+成立，所以113
24
n n a S ++=+，
两式相减得113
4
n n n a a a ++-=，所以14n n a a +=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
又10a ≠，所以数列{}n a 为等比数列，所以121842n n n a -+==，所以212log 221n n b n +==+．．．．．5分 （2）()()1
111212322123n c n n n n ⎛⎫
==- ⎪++++⎝⎭
，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 所以
()111111
11112355721232323323n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+
+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
⎣⎦．．．．．．．．．．．10分
又23B C π+=，所以218sin 8sin 8sin sin 32b c B B B B B π⎛⎫⎛⎫
+=+-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
31
8sin cos cos 22226B B B B B π⎛⎫⎫⎛
⎫=+=+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭
，．．．．．．．．．．．．9分
因为203B π<<
，所以5666B πππ<+<，所以1sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝
⎭，所以
6B π⎛
⎫<+≤ ⎪⎝
⎭
即b c +的取值范围是(
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
19．解：（1）
取AB 的中点F ，连接,DF EF ．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 在ABC ∆中，因为,D F 分别为,BC AB 的中点，
所以//,DF AC DF ⊄平面11,ACC A AC ⊂平面11ACC A ， 所以//DF 平面11ACC A ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 在矩形11ABB A 中，因为,F E 分别为11,A B AB 的中点，
所以1//,EF AA EF ⊄平面 111,ACC A AA ⊂平面11ACC A ，所以
//EF 平面11ACC A ．．．．．．．．．．4分 因为DF
EF F =，所以平面//DEF 平面11ACC A ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
因为DE ⊂平面DEF ，所以//DE 平面11ACC A ．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以平面ABC ⊥平面11ABB A ，
连接CF ，因为ABC ∆为正三角形，F 为AB 中点，所以CF AB ⊥，所以CF ⊥平面11ABB A ， 取BF 的中点G ，连接,DG EG ，可得//DG CF ，故DG ⊥平面11ABB A ， 又因为1
4
AM AB =
，所以1//EG A M ， 所以DEG ∠即为直线DE 与直线1A M 所成角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
设4AB =，在Rt DEG ∆中，1
2
DG CF EG =
===
所以tan DEG ∠=
=
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解：（1）函数()f x 的定义域是(),-∞+∞，()x f x e a '=-， 令()0f x '>，得ln x a >，所以()f x 的单调递增区间是()ln ,a +∞；
令()0f x '<，得ln x a <，所以()f x 的单调递减区间是(),ln a -∞，函数()f x 在ln x a =处取极小值，
()()()ln ln ln ln a g a f x f a e a a a a a ===-=-极小值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
()()11ln ln g a a a '=-+=-，当01a <<时，()()0,g a g a '>在()0,1上单调递增；
当1a >时，()()0,g a g a '<在()1,+∞上单调递减，
所以1a =是函数()g a 在()0,+∞上唯一的极大值点，也是最大值点，所以()()max 11g a g ==．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）当0x ≤时，0,0x a e ax >-≥恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
当0x >时，()0f x ≥，即0x
e ax -≥，即x e a x
≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
令()()()()22
1,0,,x
x x x e x e e x e h x x h x x x x --'=∈+∞==， 当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，故()h x 的最小值为()1h e =， 所以a e ≤，故实数a 的取值范围是(]0,e ．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
()(]2,0,a f a e e a e =-∈，()2a f a e a '=-，由上面可知20a e a -≥恒成立，
故()f a 在(]0,e 上单调递增，所以()()()2
01e
f f a f e e e =<≤=-，
即()f a 的取值范围是(
2
1,e e e ⎤-⎦．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21．解：（1）因为PA ⊥平面,ABCD CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥， ∵,AC CD PA
AC A ⊥=，所以CD ⊥平面PAC ，而AE ⊂平面PAC ，∴CD AE ⊥．．．．．2
分
∵,AC PA E =是PC 的中点，∴AE PC ⊥，又PC
CD C =，所以AE ⊥平面PCD ，
而PD ⊂平面PCD ，∴AE PD ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ∵PA ⊥底面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ，又AB AD ⊥， 由面面垂直的性质定理可得BA ⊥平面,PAD AB PD ⊥，又∵AB
AE A =，∴PD ⊥平面
ABE ．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AC ⊥，所以PC = 由（1）的证明知，CD ⊥平面PAC ，所以CD PC ⊥，
因为,AB AD ABC ⊥∆为正三角形，所以0
30CAD ∠=，因为AC CD ⊥，所以
0tan30CD AC ==．．．．．．．．．．．．．．．．7分
设点B 的平面PCD 的距离为d ，则1132B PCD V d -=
⨯⨯=．
．．．．．8分
在BCD ∆中，0
150BCD ∠=，所以011133222BCD S ∆=
⨯=⨯=．．．．9分
所以133P BCD V -=
=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
因为B PCD P BCD V V --==d =
即点B 到平面PCD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
22．解：（1）()cos sin 4f x x x a x a π⎛
⎫'=+-=
+- ⎪⎝
⎭．
．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1分 若()f x 在,22ππ⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦上单调递增，则当,22x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，()0f x '≥恒成立，
当,22x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时，3,,sin 444424x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡+∈-+∈-+∈-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 此时1a ≤-；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
若()f x 在,22ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，同理可得a ≥．
．．．．．．．．．．．．．．．5分
所以a 的取值范围是(])
,12,⎡-∞-+∞⎣
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）2
a π
=
时，()()2
2sin cos ,4f x x x x f x x πππ⎛
⎫'=--
=+- ⎪⎝⎭
．
．．．．．．．．．．．7分 当[]0,x π∈时，()f x '在0,
4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减， ()()2
2
010,10f f x π
π
''=-
>=--
<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
∴存在0,4x ππ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，使得在[)00,x 上()0f x '>，在(]0,x π上()0f x '<， 所以函数()f x 在[)00,x 上单调递增，在(]0,x π上单调递减．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 故在[]0,π上，()()(){}min min 0,1f x f f
π==-，所以()1f x ≥-在[]0,x π∈上恒成
立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。