高中数学 阶段质量检测(三)概率 苏教版必修3

阶段质量检测（三） 概 率
(时间120分钟 满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)
1．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
③在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品；
④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于100.
其中__________是必然事件；__________是不可能事件；__________是随机事件．(填序号)
答案：④ ② ①③
2．设A ，B 是两个事件，给出以下结论：
①若P (A )＋P (B )＝1，则A ，B 一定是对立事件．
②“若P (A )＝0.3，则P (B )＝0.7”，则A ，B 一定是对立事件．
③P (A ＋B )>P (A )．
④事件A 与B 互斥，则有P (A )＝1－P (B )．
其中正确命题的序号是________．
答案：②
3．口袋内有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是________．
解析：由于摸出红球、白球和黑球事件互斥．
∴摸出黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3.
答案：0.3
4．已知函数y ＝x n m ，其中m ，n 是取自集合{1,2,3}的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为________．
解析：∵y ＝x n m
，m ，n ∈{1,2,3}，
∴若函数为偶函数，则n ＝2.
∴该函数为偶函数的概率为13
. 答案：13
5．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是________．
解析：记4听合格饮料为A 1，A 2，A 3，A 4,2听不合格饮料为B 1，B 2；
基本事件为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，A 4}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{B 1，B 2}，共15件．
至少有一听不合格饮料为{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{B 1，B 2}共9个基本事件，至少有一听不合格饮料的概率为
915＝35. 答案：35
6．抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，则P (A ＋B )＝________.
解析：P ＝12＋16＝23
. 答案：23
7．如果在一个5×104 km 2的海域里有表面积达40 km 2
的大陆架贮藏着石油，假如在这海域里随意选定一点钻探，问钻到石油的概率是________．
解析：P ＝4050×104＝8×10－4＝0.08%. 答案：0.08%
8．从一箱苹果中任取一个，如果其重量小于200 g 的概率为0.2，重量在[200,300]内的概率为0.5，那么重量超过300 g 的概率为________．
解析：记重量小于200 g 为事件A ，重量在[200,300]内记为事件B ，则所求概率P ＝1－P (A ＋B )＝1－P (A )－P (B )＝0.3.
答案：0.3
9．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为________．
解析：基本事件{2.5,2.6}，{2.5,2.7}，{2.5,2.8}，{2.5,02.9}，{2.6,2.7}，{2.6,2.8}，{2.6,2.9}，{2.7,2.8}，{2.7,2.9}，{2.8,2.9}，共10个，其中长度恰好相差0.3 m 的
{2.5,2.8}，{2.6,2.9}共2个．∴P ＝210＝15
. 答案：15
10．已知正三棱锥S ­ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P ­ABC <12V S ­ABC 的概率是________．
解析：由V P ­ABC <12V S ­ABC 知，P 点在三棱锥S ­ABC 的中截面A 0B 0C 0的下方，P ＝1－VS ­A 0B 0C 0V S ­ABC
＝1－18＝78
. 答案：78
11．已知函数f (x )＝6x －4(x ＝1,2,3,4,5,6)的值域为集合A ，函数g (x )＝2
x －1(x ＝
1,2,3,4,5,6)的值域为集合B ，任取x ∈A ∪B ，则x ∈A ∩B 的概率是________．
解析：A ＝{2,8,14,20,26,32}；B ＝{1,2,4,8,16,32}，A ∪B ＝{1,2,4,8,14,16,20,26,32}共9个元素． A ∩B ＝{2,8,32}共3个元素．
∴P ＝39＝13
. 答案：13
12．在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3.如果向该矩形内随机投一点P ，那么使得△ABP 与△CDP 的面积都不小于1的概率为________．
解析：设P 点到AB 的距离为x ，
则S △ABP ＝12
×2×x ＝x ， S △CDP ＝12
×2×(3－x )＝3－x ，
要使它们面积都不小于1，则1≤x ≤2，
所以所求概率为13
. 答案：13
13．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m ，n 为点P (m ，n )的坐标，那么点P 在圆x 2＋y 2＝17内部的概率是________．
解析：点P (m ，n )的坐标的所有可能为6×6＝36种，而点P 在圆x 2＋y 2＝17内部只有
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8种，故概率为29
. 答案：29
14．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________．
解析：如图所示，圆周上使AM 的长度等于1的点M 有两个，设为M 1，M 2，
则过A 的圆弧M 1AM 2的长度为2，B 点落在优弧M 1AM 2上就能使劣弧AB 的长度
小于1，所以劣弧AB 的长度小于1的概率为23
.
答案：23
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)某地医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：
(1)(2)求派出医生至少2人的概率．
解：设事件A ＝{不派医生}，事件B ＝{派出1名医生}，事件C ＝{派出2名医生}，事件D ＝{派出3名医生}，事件E ＝{派出4名医生}，事件F ＝{派出5名及5名以上医生}．
(1)∵事件A ，B ，C ，D ，E ，F 彼此互斥，且P (A )＝0.1，P (B )＝0.26，P (C )＝0.1， ∴P (A ＋B ＋C )＝0.1＋0.26＋0.1＝0.46.
故派出医生至多2人的概率为0.46.
(2)设G ＝{派出医生至少2人}，
则G ＝{派出医生最多1人}，∴G ＝A ∪B .
∴P (G )＝P (A )＋P (B )＝0.36.
∴P (G )＝1－0.36＝0.64.
故派出医生至少2人的概率为0.64.
16．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝－x 2
＋ax －b .
(1)若a ，b 都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求f (x )有零点的概率；
(2)若a ，b 都是从区间[0,4]上任取的一个数，求f (1)＞0的概率．
解：(1)a ，b 都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，则基本事件的总数为5×5＝
25.f (x )有零点的条件为Δ＝a 2－4b ≥0.即a 2≥4b ；而事件“a 2≥4b ”包含12个基本事件：(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所
以f (x )有零点的概率P 1＝1225
.
(2)a ，b 都是从区间[0,4]上任取的一个数，f (1)＝－1＋a －b ＞0，即a －b
＞1，由右图可知f (1)＞0的概率P 2＝12×3×34×4＝932
. 17．(本小题满分14分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A 1，A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球a 1，a 2和2个白球b 1，b 2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．
(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；
(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．
解：(1)所有可能的摸出结果是
{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 1，b 1}，{A 1，b 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，{A 2，b 1}，{A 2，b 2}，{B ，a 1}，{B ，a 2}，{B ，b 1}，{B ，b 2}．
(2)不正确．理由如下：
由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A 1，a 1}，
{A 1，a 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，共4种，所以中奖的概率为412＝13，不中奖的概率为1－13＝23
＞13
，故这种说法不正确． 18．(本小题满分16分)口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1,2,3,4,5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲胜，否则算乙胜．
(1)求甲胜且编号的和为6的事件发生的概率；
(2)这种游戏规则公平吗？试说明理由．
解：(1)设“甲胜且两数字之和为6”为事件A ，事件A 包含的基本事件为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)共5个．
又甲、乙二人取出的数字共有5×5＝25(个)等可能的结果，所以P (A )＝525＝15
. (2)这种游戏规则不公平．
设“甲胜”为事件B ，“乙胜”为事件C ，则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数有13个：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)．
所以甲胜的概率P (B )＝1325
， 从而乙胜的概率P (C )＝1－1325＝1225
， 由于P (B )≠P (C )，所以这种游戏规则不公平．
19．(本小题满分16分)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车
主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．
解：(1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得
P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000
＝0.12. 由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔为4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100辆，而赔付金额为 4 000元的车辆中，车主为新司机的有
0.2×120＝24辆，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100
＝0.24，由频率估计概率得P (C )＝0.24.
20．(本小题满分16分)一个袋中装有大小相同的5个球，现将这5个球分别编号为1,2,3,4,5.
(1)从袋中取出两个球，每次只取出一个球，并且取出的球不放回，求取出的两个球上编号之积为奇数的概率；
(2)若在袋中再放入其他5个相同的球，测量球的弹性，经检测，这10个球的弹性得分如下：8.7,9.1,8.3,9.6,9.4,8.7,9.7,9.3,9.2,8.0，把这10个球的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
解：(1)设“取出的两个球上编号之积为奇数”为事件B ，Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，…，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)…}，共包含20个基本事件；其中B ＝{(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,5)，(5,1)，(5,3)}，包含6个基本事件，
则P (B )＝620＝310
. (2)样本平均数为x ＝
110
(8.7＋9.1＋8.3＋9.6＋9.4＋8.7＋9.7＋9.3＋9.2＋8.0)＝9，
设B 表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则
包含{8.7,9.1,9.4,8.7,9.3,9.2}6个基本事件，所以P (B )＝610＝35.。