云南省昆明市2019届高三高考模拟(第四次统测)文科数学试卷含详解

昆明市2019届高考模拟考试
文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.
1.己知集合，，则中元素的个数为（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
判断集合元素的属性特征，可以知道集合都是点集，所以就是求直线的交点，这样就可以确定中元素的个数.
【详解】因为集合，，所以
，所以中元素的个数为1，故本题选B.
【点睛】本题考查了集合的交集运算.解决此类问题的关键是对集合元素属性特征的认识.
2.在复平面内，复数对应的点位于（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限. 【答案】D
【解析】
【分析】
应用复数除法的运算法则，简化复数，最后确定复数对应的点的位置.
【详解】,复数对应的点为，它在第四象限，故本题选D. 【点睛】本题考查通过复数的除法运算法则，化简后判断复数对应的点的位置.
3.已知等差数列的前项和为，，则（）
A. 0
B. 2
C. 3
D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
因为是等差数列，根据，可以求出，利用等差数列的性质可以求出 3.
【详解】因为是等差数列，所以,故本题选C. 【点睛】本题考查了等差数列前项和公式和等差数列的性质.考查了运算能力.
4.“”是“”的（）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
判断充分条件还是必要条件，就看由题设能否推出结论，和结论能否推出题设，本着这个原则，显然能推出，但是不一定能推出，有可能，所以可以判断“”是“”的充分不必要条件.
【详解】因为由，由推不出，有可能，
所以“”是“”的充分不必要条件，故本题选A.
【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判定，解题的关键是理解掌握它们定义，对于本题正确求解不等式也很关键.
5.已知双曲线的一个焦点坐标为渐近线方程为，则的方程是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
通过双曲线的一个焦点坐标为可以求出，渐近线方程为，可以得到，结合，可以求出的值，最后求出双曲线的方程.
【详解】因为双曲线的一个焦点坐标为所以，又因为双曲线的渐近线方程为，所以有，而，所以解得
，因此双曲线方程为，故本题选B.
【点睛】本题考查了求双曲线的标准方程，考查了解方程、运算能力.
6.己知直线平面，直线平面，若
，则下列结论正确的是（ ）
A.
或
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】 【分析】 根据已知直线平面，
，可以证明出
不成立，这样就可以选出正确答案，也可以这样考
虑；当直线
平面时，直线可以在平面内，所以选项C 不正确，
的
位置关系不确定，故选
项B,D 也不正确，用排除法，可以选出正确答案. 【详解】当直线平面，
时，假设
,过在平面内作
，根据面面垂直的性质定理
可知：
，这样过一点有两条直线
与平面垂直，这与过一点有且只有一条直线与已知平面
垂直相矛盾，故假设不成立，所以
或
，故本题选A,也可以这样思考：当直线
平面时，直线可以在平面内，所以选项C 不正确，的位置关系不确定，故选项B,D 也不正确，可以选
出正确答案.
【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系、面面垂直的性质定理、线面平行的性质等. 7.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增
D. 在区间
上单调递减
【答案】A 【解析】 【分析】 函数
的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数的解析式为：
，单调递增区间：
，
单调递减区间：
，由此可见，当
时，函数在
上单调递增，故本题选A.
【详解】本题考查了正弦型函数图象的平移变换以及求正弦型函数的单调区间.
8.函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出导函数大于零、小于零的区间，这样原函数的单调性的情况也就知道，对照选项，选出正确的答案.
【详解】如下图所示：
当时，单调递增；当时，单调递减，所以整个函数从左到右，先增后减，再增最后减，选项A中的图象符合，故本题选A.
【点睛】本题考查了利用导函数的正负性研究原函数的单调性.本题容易受导函数的增减性干扰.
9.黄金矩形是宽与长的比值为黄金分割比的矩形，如图所示，把黄金矩形分割成一个正方形和一个黄金矩形，再把矩形分割出正方形.在矩形内任取一点，则该点取自正方形内的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设矩形的长，宽分别为,所以，把黄金矩形分割成一个正方形和一个黄金矩形,所以，设矩形的面积为,正方形的面积为,设在矩形内任取一点，则该点取自正方形内的概率是,则，故本题选C.
【详解】本题考查了几何概型，考查了运算能力.
10.己知椭圆直线过焦点且倾斜角为，以椭圆的长轴为直径的圆截所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】直线的方程为，以椭圆的长轴为直径的圆截所得的弦为,，设，垂足为，则，在中，
，故本题选D.
【点睛】本题考查了椭圆的离心率的求法.考查了圆弦长公式，考查了运算能力.
11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若此几何体的各个顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
通过三视图，还原为立体几何图形，然后补成长方体中，利用长方体的对角线的长求出外接球的半径，进而求出球的表面积.
【详解】通过三视图可知，该几何体是直三棱柱，其中底面是直角三角形，把它补成长方体如下图所示：连接,设外接球的半径为，
所以有,
球的表面积为,故本题选B.
【点睛】本题考查了通过三视图，识别空间几何体，并求这个空间几何体外接球的表面积，考查了空间想象能力、运算能力.
12.己知奇函数的导函数为，当时，若
，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
通过给出的不等式，可以联想导数的运算法则，再结合问题所给的形式，构造新函数，这样可以知道当时，函数的单调性，再判断函数的奇偶性，另一方面，利用奇函数的性质可以化简，这样可以得到与新函数的有关的不等式，利用的单调性、奇偶性可以求出实数的取值范围.
【详解】设所以当时，是增函数，因为是奇函数，所以有，
因此有，所以是偶函数，
而，
可以化为，是偶函数，所以有
，当时，是增函数，所以有，故本题选D.
【点睛】本题考查通过构造函数解不等式问题.考查了奇偶函数的性质.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若，满足约束条件则的最小值为___________
【答案】-2
【解析】
【分析】
在平面直角坐标中，画出可行解域，设，平移直线，找到截距最小的位置，求出的最小值.
【详解】在平面直角坐标中，画出可行解域，如下图所示：
设，平移直线，当直线经过时，有最小值为.
【点睛】本题考查了求线性目标函数的最小值，考查了数形结合思想、运算能力.
14.在边长为6的等边三角形中,，则__________
【答案】24
【解析】
【分析】
以为一组基底，用这组基底表示,最后用数量积公式求得24.
【详解】
【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算、平面向量基本定理、向量的加法几何意义，本题易错的地方是误把看成的夹角.
15.能说明“己知，若对任意的恒成立，则在上，
”为假命题的一个函数__________（填出一个函数即可）
【答案】.
【解析】
【分析】
可以根据这个不等式入手，令，当时，而，显然是假命题，当然这样的函数有好多，比如
，等等.
【详解】因为，所以令，当时，而，所以是假命题，当然，也可以.
【点睛】本题考查了两个函数大小恒成立问题的判断，本题如果改成逆命题，就成立，也就是若对任意的有成立，那么当时，恒成立.
16.己知数列满足，则__________
【答案】
【解析】
【分析】
由递推公式得，又能得到，再求出几项，这样可以猜想数列的通项公式，再由数学归纳法证明.
【详解】由，可得，
且，两式作差得，
，
猜想，现用数学归纳法证明：
当时，显然成立；
假设当时成立，即
当时，，即时，也成立，
综上.
【点睛】本题考查了数列的递推公式、数学归纳法.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17--2I题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17.在中，为边上一点，，，，.
(1)求；
(2)求的面积.
【答案】（1）（2）3
【解析】
【分析】
（1）直接运用余弦定理，求出，进而求出的大小；
（2）通过（1）可以判断出的形状，根据，可以求出的面积. 【详解】（1）已知，，，
在中，由余弦定理得，
又因为，所以.
（2）因为，所以，
因，所以为等腰直角三角形，可得，
所以.
18.如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，，是的点.
(1)证明：；
(2)若，求到平面的距离.
【答案】(1)见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）取的中点为，证明平面，即可证明；
（2）计算三棱锥的体积，利用，可以求出到平面的距离.
【详解】（1）证明：取的中点为，连结，，
在等边三角形中，有，
由是的中点，是的中位线，
所以，
因为，所以，
又，所以平面，
因为平面，
所以.
（2）因为平面平面，平面平面，，
所以平面，
在等腰直角中，，，
所以，，
因为是的中点，所以，
又因为，
在中，，
在中，，，故.
设到平面的距离为，因为，
所以，即，
所以到平面的距离为.
【点睛】本题考查了通过线面垂直证明线线垂直、利用三棱锥的体积公式求点到面的距离.
19.设抛物线的焦点为，是上的点.
(1)求的方程：
(2)若直线与交于,两点，且，求的值.
【答案】（1）（2）.
【解析】
【分析】
（1）直接把代入抛物线方程中，求出；
（2）直线方程与抛物线方程联立，利用根与系数关系，化简，最后利用
，求出的值.
【详解】（1）因为是上的点，
所以，
因为，解得，
抛物线的方程为.
（2）设，，
由得，
则，，
由抛物线的定义知，，，
则，
，
，
解得.
【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了一元二次方程根与系数关系，考查了运算能力.
20.改革开放以来，我国农村7亿多贫困人口摆脱贫困，贫困发生率由1978年的97.5%下降到201 8年底的1.4%，创造了人类减贫史上的中国奇迹，为全球减贫事业贡献了中国智慧和中国方案.“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例.201 2年至201 8年我国贫困发生率的数据如下表：
年份() 2012 2013 2014 2015 201 6 201 7 201 8
贫困发生率 (%) 10.2 8.5 7.2 5.7 4.5 3.1 1.4
（1）从表中所给的7个贫困发生率数据中任选两个，求两个都低于5%的概率；
（2）设年份代码，利用回归方程，分析2012年至2018年贫困发生率的变化情况，并预测2019年的贫困发生率.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式为：，
【答案】（1）（2）0.1%.
【解析】
【分析】
（1）设2012年至2015年贫困发生率分别为，，，，均大于5%
设2016年至2018年贫困发生率分别为，，，均小于5%，列出从2012年至2018年贫困发生率的7个数据中任选两个，可能的情况，最后利用古典概型公式，求出概率;
（2）根据题意列出年份代码与贫困发生率之间的关系，分别计算求出的值，代入公式，求出，的值，求出回归直线方程，并通过回归直线方程预测2019年底我国贫困发生率.
【详解】（1）设2012年至2015年贫困发生率分别为，，，，均大于5%
设2016年至2018年贫困发生率分别为，，，均小于5%
从2012年至2018年贫困发生率的7个数据中任选两个，可能的情况如下：
、、、、、、
、、、、、
、、、、
、、、
、、
共有21种情况，
两个都低于5%的情况：、、，共3种情况
所以，两个都低于5%的概率为.
（2）由题意可得：
由上表可算得：，，
，
，
所以，，
，
所以，线性回归方程为，
由以上方程：，所以在2012年至2018年贫困发生率在逐年下降，平均每年下降1.425%；当时，，
所以，可预测2019年底我国贫困发生率0.1%.
21.已知函数，.
（1）当时，讨论函数的零点个数.
（2）的最小值为，求的最小值.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）求函数的导数，利用导数判断函数的单调性和极值，从而得到零点的个数；（2），求导得，可以判断存在零点，可以求出函数的最小值为，可以证明出：
，，可证明在上有零点，的最小值为，结合，可求的最小值为.
【详解】（1）的定义域为，.
①当时，，单调递增，又，，
所以函数有唯一零点；
②当时，恒成立，所以函数无零点；
③当时，令，得.
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以.
当时，，所以函数无零点.
综上所述，当时函数无零点.当，函数有一个零点.
（2）由题意得，，则，令，则，
所以在上为增函数，即在上为增函数.
又，，所以在上存在唯一零点，
且，，即.
当时，，在上为减函数，当时，，在上为增函数，的最小值.
因为，所以，所以.
由得，易知在上为增函数.
因为，所以，，所以在
上存在唯一零点，且，，当时，
，在上为减函数，当时，，在
上为增函数，所以的最小值为，
因为，所以，所以，
又，所以，
又函数在上为增函数，所以，
因为，所以，即在上的最小值为0.
【点睛】本题考查利用函数的导函数研究函数单调性和零点问题，也考查了不等式恒成立问题. 22.在平面直角坐标系中，曲线参数方程为（为参数），将曲线按伸缩变换公式变换得到曲线
(1)求的普通方程；
(2)直线过点，倾斜角为，若直线与曲线交于，两点，为的中点，求的面积.
【答案】（1）（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用，进行消参，然后根据伸缩变换公式，可以得到曲线；
（2）求出直线的参数方程，与的普通方程联立，利用参数的几何意义求出，利用面积公式求出的面积.
【详解】（1）依题意，的参数方程为（为参数），
所以的普通方程为.
（2）因为直线过点，倾斜角为，
所以
的参数方程为（为参数），设、对应的参数分别为，，则对应的参数为，联立，化简得，所以，即，所以. 【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、曲线的伸缩变换，以及利用直线参数方程参数的意义
求弦长问题.
23.已知函数
(1)在平面直角坐标系中作出的图象，并写出不等式的解集M.
(2)设函数，，若，求的取值范围.
【答案】（1）函数图象如下图：
不等式的解集；
（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用零点法化简函数的解析式，在直角坐标系内，画出函数图象，分类讨论解不等式；（2）根据（1）对时，进行分类讨论：
当时，,根据取值的不同范围，利用一次函数的单调性，求出的取值范围；
当时，,根据取值的不同范围，利用一次函数的单调性，求出
的取值范围，最后确定的取值范围.
【详解】（1），画出图象，如下图所示：
当时，；
当时，
当时，，所以
不等式的解集.
（2）当时，
当时，，显然成立；
当时，要想，只需即可，也就是
；
当时，要想，只需，所以当时，当，的取值范围；
当时，，
当时，显然不成立；
当时，要想，只需不存在这样的；
当时，要想，只需，
所以当时，当，的取值范围是，
综上所述的取值范围.
【点睛】本题考查了画含绝对值的函数图象，考查含绝对值的不等式的解法，考查了恒成立问题.考查了分类讨论思想.当然本题，可以采用数形结合思想，进行思考，解题如下：
（1）
通过图象可以看到，当时，；
（2）
，，可以求出
,通过图象可知：当时，在恒成立.。