2021年山西省百校联盟中考数学模拟试卷(附答案详解)

2021年山西省百校联盟中考数学模拟试卷1.−9的相反数是()
A. −9
B. −1
9C. 9 D. 1
9
2.下列运算中，正确的是()
A. x5÷x2=x3
B. (a3)4=a7
C. 3x−x=2
D. (x+2)2=x2+4
3.如图所示的是一个由5个棱长为1的小正方体搭成的几何体，现
将最上方的正方体移走，则关于新几何体的三视图描述正确的是
()
A. 左视图的面积是3
B. 主视图的面积是4
C. 俯视图的面积是5
D. 左视图的面积最小
4.经过全党全国各族人民共同努力，在迎来中国共产党成立一百周年的重要时刻，我
国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，数据9899万用科学记数法表示为a×10n，则n的值为()
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
5.如图1所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已
知直线EF与BD相交于点P，AB//CD，∠P=15°，∠CFP=100°，则∠ABP的大小为()
A. 95°
B. 90°
C. 85°
D. 80°
6.中欧地理标志协定2021年3月1日起生效，山西老陈醋榜上有名，意味着中国和
欧盟的更多特色优质名品将进入彼此市场，不仅将更好地保护中欧企业权益，也会让双方消费者买得放心，某商场购进A，B两种山西老陈醋，A种老陈醋每壶12元，
B种老陈醋每壶10元，该商场买了A种老陈醋7壶和B种老陈醋若干壶，预算为205元，那么商场最多可以购进B种老陈醋()
A. 12壶
B. 10壶
C. 14壶
D. 16壶
7.如图所示的是小慧设计的一个美丽的图案，该图案是由两个圆心相同，
半径分别为9cm和3cm的圆构成的，那么该图案中阴影部分的面积
为()
A. 72π
B. 60π
C. 48
D. 36π
8.若k是整数，且关于x的一元二次方程(k−1)x2−2x+3=0有实数根，则k的最
大值为()
A. 1
B. 0
C. −1
D. −2
9.已知直线y=−x+6与双曲线y=m
相交于点A及B(5,n)，连
x
接AO，BO，并延长AO交双曲线于点C，连接BC，则△BOC
的面积为()
A. 10
B. 11
C. 12
D. 14
10.如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，以点B为圆心任意长为
半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，
MN的长为半径画弧，两弧交于点O，连接BO，并延长交AC 大于1
2
于点D，若AB=2，则CD的长为()
A. √5−1
B. 3−√5
C. √5+1
D. 3+√5
11.化简分式x2+3x
的结果为______ ．
9−x2
12.如图所示的是一组有规律的图案，它们是由大小相同的“×”图案组成的，依此规
律，第n个图案中有______ 个“×”图案(用含n的代数式表示)．
13.牛年到了，小明将自己收集到的12张有关“牛”的邮票放在一个不透明的暗箱中，
其中面值为120分的邮票有2张，面值为100分的邮票有6张，剩下的为面值150分的，这些邮票除正面图案不同外，其余均相同.现从中随机地从暗箱中抽取一张，恰好抽到面值为150分邮票的概率是______ ．
14.目前，做核酸检测是排查新冠肺炎确诊病例的有效手段，对于部分人来说，做核酸
检测是有必要的，下表是某市一院与二院在2月3日至2月9日做核酸的人数表：一院(单位：百人)71088977
二院(单位：百人)89776910
设一院做核酸人数的方差为s12，二院做核酸人数的方差为s22，则s12______ s22(填“>”或“=”或“<”)．
15.如图，在△ABC中，∠ABC=120°，AB=12，点D在
边AC上，点E在边BC上，sin∠ADE=4
5
，ED=5，如
果△ECD的面积是6，那么BC的长是______ ．
16.(1)计算：(−2021)0+(−1)2021+(−1
3
)−1−|−2|．
(2)解不等式组：{x−5>1①
2−2x≤3②
．
17.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，求证：DE=DF.某同
学的证明过程如下：
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠A=∠C，AD=DC(根据1)，在△ADE和△CDF中，AD=DC，∠A=∠C，∠AED=∠CFD=90°，
∴△ADE≌△CDF(根据2)，
∴DE=DF．
(1)以上证明过程中的根据1是指______ ，根据2是指______ ．
(2)请你写出该题的另外一种证法．
18.疫苗是防控疫情的重要手段，是国际抗疫合作的重要内容.中国将新冠疫苗作为全
球公共产品，并加入了世界卫生组织新冠肺炎疫苗实施计划，这既是为国际社会战胜疫情作出贡献，也是在践行人类命运共同体理念.某制药厂计划生产2万份国产疫苗，生产2天后，该制药厂提高了生产速度，每天生产的疫苗数是原来的1.5倍，结果比原计划提前2天完成，那么原计划每天生产疫苗多少份？
19.国家统计局调查统计了各大城市(包括直辖市、省会城市、计划单列市和普通地级
市)的居民年平均可支配收入，根据数据制作了2020年我国人均收入最高的十大城市的条形统计图如图所示，根据统计图提供的信息解答下列问题：
(1)图中十大城市居民年平均可支配收入的中位数是______ 万元．
(2)若将十大城市居民年平均可支配收入制成扇形统计图，求北京所在的扇形区域
的圆心角的度数(结果精确到0.1°)．
(3)小明将十大城市居民年平均可支配收入的前三位城市上海、北京、深圳制成三
张卡片，如图所示，这三张卡片除正面不同外，其余均相同.现将这三张卡片放在一个暗箱里搅匀，从中抽取一张，记下城市名后，放回搅匀，再从中抽取一张，求两次所抽取的卡片上的城市名都不是深圳的概率．
20.2020年11月10日，由我国自主研制的万米级全海深载人潜水器“奋斗者”号在马
里亚纳海沟成功坐底，下潜深度达到10909米，刷新我国载人深潜新记录.某天该深潜器在海面下2000米A处作业(如图)，测得海底沉船C的俯角为45°，该深潜器在
同一深度向正前方直线航行3000米到B点，此时测得海底沉船C的俯角为60°.沉船C是否在“奋斗者”号的深潜范围内？并说明理由.(√2≈1.414,√3≈1.732)
21.阅读下列材料，完成后面相应的任务：
费马(Ferrmat,1601年8月17日−1665年1月12日)，生于法国南部图卢兹
(Toulouse)附近的波蒙⋅德⋅罗曼，被誉为业余数学家之王.1643年，费马曾提出了一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置.另一位数学家托里拆利成功地解决了这个问题：如图1，△ABC(三个内角均小于120°)的三条边的张角都等于120°，即满足∠APB=
∠BPC=∠APC=120°的点P，就是到点A，B，C的距离之和最小的点，后来人们把这个点P称为“费马点”．
下面是“费马点”的证明过程：如图2，将△APB绕着点B逆时针旋转60°得到△
A′P′B，使得A′P′落在△ABC外，则△A′AB为等边三角形，∴P′B=PB=PP′，于是PA+PB+PC=P′A′+PP′+PC≥A′C，…．
任务：(1)材料中，判定△A′AB为等边三角形的依据是______ ．
(2)请你完成剩余的部分．
(3)如图，△ABC为锐角三角形，以AC为一边作等边△ACD，⊙O是△ACD的外接
圆，连接BD交⊙O于点M，求证：M是△ABC的费马点．
22.综合与实践
问题情境
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动，下面是“团结”小组的折纸过程：
动手操作
步骤一：将正方形纸片ABCD(边长为4cm)对折，使得点A与点D重合，折痕为EF，再将纸片ABCD展开，得到图1．
步骤二：将图1中的纸片ABCD的右上角沿着CE折叠，使点D落到点G的位置，连接EG，CG，得到图2．
步骤三：在图2的基础上，延长EG与边AB交于点H，得到图3．
问题解决
(1)在图3中，连接HC，则∠ECH的度数为______ ，HB
AH
的值为______ (不必说明理由)．
(2)爱动脑筋的“勤奋”小组，在图3的基础上延长CG与边AB交于点M，如图4，
试猜想AM与BM之间的数量关系，并说明理由．
(3)“创新”小组受“勤奋”小组的启发，将图4中的正方形ABCD纸片过点G折
叠，使点A落在边AD上，然后再将正方形纸片ABCD展开，折痕PQ分别与边AD，BC交于点P，Q，求AP的长．
23.综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=−x2+2x+3
与x轴交于点A，C(点A在点C的右边)，与y轴交于点B，
直线y=kx+b经过点A，B．
(1)求A，B，C三点的坐标及直线AB的函数解析式．
(2)P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作PQ//x轴交直线AB于点Q，设
点P的横坐标为m(m<0)，PQ的长为L．
①求L与m的函数关系式，并写出m的取值范围；
②若PQ与BO交于点D，DQ
OA =1
3
，求m的值．
(3)设抛物线的顶点为M，问在y轴上是否存在一点N，使得△NAM为直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【知识点】相反数
【解析】
【分析】
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】
解：−9的相反数是9，
故选C．
2.【答案】A
【知识点】同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项、完全平方公式
【解析】解：A.根据同底数幂的除法法则，x5÷x2=x3，故该选项正确，符合题意；
B.根据幂的乘方，(a3)4=a12，故该选项错误，不符合题意；
C.根据合并同类项法则，3x−x=2x，故该选项错误，不符合题意；
D.根据完全平方公式，(x+2)2=x2+4x+4，故该选项错误，不符合题意．
故选：A．
根据同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，完全平方公式分别计算各选项即可．本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，完全平方公式，牢记这些法则是解题的关键．
3.【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】解：将最上方的正方体移走后的组合体的三视图如下：
故选：D．
画出这个组合体的三视图，再逐项判断即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．
4.【答案】C
【知识点】科学记数法-绝对值较大的数
【解析】解：9899万=98990000=9.899×107．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5.【答案】C
【知识点】三角形的外角性质、平行线的性质
【解析】解：∵AB//CD，∠CFP=100°，
∴∠AEP=∠CFP=100°，
∵∠AEP=∠ABP+∠P，∠P=15°，
∴∠ABP=∠AEP−∠P=100°−15°=85°，
故选：C．
由平行线的性质得到∠AEP=100°，再由三角形外角定理即可求解．
此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，同位角相等是解题的关键．
6.【答案】A
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】解：设商场可以购进B种老陈醋x壶，依题意有
12×7+10x≤205，
解得x≤12.1，
∵x为整数，
∴x最大可以取12．
故商场最多可以购进B种老陈醋12壶．
故选：A．
可设商场可以购进B种老陈醋x壶，根据不等关系：该商场买了A种老陈醋7壶和B种老陈醋若干壶，预算为205元，列出不等式计算即可求解．
本题考查了一元一次不等式的应用，列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．
7.【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】解：∵S大圆=π⋅92=81π，S小圆=π⋅32=9π，
(81π−9π)=36π．
∴阴影部分的面积为1
2
故选：D．
阴影部分的面积是两个圆面积的差的一半．
本题主要考查了圆的面积公式，明确阴影部分的面积是两个圆面积的差的一半是解答本题的关键．
8.【答案】B
【知识点】一元二次方程的概念、根的判别式
【解析】解：根据题意得k−1≠0且△=(−2)2−4(k−1)×3≥0，
且k≠1，
解得k≤4
3
∴整数k的最大值为0．
故选：B．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k−1≠0且△=(−2)2−4(k−1)×3≥0，然后求出k的范围，从而得到整数k的最大值．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．
9.【答案】C
【知识点】一次函数与反比例函数综合
【解析】解：∵直线y =−x +6与双曲线y =m
x 相交于点A 及B(5,n)， ∴n =−5+6=1，m =5×1=5， ∴点B 坐标为(5,1)， 方程组{y =5
x
y =−x +6
的解为
{x 1=5y 1=1；{x 2=1y 2=5， ∴点A 坐标为(1,5)， 由正比例函数与反比例函数的对称性可知， A 、C 关于原点中心对称， ∴点C 坐标为(−1,−5)，
设直线BC 的函数关系式为y =kx +b ， {5k +b =1−k +b =−5， 解得k =1，b =−4，
∴直线BC 的函数关系式为y =x −4， 当y =0时，x =4， ∴OD =4，
作△OBD 的高BE ，作△OCD 的高CF ，
S △BOC =S △OBD +S △OCD =1
2
×4×1+1
2
×4×5=12．
故选：C ．
解：由直线y =−x +6与双曲线y =m
x 相交于点A 及B(5,n)，求出n =−5+6=1，m =5×1=5，得点B 坐标为(5,1)，根据方程组{y =
5
x y =−x +6的解为{x 1=5y 1=1；{x 2=1y 2=5，得
点A 坐标为(1,5)，
由正比例函数与反比例函数的对称性可知，求点C 坐标为(−1,−5)，由B 、C 两点坐标求出直线BC 的函数关系式为y =x −4，当y =0时，x =4，得OD =4，作△OBD 的高BE ，作△OCD 的高CF ，S △BOC =S △OBD +S △OCD =1
2×4×1+1
2×4×5=12． 本题考查了一次函数和反比例函数解析式的求法，交点坐标，三角形面积的求法，解题
关键是求出该三角形各顶点坐标．
10.【答案】B
【知识点】角平分线的性质、尺规作图与一般作图、黄金分割、等边三角形的性质、等腰三角形的性质
【解析】解：∵∠A=36°，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠C=1
2
(180°−36°)=72°，
由题意得：BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=1
2
∠ABC=36°，
∴∠ABD=∠A，∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，
∴AD=BD=BC，△BCD∽△ABC，
∴BC
AB =CD
BC
，∴AD
AC
=CD
AD
，
∴点D是AC的黄金分割点，AD>CD，∴AD=√5−1
2
AC=√5−1，
∴CD=AC−AD=3−√5，
故选：B．
证AD=BD=BC，再证△BCD∽△ABC，得BC
AB =CD
BC
，则AD
AC
=CD
AD
，则点D是AC的黄金
分割点，求出AD的长，即可求解．
本题考查了黄金分割、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
11.【答案】x
3−x
【知识点】约分
【解析】解：x 2+3x
9−x2=x(x+3)
(3−x)(3+x)
=x
3−x
．
故答案为：x
3−x
．
直接将分子与分母分解因式，进而利用分式的性质化简得出答案．此题主要考查了约分，正确化简分式是解题关键．
12.【答案】(5n+1)
【知识点】列代数式、图形规律问题
【解析】解：第1个图形有5×1+1=6个×；
第2个图形有5×2+1=11个×；
第3个图形有5×3+1=16个×；
⋅⋅⋅
第n个图形有(5n+1)个×；
故答案为：(5n+1)．
仔细观察图形，找到图形变化的规律：第n个图形有(5n+1)个×，从而确定答案．本题主要考查图形的变化规律，理解题意得出规律的变化是解题的关键．
13.【答案】1
3
【知识点】概率公式
【解析】解：∵面值为120分的邮票有2张，面值为100分的邮票有6张，剩下的为面值150分的，
∴分值为150分的有12−2−6=4张，
∴从中随机地从暗箱中抽取一张，恰好抽到面值为150分邮票的概率是4
12=1
3
，
故答案为：1
3
．
用分值为150分的邮票张数除以总数即可求得答案．
本题考查了概率公式．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】<
【知识点】方差
【解析】解：∵一院做核酸人数的平均数为7×3+8×2+9+10
7
=8，二院做核酸人数的平均数
为6+7×2+8+9×2+10
7
=8，
∴一院做核酸人数的方差为s12=1
7
×[(7−8)2×3+(8−8)2×2+(9−8)2+(10−
8)2]=8
7
，
二院做核酸人数的方差为s22=1
7
×[(6−8)2+(7−8)2×2+(8−8)2+2×(9−8)2+
(10−8)2]=12
7
，
∴s12<s22，
故答案为：<．
先根据平均数的定义求出一院、二院人数的平均数，再由方差的定义计算出两组数据的方差，从而得出答案．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数和方差的定义．
15.【答案】9√3−6
【知识点】三角形的面积、解直角三角形
【解析】解：如图，过点E作EF⊥BC于F，过点A作AH⊥CB交CB的延长线于H．
∵∠ABC=120°，
∴∠ABH=180°−∠ABC=60°，
∵AB=12，∠H=90°，
∴BH=AB⋅cos60°=6，AH=AB⋅sin60°=6√3，
∵EF⊥DF，DE=5，
∴sin∠ADE=EF
DE =4
5
，
∴EF=4，
∴DF=√DE2−EF2=√52−42=3，∵S△CDE=6，
∴1
2
⋅CD⋅EF=6，
∴CD=3，
∴CF=CD+DF=6，
∵tanC=EF
CF =AH
CH
，
∴4
6=6√3
CH
，
∴CH=9√3，
∴BC=CH−BH=9√3−6．
故答案为：9√3−6．
如图，过点E作EF⊥BC于F，过点A作AH⊥CB交CB的延长线于H.解直角三角形求出BH，CH即可解决问题．
本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
16.【答案】解：(1)原式=1−1−3−2=−5；
(2)解不等式①，得：x>6，
，
解不等式②，得：x≥−1
2
则不等式组的解集为x>6．
【知识点】负整数指数幂、零指数幂、实数的运算、一元一次不等式组的解法
【解析】(1)先计算零指数幂、负整数指数幂、计算乘方和绝对值，再计算加减即可；
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】菱形的对角相等，菱形的四条边都相等AAS
【知识点】菱形的性质、全等三角形的判定与性质
【解析】解：(1)以上证明过程中的根据1是指菱形的对角相等，菱形的四条边都相等，根据2是值AAS，
故答案为：菱形的对角相等，菱形的四条边都相等，AAS；
(2)证明：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠EBD=∠FBD，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEB=∠DFB=90°，
在△DEB和△DFB中
{∠DEB=∠DFB ∠DBE=∠DBF BD=BD
，
∴△DEB≌△DFB(AAS)，
∴DE=DF．
(1)根据菱形的性质得出∠A=∠C，AD=DC，根据全等三角形的判定定理推出△ADE≌△CDF，再根据全等三角形的性质得出即可；
(2)根据菱形的性质得出∠EBD=∠FBD，求出∠DEB=∠DFB=90°，根据全等三角形的判定定理得出△DEB≌△DFB，根据全等三角形的性质得出答案即可．
本题考查了菱形的性质和全等三角形的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：菱形的对角相等，菱形的四条边都相等，菱形的每一条对角线都平分一组对角．
18.【答案】解：设原计划每天生产疫苗x份，则提高生产速度后每天生产疫苗1.5x份，
依题意得：20000−2x
x −20000−2x
1.5x
=2，
解得：x=2500，
经检验，x=2500是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天生产疫苗2500份．
【知识点】分式方程的应用
【解析】设原计划每天生产疫苗x份，则提高生产速度后每天生产疫苗1.5x份，根据时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前2天完成，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．19.【答案】6.225
【知识点】加权平均数、扇形统计图、近似数、中位数、条形统计图、用列举法求概率(列表法与树状图法)
【解析】解：(1)将这10个城市居民年平均可支配收入重新排列如下：
5.81、5.76、
6.00、6.06、6.19、6.26、6.33、6.49、6.94、
7.22，
∴图中十大城市居民年平均可支配收入的中位数是6.19+6.26
2
=6.225(万元)，
故答案为：6.225；
(2)北京所在的扇形区域的圆心角的度数为360°×
6.94
=39.6°；
5.81+5.76+
6.00+6.06+6.19+6.26+6.33+6.49+6.94+
7.22
(3)将上海、北京、深圳制成的三张卡片分别记为A、B、C，
根据题意列表如下：
A B C
A AA BA CA
B AB BB CB
C AC BC CC
共有9种等可能的结果数，其中抽出的两张卡片中不含有C卡片的有4种情况，
∴两次所抽取的卡片上的城市名都不是深圳的概率为4
．
9
(1)将这10个城市居民年平均可支配收入重新排列，再根据中位数的定义求解即可；
(2)用360°乘以北京的收入占10个城市总收入的比例即可；
(3)将上海、北京、深圳制成的三张卡片分别记为A、B、C，列表得出所有等可能结果，从中找出抽出的两张卡片中不含有C卡片的有4种情况，再根据概率公式求解即可．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．
20.【答案】解：如图，过点C作CD垂直AB延长线于点D，
设CD=x米，
在Rt△ACD中，
∵∠DAC=45°，
∴AD=x，
在Rt△BCD中，
∵∠CBD=60°，
∴BD=√3
x，
3
∴AB=AD−BD=x−√3
x=3000，
3
解得：x≈7098，
∴船C距离海平面为7098+2000=9098米<10909米，
∴沉船C在“奋斗者”号深潜范围内．
【知识点】方向角、解直角三角形的应用
【解析】过点C作CD垂直AB延长线于点D，设CD为x米，在Rt△ACD和Rt△BCD 中，分别表示出AD和BD的长度，然后根据AB=3000米，求出x的值，求出点C距离海面的距离，判断是否在极限范围内．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度一般．
21.【答案】顶角为60°等腰三角形是等边三角形
【知识点】圆的综合
【解析】解：(1)由题知判定依据的是顶角为60°等腰三角形是等边三角形；
(2)补充如下：
∴当A′，P′，P，C四点在同一直线上时PA+PB+PC有最小值为A′C的长度，
∵P′B=PB，∠P′BP=60°，
∴△P′BP为等边三角形，
则当A′，P′，P，C四点在同一直线上时，
∠BPC=180°−∠P′PB=180°−60°=120°，
∠APB=∠A′PB=180°−∠BP′P=180°−60°=120°，
∠APC=360°−∠BPC−∠APC=360°−120°−120°=120°，
∴满足∠APB=∠BPC=∠APC=120°的
点P，就是到点A，B，C的距离之和最
小的点；
(3)如右图，连接MA，MC，
∵DM为直径，
∴∠MAD=∠MCD=90°，
∵△ACD为等边三角形，
∴AD=AC，
又∵MD=MD，
∴Rt△AMD≌Rt△CMD(HL)，
∴∠ADM=∠CDM，
∵∠ADM+∠CDM=∠ADC=60°，
∴∠ADM+∠CDM=1
∠ADC=30°，
2
∴∠AMB=∠DAM+∠MDA=90°+30°=120°，∠BMC=∠DCM+∠MDC=90°+ 30°=120°，
∴∠AMC=360°−∠AMB−∠BMC=360°−120°−120°=120°，
即点M是△ABC的“费马点”．
(1)判定依据是顶角为60°等腰三角形是等边三角形；
(2)根据题中条件可知当A′P′PC四点共线时PA+PB+PC有最小值为A′C的长度，求出此时∠APB=∠BPC=∠APC=120°即可；
(3)先根据MD是直径和△ACD为等边三角形证直角三角形MCD和直角三角形MAD全
∠ADC=30°，再根据外角定义计算出∠AMB=∠BMC=等，得出∠ADM+∠CDM=1
2
∠AMC=120°即可．
本题主要考查“费马点”的证明过程，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．
22.【答案】45°1
2
【知识点】四边形综合
【解析】解：(1)如图3中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=AB=BD，∠B=∠D=∠BCD=∠A=90°
由翻折的性质可知，∠D=∠CGE=90°，CD=CG，EG=ED，∠ECD=∠ECG，
∴CB=CG，
∵∠B=∠CGE=90°，CH=CH，
∴Rt△CHG≌Rt△CHB(HL)，
∴HB=HG，∠HCG=∠HCB，
(∠DCG+∠BCG)=45°，
∴∠ECH=∠ECG+∠GCH=1
2
∵正方形纸片ABCD 的边长为4.则AE =DE =EG =2．
设BH =x ，则EH =EG +GH =2+x ，AH =4−x ，
在Rt △AEH 中，根据勾股定理得AM 2+AP 2=MP 2．
∴(2)2+(4−x)2=(2+x)2，
解得x =43， ∴BH =43，AH =83，
∴
HB AH =12
故答案为：12．
(2)结论：AM BM =13．
理由：如图4中，连接QM ，D′M ．
由折叠知，ED =EG ，AE =ED ，
∴EA =EG ，
∵EM =EM ，∠A =∠EGM =90°
∴Rt △EMA≌Rt △EMG(HL)，
∴AM =MG ，
设AM =MG =y ，
则MH =AH −AM =8
3−y ．
在Rt △MGH 中，根据勾股定理得MG 2+GH 2=MH 2．
∵BH =GH =43，
∴y 2+(43)2=(83−y)2，
解得y =1
∴AM =1，BM =3，
∴AM BM =13．
(3)如图5中，
∵PG//AH ，
∴AP AE =GH EH ，即
AP 2=4343+2， 解得AP =45．
(1)由翻折的性质可知，∠D =∠CGE =90°，CD =CG ，EG =ED ，∠ECD =∠ECG ，推出CB =CG ，证明Rt △CHG≌Rt △CHB(HL)，推出HB =HG ，∠HCG =∠HCB ，推出∠ECH =∠ECG +∠GCH =12
(∠DCG +∠BCG)=45°，设BH =x ，则EH =EG +GH =2+x ，AH =4−x ，利用勾股定理构建方程求出x 即可．
(2)结论：AM BM =13.证明Rt △EMA≌Rt △EMG(HL)，推出AM =MG ，设AM =MG =y ，则MH =AH −AM =83−y.在Rt △MGH 中，根据勾股定理得MG 2+GH 2=MH 2，由此构建方程求出y ，即可解决问题．
(3)由PG//AH ，推出AP AE =GH EH ，可得结论．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，翻转变换的性质全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及方程思想是解题的关键．
23.
【答案】解：(1)对于y =−x 2+2x +3，令y =−x 2+2x +3=0，解得x =3或−1，令x =0，则y =3，
故点A 、B 、C 的坐标分别为(3,0)、(0,3)、(−1,0)；
设直线AB 的表达式为y =kx +b ，则{0=3k +b b =3，解得{k =−1b =3
， 故直线AB 的表达式为y =−x +3；
(2)①设点P 的坐标为(m,−m 2+2m +3)，
当y =−m 2+2m +3时，则−m 2+2m +3=−x +3，解得x =m 2−2m ， 即点Q 的坐标为(−m 2+2m,−m 2+2m +3)，
则L =x Q −x P =m 2−2m −m =m 2−3m(−1<m <0)；
②∵PQ//AO ，
则△BDQ∽△BOA，则BD
BO =DQ
OA
=1
3
，
即3−(−m2+2m+3)
3=1
3
，解得m=1±√2(舍去正值)，
故m=1−√2；
(3)设点N的坐标为(0,n)，
由抛物线的表达式知，点M(1,4)，而点A(3,0)，
由点A、M、N的坐标知，AM2=(3−1)2+(4−0)2=20，
同理可得，MN2=1+(4−n)2，AN2=9+n2，
当AM是斜边时，则1+(4−n)2+9+n2=20，解得n=1或3；
当AN是斜边时，则1+(4−n)2+20=9+n2，解得n=7
2
；
故点N的坐标为(0,1)或(0,3)或(0,7
2
).
【知识点】二次函数综合
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)①设点P的坐标为(m,−m2+2m+3)，求出点Q的坐标为(−m2+2m,−m2+2m+
3)，则L=x Q−x P=m2−2m−m=m2−3m(−1<m<0)；
②PQ//AO，则△BDQ∽△BOA，则BD
BO =DQ
OA
=1
3
，进而求解；
(3)分AM是斜边、AN是斜边两种情况，勾股定理即可求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、勾股定理的运用、三角形相似等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．。