孙子定理与大衍求一术

结语
中国古代数学家对一次同余论的研究有明显的独创性和 继承性， “大衍求一术” 在世界数学史上的崇高地位是毋容置 疑的，正因为这样，在西方数学史著作中，求解一次同余式 组的剩余定理一直被公正地称为 “中国剩余定理” 。而 《孙子 算经》 首次提到了同余式组问题，因此在中文数学文献中也 将中国剩余定理称为孙子定理。
秦九韶
秦九韶(1208年－1261年)，字道古，汉族，普州安岳(今 四川安岳)人。南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并 称宋元数学四大家。他在政务之余，对数学进行潜心钻研， 并广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行分 析、研究。秦九韶在为母亲守孝(1244年－1247年)期间，把 长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，于公元1247年写 成了举世闻名的数学巨著 《数书九章》 ， 并创造了求解一次同 余式组的 “大衍求一术” 。
秦九韶
当rn 1(n 为偶数)时，有 d n A cn g ( 1) n 1 rn 1， 从而cn g 1(mod A). 因此，cn qn cn 1 cn 2 即为所求的 k 值。 无论如何，最后一步都出现余数 1，整个计算到此终止，因此 秦九韶将其方法叫做 “求一术” (至于 “大衍” 的意思，秦九韶 本人在 《数书九章》 序中把它和 《周易》 “大衍之数” 相附会)。 对于秦九韶系统的理论，周密的考虑，即使以今天的眼光来 看也很不简单，充分显示了他高超的数学水平和计算技巧。
《 孙 子算 经》
孙子算法的关键，在于这三个数的确定。后来流传的 《孙 子歌》 中所说 “七十稀” 、 “廿一枝” 和 “正半月” ，就是暗指这 三个关键的数字。 《孙子算经》 没有说明这三个数的来历。实 际上，它们具有如下特性：这三个数可以从最小公倍数 M 3 5 7 105 中各约去模数 3，， 5 7 后，再分别乘以整数 2，，而得到。假如 11 令k1 2， k 2 1， k3 1，则整数 ki (i 1，， 2 3) 的选取使所得到的 三数 70， 21， 15 被相应模数相除的时候余数都是 1。由此出发， 立即可以推出，在余数是R1 ， R2 ， R3的情况下的孙子算法。
秦九韶
秦九韶在 《数书九章》 中明确地系统地叙述了求解一次同 余式组的一般计算步骤，他的方法称为大衍总数术，正是前 述的剩余定理。他将诸ki叫作乘率，诸Ai叫作定数，M A j j 1 M 叫作衍母， 叫作衍数，而方法的核心是大衍求一术，即求 Ai M 乘率 ki 的方法。为叙述方便，我们将 记为G，将Ai 记为A， Ai ki 记为k ，求一术变成在G ， A互素的情况下求满足 kG 1(mod A) 的k 值。如果G A，秦九韶首先令A除G，求得余数g A， 则G g (mod A)， 从而kg 1(mod A)与kG 1(mod A) 等价。
《 孙 子算 经》
应用上述推理，可以完全类似地把孙子算法推广到一般 情形：设有一数N，分别被两两互素的正整数 A1 ， A2 ， ， An 相 除得余数R1 ， R2 ， ， Rn，即 N Ri (mod Ai )，i 1，， n 2 ，， M 若求出一组正整数 ki (i 1，， n)，使其满足ki 2 ， 1(mod Ai )， Ai 则适合已给一次同余式组的最小正整数为 n M N ki Ri lM (l是某一整数，M A1 A2 An )， Ai i 1 这就是现代数论中著名的剩余定理。如上所述，它的 基本形式已经包含在 《孙子算经》 “物不知数” 题的 解法之中。不过 《孙子算经》 与 孙膑
更重要的是它证实了 《史记》 中有关孙武、孙膑的记载完 全正确，并且他们各有军事著作传世。出土的 《孙子兵法》 竹 简说明古代的 《孙子兵法》 其实是13篇，而不像有些古籍记载 的那样共有82篇。而 《孙膑兵法》 很多篇的篇首都写到 “孙子 曰” ，其中 “孙子” 代指的是孙膑。 因此历史学家研究认定，孙武是吴孙子，孙膑是齐孙子。 他们分别是春秋、战国两个时期的人。据考证，孙膑是孙武 之后世子孙， 《孙子兵法》 与 《孙膑兵法》 之间存在内在的 师承关系，前者是后者的依据和基础，后者是对前者的 阐述和继承。两者不仅形成了独具特色的一家之言， 还合了 “孙氏之道” 。孙膑在继承孙武思想的基础 上，在战略、战术、治军和军事哲学方面都有 新的发展。
结语中国古代数学家对一次同余论的研究有明显的独创性和继承性大衍求一术在世界数学史上的崇高地位是毋容置疑的正因为这样在西方数学史著作中求解一次同余式组的剩余定理一直被公正地称为中国剩余定理
孙子定理与大衍求一术
孙武
孙武(约公元前545年－约公元前470年)，字长卿，春秋 末期齐国乐安人(今山东广饶)。中国春秋时期著名的军事家、 政治家，尊称兵圣或孙子(孙武子)，被誉为 “百世兵家之师” 、 “东方兵学的鼻祖” 。 孙武著有中国现存最早的兵书 《孙子兵法》 ，孙武的一些 军事观点和治军思想，为后世的军事家传诵和应用，它是我 国军事史上一份珍贵的历史遗产。 《孙子兵法》 也称 《吴孙子》 、 《孙子兵书》 、 《孙武兵法》 、 《孙武兵书》 等，在中国乃至世界 军事史、军事学术史和哲学思想史上都占有极为重要的地 位，并在政治、经济、军事、文化、哲学等领域被广泛 运用， 受到后人的广泛推崇。被译为英文、法文、德文、 日文等，该书成为国际间最著名的兵学典范之书。 全世界有数千种关于 《孙子兵法》 的刊印本。 不少国家的军校把它列为教材。
孙 武与 孙膑
1972年4月，山东省临沂市卫生局进行基本建设，在银雀 山上发现古墓，经证实，这里是一处规模很大的汉代墓葬群。 考古工作者从墓葬中发现了大量竹简。这些竹简的内容绝大 部分是古代兵书，其中就有 《孙子兵法》 、 《孙膑兵法》 、 《六韬》 等20余篇著作，其中不少是佚书或是首次被发现的古代书籍， 最珍贵的当属 《孙子兵法》 的佚篇和失传 1700 多年的 《孙膑兵 法》 。此次考古成果被列入 20世纪70年代 “新中国30年十大 考古发现” 之一；上世纪90年代 “新中国50年影响最大的 考古发现” 之一；21世纪初，又被评为 “中国20世纪100 项考古大发现” 之一。
孙膑
孙膑(生卒年不详，大约活动于公元前 380年至公元前 320 年左右，似在吴起 之后，与商鞅、孟轲<即孟子>同时)，其本 名孙伯灵(山东孙氏族谱可查)， 是中国战国时期军事家，汉族， 山东鄄城人。出生于阿、鄄之间(今山东省菏泽市鄄城县北)， 是孙武的后代。 孙膑的军事思想主要集中于 《孙膑兵法》 。《孙膑兵法》 是 中国古代的最著名中原军事著作之一， 也是 《孙子兵法》 后 “孙子学派” 的又一力作， 是反映战国时期兵家思想的代 表作之一。 《孙膑兵法》 也称 《齐孙子》 ，作者为孙膑， 先秦天下十豪之一。
《 孙 子算 经》
在我国古代劳动人民中，长期流传着 “隔墙算” 、 “剪管 术” 、 “秦王暗点兵” 等数学游戏。有一首 “孙子歌” ，甚至远 渡重洋，输入日本： “三人同行七十稀，五树梅花廿一枝， 七子团圆正半月，除百零五便得知。 ” 这些饶有趣味的数学游戏，以各种不同形式，介绍世界闻名 的 “孙子问题” 的解法，通俗地反映了我国古代数学一项卓越 的成就。
《 孙 子算 经》
“孙子问题” 在现代数论中是一个一次同余问题，它最早 出现在我国公元四、五世纪的数学著作 《孙子算经》 中。 《孙子 算经》 下卷第26题 —“物不知数” 题： “今有物不知其数，三三 数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰 二十三” 。这等价于解下列的一次同余式组 N 2 (mod 3) N 3(mod 5) 。 N 2 (mod 7) 《孙子算经》 所给答案是N 23。由于孙子问题数据比较 简单，这个答数通过试算也可以得到，但是 《孙子算 经》 并不是这样做的。
韩信
他命令士兵 3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排， 结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信 马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们 居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉军本来就信服自己 的统帅，这一来更相信韩信是 “神仙下凡” 、 “神机妙算” 。于 是士气大振，一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼， 楚军乱作一团。交战不久，楚军大败而逃。
《 孙 子算 经》
《孙子算经》 是中国古代重要的数学著作， 《算经十书》 之 一，成书年代约为公元四、五世纪，也就是大约一千六百年 前，作者生平和编写年不详( 《孙子算经》 的作者及确实著作 年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后)。 中国是世界上最早采用十进位值制记数的国家，春秋战国之 际已普遍应用的筹算，即严格遵循了十进位值制。关于算筹 记数法仅见的资料载于 《孙子算经》 。传本的 《孙子算经》 共 三卷，该书上卷叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘 除法则，中卷举例说明筹算分数算法和筹算开平方法， 下卷则有著名的 “物不知数” 题，亦称 “孙子问题” 。
n
秦九韶
因此问题变成了求满足 kg 1(mod A)的 k。秦九韶称 g 为奇数。 他的大衍求一术是：将 g 置于右上，A置于右下，左上置天元 一，g 与 A辗转相除，相继得商q1 ， 和余数 r1 ， 。 q2 ， r2 ， ，直到右上rn 1 同时，按一定规则在左下、 左上计算 c1 ， c2 ， 为止(此时 n 必定是偶数<秦九韶指出， 当rs 1而 s 是偶数时，则 令n s， 当rs 1而 s 是奇数时，将 rs 1 与 rs 相除，形式上 rn rs 1； 令qs 1 rs 1 1， 即有rs 1 rs qs 1 rs 1， 则令n s 1，rn rs 1 1>)， 则左上的cn qn cn 1 cn 2便是所求的 k 值。用现代符号表示 就是：
《 孙 子算 经》
“物不知数” 题的术文指出解题的方法为：三三数之，取数七 十，与余数二相乘；五五数之，取数二十一，与余数三相乘； 七七数之，取数十五，与余数二相乘。将诸乘积相加，然后 减去一百零五的倍数。列成算式就是： N 70 2 21 3 15 2 2 105 23。 这里105是模数3，，的最小公倍数，容易看出， 《孙子算经》 给 5 7 出的是符合条件的最小正整数。对于一般余数的情形， 《孙子 算经》 术文指出，只要把上述算法中的余数 2，， 3 2 分别换 成新的余数就行了。 以R1 ， 则 《孙子 R2 ， R3表示这些余数， 算经》 相当于给出公式 N 70 R1 21 R2 15 R3 l 105(l是整数)。
韩信
韩信(约公元前 231年－公元前196年)，汉族，淮阴(原江 苏省淮阴县，今淮安市淮阴区)人，西汉开国功臣，中国历史 上杰出军事家，兵家四圣之一，同时也是中国军事思想 “兵权 谋家” 代表人物，被后人奉为 “兵仙” 、 “神帅” 。 淮安民间传说着一则故事 —“韩信点兵” ：秦朝末年，楚 汉相争。一次，韩信带1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战 一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信 整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报， 说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。 汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩信兵马 到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。
秦九韶
秦九韶
c0 1，c1 q1 ，ci qi ci 1 ci 2 (i 2，， 3 ， n)， 于是记 则有 d 0 0，d1 1，d i qi d i 1 d i 2 d i A ci g ( 1)i 1 ri (i 1，， 2 ， n). (参见文[1]§1.3定理1 或文[2]定理1.6.2)。