高考数学压轴专题最新备战高考《坐标系与参数方程》真题汇编附答案解析

新数学《坐标系与参数方程》试卷含答案
一、13
1．已知点(),x y 在圆22()(23)1x y -=++上，则x y +的最大值是( )
A ．1
B ．1-
C 1
D ．1-
【答案】C 【解析】 【分析】
设圆上一点()2,3P cos sin αα+-,则1x y sin cos αα+=+-,利用正弦型函数求最值,即可得出结论 【详解】
设2
2
(2)(3)1x y -++=上一点()2,3P cos sin αα+-,
则231114x y cos sin sin cos πααααα⎛
⎫+=++-=+-=+-≤ ⎪⎝
⎭,
故选：C 【点睛】
本题考查圆的参数方程的应用,考查正弦型函数的最值
2．点(,)ρθ满足223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=，则2
ρ的最大值为（ ） A ．
7
2
B ．4
C ．
92
D ．5
【答案】B 【解析】 【分析】
将2
2
3cos 2sin 6cos ρθρθθ+=化成直角坐标方程，则2ρ的最大值为2
2x
y + 的最大
值。

【详解】
223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=两边同时乘ρ，化为22326x y x +=，得
22332y x x =-，则()2222211919
369(3)22222x y x x x x x +=-+=--++=--+.由
223
302
y x x =-…，可得02x 剟
，所以当2x =时，222x y ρ=+取得最大值4． 故选B 【点睛】
本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化以及利用二次函数求最值，属于一般题。

3．如图所示，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH ……叫作“正方形的渐开线”，其
中¶AE ，¶EF ，·FG
，¶GH ，……的圆心依次按,,,B C D A 循环，则曲线AEFGH 的长是（ ）
A ．3π
B ．4π
C ．5π
D ．6π
【答案】C 【解析】 【分析】
分别计算»AE ，»EF
，»FG ，¼GH 的大小，再求和得到答案. 【详解】
根据题意可知，»AE 的长度2
π，»EF 的长度为π，»FG
的长度为32π，¼GH 的长度为2π，所以曲线AEFGH 的长是5π. 【点睛】
本题考察了圆弧的计算，意在考察学生的迁移能力和计算能力.
4．22
1x y +=经过伸缩变换23x x y y ''=⎧⎨=⎩
后所得图形的焦距（ ）
A ．5
B ．13
C ．4
D ．6
【答案】A 【解析】 【分析】
用x ′，y '表示出x ，y ，代入原方程得出变换后的方程，从而得出焦距． 【详解】
由23x x y y ''=⎧⎨=⎩得2 3
x x y y '
⎧
=
⎪⎪⎨
'⎪=
⎪⎩
，代入22
1x y +=得22 149x y ''+=， ∴椭圆的焦距为29425-=A ．
【点睛】
本题主要考查了伸缩变换，椭圆的基本性质，属于基础题．
5．极坐标cos ρθ=和参数方程12x t
y t =--⎧⎨=+⎩
（t 为参数）所表示的图形分别是
A ．直线、直线
B ．直线、圆
C ．圆、圆
D ．圆、直线
【答案】D 【解析】
由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x ，即12x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭ 2＋y 2＝14
. 它表示以1
,02骣琪琪桫
为圆心，以
1
2
为半径的圆． 由x ＝－1－t 得t ＝－1－x ，代入y ＝2＋t 中，得y ＝1－x 表示直线．
6．参数方程
（为参数）所表示的图象是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】 由
，得
，代入
，经过化简变形后得到曲线方程，但需注意曲线方程
中变量、的符号，从而确定曲线的形状。

【详解】 由题意知将代入
，得
，
解得，因为
，所以
.故选：D 。

【点睛】
本题考查参数方程与普通方程之间的转化，参数方程化普通方程一般有以下几种消参方法：①加减消元法；②代入消元法；③平方消元法。

消参时要注意参数本身的范围，从而得出相关变量的取值范围。

7．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为22
162
x y +=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半
轴为极轴建立极坐标系，直线l
的极坐标方程为cos()6
π
ρθ+
=M 的极坐标方
程为(0)θαρ=≥.设射线m 与曲线C 、直线l 分别交于A 、B 两点，则2
2
11OA
OB
+
的
最大值为（ ） A ．
34
B ．
25
C ．
23
D ．
13
【答案】C 【解析】
分析：先由曲线C 的直角坐标方程得到其极坐标方程为()2
2
1+2sin 6ρ
θ=，设A 、B 两
点坐标为()1,ρθ，()2,ρθ，将射线M 的极坐标方程为θα=分别代入曲线C 和直线l 的极坐标方程，得到关于α的三角函数，利用三角函数性质可得结果.
详解：∵曲线C 的方程为22
162
x y +=，即2236x y +=，
∴曲线C 的极坐标方程为()2
2
1+2sin 6ρ
θ=
设A 、B 两点坐标为()1,ρθ，()2,ρθ，
联立()22
1+2sin 6
ρθθα⎧=⎪⎨=⎪⎩，得221112sin 6θρ+=，同理得222cos 163πθρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=， 根据极坐标的几何意义可得22
2222
12cos 111112sin 663OA OB
πθθρρ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=+=+
1+1cos 21cos 23sin 23666
ππθθθ⎛⎫⎛
⎫-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即可得其最大值为2
3
，故选C. 点睛：本题考查两线段的倒数的平方和的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，充分理解极坐标中ρ的几何意义以及联立两曲线的极坐标方程得到交点的极坐标是解题的关键，是中档题．
8．已知曲线T
的参数方程1x k
y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（k 为参数），则其普通方程是（）
A ．2
2
1x y += B ．()2
2
10x y x +=≠ C
．00
x y x ⎧>⎪=⎨
<⎪⎩
D
．y =0x ≠)
【答案】C 【解析】 【分析】 由已知1x k =得1
k x
=代入另一个式子即可消去参数k ，要注意分类讨论。

【详解】
由题意1x k =Q 1k x ∴=
代入y =
y =
y ∴=①当0x >
时y ∴=②当0x <
时y ∴=
综上0
x y x ⎧>⎪=⎨<⎪⎩
故选：C 【点睛】
本题考查曲线的普通方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想及分类讨论思想，是基础题．
9．设曲线C
的参数方程为5cos ()15sin x y θθθ
⎧=⎪
⎨
=-+⎪⎩为参数，直线l
10y -+=，
则曲线C 上到直线l 的距离为5
2
的点的个数为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
将圆C 化为普通方程，计算圆心到直线l 的距离，通过比较所求距离与5
2
的关系即可得到满足条件的点的个数． 【详解】
化曲线C
的参数方程为普通方程：(()2
2
125x y ++=，
圆心
)
1-
10y -+=的距离3115
522
d ++=
=<，
所以直线和圆相交，过圆心和l 平行的直线和圆的2个交点符合要求， 与l 平行且与圆相切的直线和圆的一个交点符合要求，故有3个点符合题意， 故选C 【点睛】
解决这类问题首先把曲线C 的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系得出结论．
10．已知点N 在圆224x y +=上，()2,0A -，()2,0B ，M 为NB 中点，则sin BAM ∠的最大值为（ ）
A ．
12
B ．
13
C ．
10
D 【答案】B 【解析】 【分析】
设(2cos ,2sin )N αα，则(1cos ,sin )M αα+先求出AM 的斜率的最大值，再得出sin NAM ∠的最大值． 【详解】
解：设(2cos ,2sin )N αα，则(1cos ,sin )M αα+，
sin 0sin tan 1cos 2cos 3BAM αααα-∠=
=+++„
， 1sin 3
BAM ∴∠„
， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．
11．已知实数x ，y 满足2212
x y +≤，则2222
267x y x y x +-++-+的最小值等于
（ ）
A ．5
B ．7
C -
D ．9-
【答案】D 【解析】 【分析】
设x θ=
，sin y θ=，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．
【详解】
因为实数x ，y 满足2212
x
y +„，
设x θ=
，sin y θ=，
222222222|2||67||2cos sin 2||2cos sin 62cos 7||sin |x y x y x θθθθθθ∴+-++-+=+-++-+=-+2|cos 62cos 8|θθ-+，
22cos 62cos 8(cos 32)100θθθ-+=-->Q 恒成立，
222222|2||67|sin cos 62cos 8962cos 962x y x y x θθθθ∴+-++-+=+-+=--…，
故则2222|2||67|x y x y x +-++-+的最小值等于962-. 故选：D ． 【点睛】
本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
12．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2
sin 42a πρθ⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭，曲线2C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数，0θπ剟）.若1C 与2C 有且只有一个公共点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．2±
B ．(2,2)-
C ．[1,1)-
D ．[1,1)-或2
【答案】D 【解析】 【分析】
先把曲线1C ，2C 的极坐标方程和参数方程转化为直角坐标方程和一般方程，若1C 与2C 有且只有一个公共点可转化为直线和半圆有一个公共点，数形结合讨论a 的范围即得解. 【详解】
因为曲线1C 的极坐标方程为2sin ,42a πρθ⎛⎫
+
= ⎪
⎝
⎭即222
(sin cos )222
a ρθθ+= 故曲线1C 的直角坐标方程为：0x y a +-=.
消去参数θ可得曲线2C 的一般方程为：2
2
1x y +=，由于0θπ剟，故0y ≥
如图所示，若1C 与2C 有且只有一个公共点，直线与半圆相切，或者截距11a -≤< 当直线与半圆相切时122
O l d a -=
=∴=由于为上半圆，故02a a >∴=
综上：实数a 的取值范围是[1,1)-
故选：D 【点睛】
本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标方程、一般方程的互化，以及直线和圆的位置关系，考查了学生数形结合，数学运算的能力，属于中档题.
13．已知(,)P x y
是椭圆sin x y αα
⎧=⎪
⎨=⎪⎩上任意一点，则点P
到40x --=的距离的最
大值为（ ） A
B
．2
C
D
．2
【答案】A 【解析】 【分析】
设点,sin )P αα，求得点P
到直线的距离为d =
数的性质，即可求解. 【详解】
由题意，点(),P x y
是椭圆x y sin αα
⎧=⎪
⎨=⎪⎩上任意一点，
设点,sin )P αα，
则点P
到直线40x --=
的距离为
d =
=
当cos()14
π
α+=-时，距离d
A. 【点睛】
本题主要考查了椭圆的参数方程的应用，以及点到直线的距离公式和三角函数的性质的应
用，其中解答中合理利用椭圆的参数方程，设点,sin )P αα，再利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
14．曲线1cos {
2sin x y θ
θ
=-+=+，（θ为参数）的对称中心（ ）
A ．在直线2y x =上
B ．在直线2y x =-上
C ．在直线1y x =-上
D ．在直线1y x =+上
【答案】B 【解析】
试题分析：参数方程所表示的曲线为圆心在
，半径为1的圆，其对称中心为
，逐个代入选项可知，点
满足
，故选B.
考点：圆的参数方程，圆的对称性，点与直线的位置关系，容易题.
15．方程sin cos k ρθθ=++ 的曲线不经过极点，则k 的取值范围是（ ） A ．0k ≠ B ．k R ∈
C ．2k >
D ．2k …
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意可知，极点不在方程表示的sin cos k ρθθ=++曲线上，可知sin cos k θθ+=-无解，利用辅助角公式得出24sin cos sin πθθθ⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭，结合正弦函数的性质，即可得
出k 的取值范围. 【详解】
当0ρ=时，sin cos k θθ+=-，则此方程无解 由224sin cos sin πθθθ⎛
⎫+=+≤ ⎪⎝
⎭2k >时，方程无解.
故选：C 【点睛】
本题主要考查了点与直线的位置关系，涉及了正弦函数的性质，属于中档题.
16．已知曲线C 的极坐标方程为2
22
12
3cos 4sin ρθθ
=
+，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C 经过伸缩变换123x x y y ⎧=⎪⎪
⎨=''⎪⎪⎩
后，得到的曲线是（ ）
A ．直线
B ．椭圆
C ．圆
D ．双曲线
【答案】C 【解析】 【分析】
将曲线C 的极坐标方程2
2212
3cos 4sin ρθθ
=
+化为普通方程，再将曲线C 的普通方程进
行123x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩
的伸缩变换后即可解. 【详解】
解：由极坐标方程2
2222
12
3(cos )4(sin )123cos 4sin ρρθρθθθ
=
⇒+=+， 可得：2
2
3412x y +=，即22
143
x y +=，
曲线C
经过伸缩变换12x x y y
⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩
，可得2x x y =⎧=''⎪，代入曲线C 可得：22
1x y ''+=，
∴伸缩变换得到的曲线是圆． 故选：C ． 【点睛】
考查曲线的极坐标方程化普通方程以及曲线方程的变换.
其中将12x x y y ⎧
=⎪⎪
⎨=''⎪⎪⎩
转化为
2x x
y =⎧=''⎪为解题关键.
17．极坐标方程2cos 3cos 30ρθρθρ-+-=表示的曲线是（ ） A ．一个圆 B ．两个圆 C ．两条直线 D ．一个圆和一条直线
【答案】D 【解析】
分析：2
cos 3cos 30ρθρθρ-+-=化为()()cos 130ρθρ+-=，然后化为直角坐标方
程即可得结论.
详解：2
cos 3cos 30ρθρθρ-+-=化为()()cos 130ρθρ+-=，
因为cos 10ρθ+=表示一条直线1x =-
30ρ-=表示圆229x y +=，
所以，极坐标方程2
cos 3cos 30ρθρθρ-+-= 表示的曲线是一个圆和一条直线，故选D.
点睛：本题主要考查极坐标方程的应用，属于中档题. 极坐标方程与直角坐标方程互化，这
类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．
18．在极坐标系中，点2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线sin 16πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离是( ) A
B ．3
C ．1
D ．2 【答案】C
【解析】
【分析】
先将点的极坐标化成直角坐标，直线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后用点到直线的距离求解．
【详解】 在极坐标系中，点2,
6π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，1）， 直线ρsin （θ﹣6
π）＝1化为直角坐标方程为x
+2＝0，
1）到x
+2＝0
的距离1=，
即点（2，
6π）到直线ρsin （θ﹣6
π）＝1的距离为1， 故选C ．
【点睛】 本题考查直角坐标和极坐标的互化，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题.
19．若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61
x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ）
A ．相交且过圆心
B ．相交但不过圆心
C ．相切
D ．相离
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离2d <，得到直线与圆的位置关系为相交．
【详解】
根据题意，圆的参数方程为1232x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩
（θ为参数），则圆的普通方程为22(1)(3)4x y ++-=，其圆心坐标为(1,3)-，半径为2.
直线的方程为2161
x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线的普通方程为13(1)y x +=+，即320y x --=，圆心不在直线上.
∴圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离为2d =
=<，即直线与圆相交.
故选A.
【点睛】
本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程.
20．已知曲线C 的极坐标方程为：22cos 2sin 0ρρθρθ--=，直线l 的极坐标方程为：4πθ=
（ρ∈R ），曲线C 与直线l 相交于A B 、两点，则AB 为（ ）
A
B ．
C
D ．【答案】B
【解析】
【分析】
把圆和直线的极坐标方程都转化成直角坐标方程，可得弦AB 过圆心，则2AB r =。

【详解】
因为曲线C 的极坐标方程为：2
2cos 2sin 0ρρθρθ--=
所以曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--=，即22(1)+（y-1）2x -=，以
（1，1）为圆心，半径r =l 的极坐标方程为：4
π
θ=（ρ∈R ），所以直线l 的直角坐标方程为y x =。

因为直线y x =经过圆心（1，1），所
以弦AB 为直径，且有
2AB r ==B 。

【点睛】
本题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程，解决题目的关键是判断出弦AB 经过圆点，从而 AB 为直径。